Le principe multiplicatif

PROBALITE : feuille d’exercices
Expériences aléatoires, éventualités, événements :
1 ) Dans chacun des cas suivants, on considère un ensemble  et des partie A et B de . Déterminer les ensembles
Error!
, A B et A B .
a )  = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 } , A = { 1 ; 3 ; 5 } et B = { 2 ; 3 }
b )  = { ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 2 ) ; ( 1 ; 3 ) ; ( 2 ; 3 ) } , A = { ( 1 ; 2 ) } et B = { ( 1 ; 1 ) ; ( 1 ; 3 ) }
c )  = { jaune , vert , rouge , noir , bleu } , A = { jaune , rouge , vert } et B = { noir , bleu }
2 ) Un sac contient quatre jetons numérotés 1 , 2 , 3 et 4 . On tire au hasard deux jetons l’un après l’autre et on note les numéros
sortis sous la forme ( a , b ) , a pour le premier jeton et b pour le second .
a ) Ecrire toutes les issues possibles .
b ) « La somme a + b = 3 » est-il un événement élémentaire ?
c ) Ecrire la liste des issues de chacun des événements suivants :
A : « a b » , B : « b = a + 1 » , C : « a + b est impair » , D : « b = 3 » , E : « a – b = 1 » et F : « a b < 9 »
d ) Ecrire la liste des issues de chacun des événements suivants :
Error!
,
Error!
, E
Error!
, A D ,
Error!
B , F
D et F D .
e ) Répondre par vrai ou par faux à chacune de affirmations suivantes :
1 ) B = A C 2 ) A E = B 3 ) F D = A D 4 ) F B C
f ) Reprendre les questions de l’exercice 2 , en supposant cette fois que l’on remet dans le sac le premier jeton tiré avant de
procéder au tirage du second jeton.
3 ) On effectue une enquête auprès des lecteurs de trois revues notées a , b et c . On obtient les résultats suivants : sur 100
personnes interrogées, 57 lisent a , 42 lisent b , 38 lisent c , 22 lisent a et b , 14 lisent b et c , 16 lisent a et c , 8 lisent a , b et c .
a ) calculer le nombre de personnes qui ne lisent que a et b , que b et c , que a et c .
b ) Calculer le nombre de personnes qui ne lisent que a , que b , que c .
c ) Calculer le nombre de personnes qui ne lisent aucune des trois revues.
4 ) Dans chacune des situations décrites, énoncer les événements contraires sans négation.
Error!
,
Error!
,
Error!
…
a ) A une loterie, Aurore achète trois billets . A : « l’un des billet au moins est gagnant »
b ) Au restaurant, Béatrice commande un plat et un désert . B : « Béatrice ne commande ni viande , ni glace »
c ) Dans un jeu, on peut gagner de 0 à 100 F ou perdre 60 F . C : « gagner au moins 20 F à ce jeu »
d ) Didier tire trois cartes d’un jeu de 32 cartes . D : « Didier tire trois cœur »
E : « Didier tire au plus un pique »
Différentes représentations :
De nombreux problèmes de probabilités peuvent se résoudre en dénombrant et en détaillant les différentes issues possibles.
Pour cela différents outils nous sont proposés …
 Dans le cas où l’action consiste à prendre, à la suite l’un de l’autre, plusieurs éléments dans un ensemble ( avec ou sans remise ) , on
peut utiliser un arbre …
5 ) Une pièce de monnaie est lancée quatre fois de suite . On note à chaque fois le côté exposé : P pour pile, F pour face .
Les issues de cette expérience aléatoire sont donc des suites de quatre lettres parmi P et F . ( ex : ( P , P , F , P ) , ( P , P , F , F ) … )
Quel est l’événement le plus probable : A ou B ?
A : « répartition 2 – 2 ( c'est à dire 2 pile et 1 face ) » et B : « répartition 3 – 1 ( c'est à dire 3 pile et 1 face ou 3 face et 1 pile ) »
La méthode des arbres permet d’introduire un procédé bien utile : le principe multiplicatif.
6 ) Un démarcheur compose au hasard un code d’accès à un immeuble constitué d’abord de deux chiffres choisis parmi 1 , 2 , 3 ou
4 , puis d’une lettre A ou B . Quel est le nombre total de codes possibles ?
7 ) Le foyer socio-éducatif d’un lycée propose quatre activités : ping-pong, échec, théâtre et informatique.
Chaque lycéen peut s’inscrire à 0 , 1 , 2 , 3 ou 4 activités. De combien de façons chaque lycéens peut-il organiser ses activités ?
Le principe multiplicatif
8 ) Quel est le nombre de parties d’un ensemble à n éléments ?
9 ) Combien y a-t-il de tiercés possibles dans l’ordre avec 18 chevaux ?
Utilisation d’un tableau : dans le cas où l’action est décomposable en deux actions simples ( jeu de deux dés, tirage de deux jetons
numérotés, tirage de deux pièces de monnaie … ) on peut utiliser un tableau à deux entrées pour indiquer tous les résultats possibles.
10 ) On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer deux dés ordinaires et à faire la somme des nombres lus sur les faces
supérieures des deux dés . Faire un tableau à double entrée représentant les différentes éventualités.
Loi de probabilité :

Déterminer la loi de probabilité d’une expérience aléatoire revient à dresser un
tableau de la forme suivante :
11 ) Déterminer la loi de probabilité de l’expérience aléatoire de l’exercice 10 .
Dans les exercices 5 et 6 , déterminer la loi de probabilité des expériences aléatoires proposées.
12 ) D’un jeu de bridge ( 52 cartes ), on tire une carte au hasard .
 Première expérience aléatoire : On examine la couleur sortie .
 Deuxième expérience aléatoire : On note le nombre de points obtenus ( 1 as vaut 4 points , un roi 3 points , une dame 2 points
, un valet 1 point et les autres cartes 0 points )
13 ) Une urne contient 10 boules blanches, 10 boules rouges et cinq boules noires .
L’expérience aléatoire consiste à tirer une boule au hasard et à noter sa couleur.
14 ) Les issues d’une épreuve aléatoire sont les nombres 1 , 2 , 3 , 4 et 5 de probabilités
respectives p1 , p2 , p3 , p4 et p5 . Calculer ces probabilité sachant que le tableau
décrivant la loi de probabilité est un tableau de proportionnalité :
Calculs de probabilités :
15 )
16 ) Dans l’exercice 11 :
 Quelle est la probabilité d’avoir une somme égale à 10 ?
 Quelle est la somme obtenue avec la plus grande probabilité ?
 Quelle est la probabilité d’obtenir un total pair ? En déduire la probabilité d’obtenir un total impair ?
17 )
18 )
issue : w
P ({w })
1
2
3
4
5
p1
p2
p3
p4
p5