I. Dénombrements A. Listes d`un ensemble fini Définition : Soit E un

DENOMBREMENTS - LOIS DE PROBABILITES
I. Dénombrements
A. Listes d’un ensemble fini
Définition : Soit E un ensemble fini de n éléments (n  1) et p un entier (p  1).
Une suite ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts, est
appelée liste de p éléments de E.
Remarque : Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments
de E distincts deux à deux, une telle liste ne peut contenir au maximum que n éléments.
Dans ce cas l’entier p doit vérifier 1  p  n.
Théorème : Soit E un ensemble fini à n éléments (n  1).
 Pour tout entier p (p  1), le nombre des listes de p éléments de E est np.
 Pour tout entier p tel que 1  p  n, le nombre de listes de p éléments de
E deux à deux distincts est :
n(n – 1) … (n – p + 1) (p facteurs).
Démonstration
Dans le premier cas, il y a n choix possibles pour chacun des éléments de la liste, d’où le
résultat.
Dans le second cas, il y a n choix pour le premier élément, (n – 1) choix pour le second,
(n – 2) choix pour le troisième, et ainsi de suite …, et enfin (n – p + 1) choix pour le
dernier élément.
Exemple 1 : Une urne contient 10 boules numérotées de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages
possibles de 3 boules
a) avec remise (la boule tirée est remise dans l’urne avant chaque nouveau tirage) ;
b) sans remise.
Exemple 2 : Un assemblée est composée de 16 personnes. De combien de façons peut-on
choisir un président, un secrétaire et un trésorier (aucune personne ne pouvant cumuler de
fonctions) ?
B. Permutations
Définition : On appelle permutation d’un ensemble de E de n éléments toute liste de n
éléments de E deux à deux distincts.
Théorème : Le nombre de permutations d’un ensemble E à n éléments (n  1) est le
nombre noté n ! (qui se lit « factorielle n ») défini par :
n ! = n(n – 1) … 21.
La démonstration découle directement du théorème précédent.
Exemple 1 : On appelle « mot » une succession de lettres distinctes, ayant ou non un sens.
A l’aide des lettres du mot « JACINTHE » combien peut-on former
1) de mots de huit lettres ?
2) de mots de six lettres dont la deuxième et la dernière sont des voyelles et les quatre
autres des consonnes ?
Exemple 2 : Les initiales d’une personne sont le couple formé par la première lettre de son
prénom et la première lettre de son nom (qu’ils soient composés ou non).
Montrer que, dans un village de 677 habitants ou plus, il existe toujours deux personnes
ayant les mêmes initiales.
Exemple 3 : 1) Combien existe-t-il d’anagrammes du prénom « hélène » (ayant un sens ou
non) ?
2) Même question avec les six lettres du prénom « HELENE ».
II. Combinaisons
A. Définition : Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0  p  n ;
On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p
éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments
n
est noté   (qui se lit « p parmi n »).
p
B. Théorème : Pour n et p entiers tels que 0  p  n, on a :
n!
 n   n(n - 1)  ...  (n - P  1) 
.
p
p!
p!(n - p)!
 
Démonstration
Pour obtenir toutes les listes de p éléments deux à deux distincts d’un ensemble E de n
éléments, on procède en deux étapes.
n
 Etape 1 : choix d’une partie de E à p éléments ; il y a   possibilités .
 p
 Etape 2 : Classement des p éléments ; il y a p ! possibilités.
n
Ainsi, nous obtenons   p ! listes de p éléments deux à deux distincts. Sachant que :
 p
 n  p ! = n(n – 1) …(n – p + 1)
 p
 
n(n  1)  ...  (n  p  1)  (n  p )  ...  1

(n  p )  ...  1
n!

(n  p )!
Exemple 1 : Au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6 numéros parmi 49 ?
Exemple 2 : Dans un jeu de 32 cartes on appelle « main » tout ensemble de quatre cartes.
1) Combien y a-t-il de mains possibles ?
2) Combien y a-t-il de mains contenant le valet de trèfle ?
3) Combien y a-t-il de mains contenant un seul as ?
4) Combien y a-t-il de mains contenant au moins un roi ?
Exemple 3 : Dans un sac se trouvent cinq jetons verts numérotés de 1 à 5 et quatre jetons
rouges numérotés de 1 à 4. On tire au hasard et sans remise trois jetons du sac.
1) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2) Combien y a-t-il de tirages possibles ne contenant que des jetons verts ?
3) Combien y a-t-il de tirages ne contenant aucun jeton vert ?
4) Combien y a-t-il de tirages contenant au plus 2 jetons verts ?
5) Combien y a-t-il de tirages contenant exactement un jeton vert et un jeton numéroté 2 ?
Exemple 5 : Résoudre l’équation dans l’ensemble des entiers n strictement supérieurs à 2,
 n  +  n  = 3n(n – 1).
3   2 
   
C. Propriétés des coefficients binomiaux
n
n
 Quel que soit l’entier n, n  0,   = 1 et   = 1.
0 
n
n
Quel que soit l’entier n, n  1,   = n.
1 
n
n 
 Quels que soient les entiers n et p tels que 0  p  n,    
 .
p  n - p
 Quels que soient les entiers n et p tels que 0  p  n - 1, on a :
 n    n - 1   n - 1 (relation de Pascal).
 p   p   p - 1
  
 

Démonstration
 Dans un ensemble E à n éléments, il y a une seule partie à 0 élément : c’est la partie
vide, et il n’y a qu’une seule partie à n éléments : c’est la partie pleine, autrement dit
l’ensemble E tout entier.
De même il y a n parties à un seul élément (encore appelées des singletons).
 Le fait d’associer à chaque partie A de E la partie complémentaire de A rend visible
qu’il y a autant de parties de E ayant p éléments que de parties ayant (n – p) éléments
(car, si A possède p éléments, A possède n – p éléments).
 Pour démontrer la relation de Pascal on effectue une partition de E par des parties à p
éléments. Soit a un élément fixé de E. Parmi les parties de E à p éléments, il y a :
 celles ne contenant pas a : ce sont les parties à p éléments parmi (n – 1) éléments ; il
n - 1
y en a donc 
 ;
 p 
 celles contenant a : on les obtient en ajoutant l’élément a aux parties à (p – 1)
n -1 
éléments parmi les (n – 1) éléments de E distincts de a ; il y en a donc 
.
 p 1
D’où le résultat.
n
n - 1
p
 ...    .
Exercice : Déduire de la relation de Pascal la somme S =    

p  p 
p
Remarque : Le triangle dit « de Pascal » (connu des mathématiciens chinois bien avant
n
Pascal !) permet de retrouver les nombres   .
p
p
n=0
n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=7
n =8
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3 + 3
4
6
5
10
6
15
7
21
8
28
3
4
5
6
7
8
1
4
1
10
5
20
15
35 + 35
56 + 70
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
+
Théorème : Soit a et b deux nombres complexes et n un entier (n  1). On a :
pn
(a + b)n =
  np a
n -p
bp
p 0
n
soit (a + b)n = an +   an-1b1 +
1 
 n  an-2b2 + … +
2
 
 n  a1bn-1 + bn .
 n - 1


n
Remarque : Les nombres   sont les coefficients des termes en an-pbp dans le
p
développement de (a + b)n appelé binôme de Newton, d’où le nom de coefficients
binomiaux donnés à ces nombres. C’est en 1664 qu’Isaac Newton montre que cette
formule est valable pour tout valeur de n, même négative ou fractionnaire.
Démonstration
Pour cette démonstration on utilise un raisonnement par récurrence.
 La formule est vérifiée pour n = 1.
 On suppose ensuite qu’elle l’est au rang n, pour un entier naturel non nul n. Alors
n
n
n  1 n-1
n
(a + b)n+1 = (a + b)[an +   an-1b +   an-2b2 + … + 
 a b + b ].
1
2
n
1
 
 


On développe ensuite ce produit de facteurs.
n
n
n  2 n-1
n
(a + b)n+1 = an+1 +   anb +   an-1b2 + … + 
 a b + ab +
1
2
n
1
 
 


n
n
n  1 n
n+1
+ anb +   an-1b2 +   an-2b3 + … + 
 a b +b
1
2
n
1
 
 


n 
n 
 n
 n
= an+1 +      anb +      an-1b2 + …
1   0 
 2  1 
n  n-p p
 n
 n   n  n
n+1
+    
a
b
+
…
+

 n    n  1 ab + b


p
p

1


  
  
n  1 n+1  n  1 n
n  1 n-1 2
= 
a +
a b + 


 a b +…
 0 
 1 
 2 
n  1 n-p p
n  1 n
+ 
a b + … + 

 ab +
 p 
 n 
 n  1 bn+1.
 n  1


III. Exemples de lois discrètes
A. La loi de Bernoulli
Définition 1 : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire n’ayant que deux
issues, ( généralement appelées respectivement succès et échec), de
probabilités respectives p et q (donc p + q = 1).
Définition 2 : Soit une épreuve de Bernoulli d’issues contraires S (avec la probabilité p)
et E (avec la probabilité q), et X la variable aléatoire à valeurs dans
{0, 1} ainsi définie :
1 si l' issue de l' épreuve est S (de probabilit é p)
X = 
.
0 si l' issue de l' épreuve est E (de probabilit é q  1 - p)
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de
Bernoulli de paramètre p.
Propriétés :  L’espérance de X est E(X) = p.
 La variance de X est V(X) = pq.
 L’écart-type de X est (X) = pq .
Démonstration
Elle est immédiate car, par définition de l’espérance, E(X) = 1p + 0(1 – p).
En utilisant la formule de König, on obtient V(X) = (12p + 02q) - p2 = p(1 – p).
Exemple : On lance un dé régulier et on appelle succès l’apparition du chiffre 6 de
1
5
probabilité et échec l’apparition de tout autre chiffre que 6, de probabilité .
6
6
1
Cette alternative est décrite par la loi de Bernoulli de paramètre .
6
B. La loi binomiale
Définition : Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli
identiques et indépendantes d’issues contraires S, (de probabilité p) et
E (de probabilité q) avec p + q = 1.
Remarque : La répétition des n épreuves de Bernoulli peut être décalée dans le temps, par
exemple, il peut s’agir des n lancers successifs d’une même pièce de monnaie ou bien du
lancer simultané de n dés distincts.
Théorème : Dans un schéma de n épreuves de Bernoulli de paramètre p :
 un résultat est une liste de n issues (par exemple (S, S, E, …, E))
 la variable aléatoire X associant à chaque issue le nombre de succès a
pour loi de probabilité
n
P(X = k) =   pk(1 – p)n-k, pour k  {0, 1, …, n}.
k
 son espérance est E(X) = np et sa variance est V(X) = np(1 – p).
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale
de paramètres n et p, notée B (n, p).
Démonstration
1) L’événement (X = k) est l ‘ensemble des listes de n lettres écrites avec les lettres S et E
où S apparaît k fois et donc E (n – k) fois.
n
Il y a donc   listes de ce type.
k 
Par ailleurs, les épreuves étant indépendantes, la probabilité d’une liste est égale au
produit des probabilités de chaque résultat S ou E à savoir pk(1 – p)n-k.
D’où la probabilité cherchée.
k n
2) Par définition de l’espérance E(X) =
 k  nk  p
n-k
qk .
k 0
On considère alors la fonction numérique f définie sur  par : f(x) = (px + q)n. Le
développement de f(x) par la formule du binôme donne, pour tout x réel,
k n
f(x) =
  nk ( px) q
k
nk
.
k 0
La fonction polynôme f est définie et dérivable sur  et :
k n
f’(x) = np(px + q)
n-1
ou f’(x) =
 kp nk ( px)
k 1
q nk .
k 1
On remarque que f’(1) = E(X). Comme f’(1) est aussi égal à np(p + q)n-1 où p + q = 1, on
en déduit que E(X) = np.
Remarques :
k n
k n
 n  p n -k q k =
P(X  k) = (p + q)n = 1 ce qui confirme
 La formule du binôme donne
k
k 0  
k 0
ce que l’on est en droit d’attendre d’une loi de probabilité et vient expliquer l’appellation
« loi binomiale ».
 La probabilité d’obtenir « au moins un succès » est calculée par
P(X  1) soit 1 – P(X = 0).


Exemple 1 : Un Q.C.M. comporte 10 questions offrant chacune 3 réponses possibles.
On répond complètement au hasard. Quelles sont les probabilités :
a) d’obtenir 2 réponses exactes ?
b) d’avoir la moyenne (au sens 5 réponses ou plus exactes) ?
Exemple 2 : Au jeu du Loto, on choisit 6 nombres parmi les nombres entiers de 1 à 49.
a) Quelle est la probabilité de choisir les six bons numéros ?
b) Une personne joue chaque semaine pendant 10 ans : quelle est la probabilité de gagner
au moins une fois ?
IV. Lois continues, loi uniforme
A. Loi de probabilité à densité
Définition : Une loi de probabilité P sur un intervalle I = [a, b] de  est déterminée
 f(t)dt = 1
b
par une fonction f définie, continue, positive sur I telle que
a
et appelée densité de P.
Pour tout intervalle [, ] contenu dans I, la probabilité de l’intervalle
[, ] est P([, ]) =

 f(t)dt .

Remarques :
 La probabilité de [, ] n’est donc rien d’autre que l’aire du domaine situé entre la
courbe représentative de la fonction f, l’axe des abscisses et les droites d’équations
respectives x =  et x = .
 On a P([a, b]) = 1 et, pour tout x0 de I P(x0) = 0.
 Notons que P(AB), où A et B désignent deux intervalles contenus dans I, peut être égal
à 0 sans que A et B soient disjoints.
B. La loi uniforme
1. Définition : On appelle loi uniforme sur I = [a, b], la loi de probabilité P dont la
densité f est une fonction constante sur I.
Conséquences
 La valeur de cette constante est
1
.
b-a
 -
longueur de J
.
b - a longueur de I
Dans le cas particulier où il s’agit de la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1], la probabilité
d’un intervalle est donc la longueur de cet intervalle.
 La probabilité d’un intervalle J = [, ] est égale à :

Exemple : On choisit un réel au hasard entre 0 et 1. Quelle est la probabilité d’obtenir un
1 1
nombre compris entre et ?
8 6
Par convention, choisir un réel au hasard entre 0 et 1, c’est le choisir suivant la loi
uniforme sur [0, 1]. Donc la probabilité cherchée est :
 1 1  
P  ,  
 8 6  

1
6
1
8
1dx 
1 1 1
-  .
6 8 24
2. Variable aléatoire – Fonction de répartition
Définition : Soit une loi de probabilité P sur un intervalle I = [a, b] de  de densité f.
On dit qu’une variable aléatoire X, à valeurs dans l’intervalle I, suit la
loi de probabilité P si :
P(a  X  x) =

x
f(t)dt , pour tout x de [a, b].
a
Remarque : Lorsqu’il n’y a aucune ambiguïté, on note (X  x) l’événement (a  X  x) et
(X  x) l’événement (x  X  b).
Alors, la fonction F définie sur [a, b] par : F(x) = P(X  x) =

x
f(t)dt est appelée fonction
a
de répartition de la variable aléatoire X.
Voici l’essentiel de ses propriétés :
 F est dérivable sur I et F’ = f ;
 P(X > x) = 1 – F(x), pour tout x de I ;
 pour h > 0 et pour tout x de I avec x + h dans I, P(x  X  x + h) = F(x + h) – F(x).
Démonstration
P(x  X  x + h) = P[(x  X )(X x + h)]
= P(x  X ) + P(X x + h) - P[(x  X )(X x + h)]
= 1 – F(x) + F(x + h) – 1
= F(x + h) – F(x).
V. La loi exponentielle
A. Définition : Soit  un réel strictement positif.
La fonction f définie sur [0, +[ par f(x) = e-x est la densité d’une loi
de probabilité P, appelée loi exponentielle de paramètre .
Remarque : Cette définition s’étend naturellement à une variable aléatoire.
Une variable aléatoire X à valeurs dans l’intervalle [0, +[, suit la loi exponentielle de
paramètre  lorsque la probabilité de l’événement (0  X  x), noté simplement (X  x),
est :

x
e -t dt .
0
On désigne encore par F la fonction définie sur [0, +[ par : F(x) = P(X  x). Cette
fonction est encore appelée fonction de répartition de la variable aléatoire X.
Exemple 1 : La durée de vie X (en heures) d’un composant électronique a été modélisé par
la loi exponentielle de paramètre  = 0, 0006 sur [0, +[.
a) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, ait une durée de vie
inférieure à 1000 heures ? Donner la réponse avec un pourcentage arrondi au centième.
b) Quelle est la probabilité qu’un de ces composants, pris au hasard, soit encore en état de
marche au bout de 500 heures ? Donner la réponse avec un pourcentage arrondi au
centième.
Exemple 2 : Une variable aléatoire X a une loi de probabilité exponentielle de paramètre
. Calculer la valeur de  sachant que la probabilité pour que X soit inférieure à 70 est
égale à 0,05.
B. Loi de durée de vie sans vieillissement
La durée de vie d’un individu (au sens statistique du terme) est une variable aléatoire T, à
valeurs dans [0, +[, où l’événement (T  t), avec t  0, signifie que l’individu est vivant à
l’instant t .
On dit alors que T suit la loi de durée de vie sans vieillissement si la probabilité que
l’individu soit vivant à l’instant (t + h), (h  0), sachant qu’il est vivant à l’instant t, ne
dépend pas de t (t  0).
Autrement dit, en formalisant : P(T  t + h / T  t) ne dépend pas de l’instant t, pour tout h
positif ou nul.
Cette loi s’applique dans de nombreuses situations sous des formes variées (cf. la
radioactivité), mais également à la durée de fonctionnement de systèmes qui ne sont pas
sujets à un phénomène d’usure.
Problème
1) la variable aléatoire T : « durée de vie d’un noyau radioactif » vérifie la propriété
suivante : P(T  t + h / T  t) ne dépend pas de l’instant t, pour tout h positif ou nul.
Montrer que T suit une loi exponentielle (on note ,  > 0, le paramètre).
2) Les durées de vie de plusieurs noyaux (en nombre fini) d’un même corps sont des
variables aléatoires de même loi, indépendantes.
Soit N0 le nombre de noyaux à l’instant t = 0.
Montrer que le nombre moyen Nt de noyaux non désintégrés à l’instant t est Nt = N0e-t.
N.B. Ce problème rend explicites les deux hypothèses de base de la désintégration
radioactive : a) un noyau meurt sans vieillir, b) la mort d’un noyau n’affecte pas les
noyaux voisins.