PROBALITE : feuille d’exercices Expériences aléatoires, éventualités, événements : 1 ) Dans chacun des cas suivants, on considère un ensemble et des partie A et B de . Déterminer les ensembles Error! , A B et A B . a) b) c) = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } , A = { 1 ; 3 ; 5 } et B = { 2 ; 3 } = { ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 2 ) ; ( 1 ; 3 ) ; ( 2 ; 3 ) } , A = { ( 1 ; 2 ) } et B = { ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 3 ) } = { jaune , vert , rouge , noir , bleu } , A = { jaune , rouge , vert } et B = { noir , bleu } 2 ) Un sac contient quatre jetons numérotés 1 , 2 , 3 et 4 . On tire au hasard deux jetons l’un après l’autre et on note les numéros sortis sous la forme ( a , b ) , a pour le premier jeton et b pour le second . a ) Ecrire toutes les issues possibles . b ) « La somme a + b = 3 » est-il un événement élémentaire ? c ) Ecrire la liste des issues de chacun des événements suivants : A:« a b » , B : « b = a + 1 » , C : « a + b est impair » , D : « b = 3 » , E : « a – b = 1 » et F : « a b < 9 » d ) Ecrire la liste des issues de chacun des événements suivants : Error! , Error! , E Error! , A D , Error! B , F D et F D . e ) Répondre par vrai ou par faux à chacune de affirmations suivantes : 1) B=AC 2) AE=B 3) FD=AD 4) FBC f ) Reprendre les questions de l’exercice 2 , en supposant cette fois que l’on remet dans le sac le premier jeton tiré avant de procéder au tirage du second jeton. 3 ) On effectue une enquête auprès des lecteurs de trois revues notées a , b et c . On obtient les résultats suivants : sur 100 personnes interrogées, 57 lisent a , 42 lisent b , 38 lisent c , 22 lisent a et b , 14 lisent b et c , 16 lisent a et c , 8 lisent a , b et c . a ) calculer le nombre de personnes qui ne lisent que a et b , que b et c , que a et c . b ) Calculer le nombre de personnes qui ne lisent que a , que b , que c . c ) Calculer le nombre de personnes qui ne lisent aucune des trois revues. 4 ) Dans chacune des situations décrites, énoncer les événements contraires sans négation. Error! , Error! , Error! … a ) A une loterie, Aurore achète trois billets . A : « l’un des billet au moins est gagnant » b ) Au restaurant, Béatrice commande un plat et un désert . B : « Béatrice ne commande ni viande , ni glace » c ) Dans un jeu, on peut gagner de 0 à 100 F ou perdre 60 F . C : « gagner au moins 20 F à ce jeu » d ) Didier tire trois cartes d’un jeu de 32 cartes . D : « Didier tire trois cœur » E : « Didier tire au plus un pique » Différentes représentations : De nombreux problèmes de probabilités peuvent se résoudre en dénombrant et en détaillant les différentes issues possibles. Pour cela différents outils nous sont proposés … Dans le cas où l’action consiste à prendre, à la suite l’un de l’autre, plusieurs éléments dans un ensemble ( avec ou sans remise ) , on peut utiliser un arbre … 5 ) Une pièce de monnaie est lancée quatre fois de suite . On note à chaque fois le côté exposé : P pour pile, F pour face . Les issues de cette expérience aléatoire sont donc des suites de quatre lettres parmi P et F . ( ex : ( P , P , F , P ) , ( P , P , F , F ) … ) Quel est l’événement le plus probable : A ou B ? A : « répartition 2 – 2 ( c'est à dire 2 pile et 1 face ) » et B : « répartition 3 – 1 ( c'est à dire 3 pile et 1 face ou 3 face et 1 pile ) » La méthode des arbres permet d’introduire un procédé bien utile : le principe multiplicatif. 6 ) Un démarcheur compose au hasard un code d’accès à un immeuble constitué d’abord de deux chiffres choisis parmi 1 , 2 , 3 ou 4 , puis d’une lettre A ou B . Quel est le nombre total de codes possibles ? 7 ) Le foyer socio-éducatif d’un lycée propose quatre activités : ping-pong, échec, théâtre et informatique. Chaque lycéen peut s’inscrire à 0 , 1 , 2 , 3 ou 4 activités. De combien de façons chaque lycéens peut-il organiser ses activités ? Le principe multiplicatif 8 ) Quel est le nombre de parties d’un ensemble à n éléments ? 9 ) Combien y a-t-il de tiercés possibles dans l’ordre avec 18 chevaux ? Utilisation d’un tableau : dans le cas où l’action est décomposable en deux actions simples ( jeu de deux dés, tirage de deux jetons numérotés, tirage de deux pièces de monnaie … ) on peut utiliser un tableau à deux entrées pour indiquer tous les résultats possibles. 10 ) On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés ordinaires et à faire la somme des nombres lus sur les faces supérieures des deux dés . Faire un tableau à double entrée représentant les différentes éventualités. Loi de probabilité : Déterminer la loi de probabilité d’une expérience aléatoire revient à dresser un tableau de la forme suivante : issue : w P ({w }) 11 ) Déterminer la loi de probabilité de l’expérience aléatoire de l’exercice 10 . Dans les exercices 5 et 6 , déterminer la loi de probabilité des expériences aléatoires proposées. 12 ) D’un jeu de bridge ( 52 cartes ), on tire une carte au hasard . Première expérience aléatoire : On examine la couleur sortie . Deuxième expérience aléatoire : On note le nombre de points obtenus ( 1 as vaut 4 points , un roi 3 points , une dame 2 points , un valet 1 point et les autres cartes 0 points ) 13 ) Une urne contient 10 boules blanches, 10 boules rouges et cinq boules noires . L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule au hasard et à noter sa couleur. 14 ) Les issues d’une épreuve aléatoire sont les nombres 1 , 2 , 3 , 4 et 5 de probabilités respectives p1 , p2 , p3 , p4 et p5 . Calculer ces probabilité sachant que le tableau décrivant la loi de probabilité est un tableau de proportionnalité : 1 p1 2 p2 Calculs de probabilités : 15 ) 16 ) Dans l’exercice 11 : Quelle est la probabilité d’avoir une somme égale à 10 ? Quelle est la somme obtenue avec la plus grande probabilité ? Quelle est la probabilité d’obtenir un total pair ? En déduire la probabilité d’obtenir un total impair ? 17 ) 18 ) 3 p3 4 p4 5 p5