I. Dénombrements A. Listes d`un ensemble fini Définition : Soit E un

I. Dénombrements
A. Listes d’un ensemble fini
Définition : Soit E un ensemble fini de n éléments (n  1) et p un entier (p  1).
Une suite ordonnée de p éléments de E, non nécessairement distincts, est
appelée liste de p éléments de E.
Remarque : Si l’on impose à une liste de p éléments de E de ne contenir que des éléments
de E distincts deux à deux, une telle liste ne peut contenir au maximum que n éléments.
Dans ce cas l’entier p doit vérifier 1  p  n.
Théorème : Soit E un ensemble fini à n éléments (n  1).
 Pour tout entier p (p  1), le nombre des listes de p éléments de E est np.
 Pour tout entier p tel que 1  p  n, le nombre de listes de p éléments de
E deux à deux distincts est :
n(n – 1) … (n – p + 1) (p facteurs).
Démonstration
Dans le premier cas, il y a n choix possibles pour chacun des éléments de la liste, d’où le
résultat.
Dans le second cas, il y a n choix pour le premier élément, (n – 1) choix pour le second,
(n – 2) choix pour le troisième, et ainsi de suite …, et enfin (n – p + 1) choix pour le
dernier élément.
Exemple 1 : Une urne contient 10 boules numérotées de 0 à 9. Combien y a-t-il de tirages
possibles de 3 boules
a) avec remise (la boule tirée est remise dans l’urne avant chaque nouveau tirage) ;
b) sans remise.
Exemple 2 : Un assemblée est composée de 16 personnes. De combien de façons peut-on
choisir un président, un secrétaire et un trésorier (aucune personne ne pouvant cumuler de
fonctions) ?
B. Permutations
Définition : On appelle permutation d’un ensemble de E de n éléments toute liste de n
éléments de E deux à deux distincts.
Théorème : Le nombre de permutations d’un ensemble E à n éléments (n  1) est le
nombre noté n ! (qui se lit « factorielle n ») défini par :
n ! = n(n – 1) … 21.
DENOMBREMENTS - LOIS DE PROBABILITES

La démonstration découle directement du théorème précédent.
Exemple 1 : On appelle « mot » une succession de lettres distinctes, ayant ou non un sens.
A l’aide des lettres du mot « JACINTHE » combien peut-on former
1) de mots de huit lettres ?
2) de mots de six lettres dont la deuxième et la dernière sont des voyelles et les quatre
autres des consonnes ?
Exemple 2 : Les initiales d’une personne sont le couple formé par la première lettre de son
prénom et la première lettre de son nom (qu’ils soient composés ou non).
Montrer que, dans un village de 677 habitants ou plus, il existe toujours deux personnes
ayant les mêmes initiales.
Exemple 3 : 1) Combien existe-t-il d’anagrammes du prénom « hélène » (ayant un sens ou
non) ?
2) Même question avec les six lettres du prénom « HELENE ».
II. Combinaisons
A. Définition : Soit E un ensemble fini de n éléments et p un entier vérifiant 0  p  n ;
On appelle combinaison de p éléments de E toute partie de E ayant p
éléments.
Le nombre de combinaisons de p éléments d’un ensemble à n éléments
est noté
p
n
(qui se lit « p parmi n »).
B. Théorème : Pour n et p entiers tels que 0  p  n, on a :
p)! -(n p! n! p! 1) P -(n ...1) -n(n
p
n
.
Démonstration
Pour obtenir toutes les listes de p éléments deux à deux distincts d’un ensemble E de n
éléments, on procède en deux étapes.
 Etape 1 : choix d’une partie de E à p éléments ; il y a
p
n
possibilités .
 Etape 2 : Classement des p éléments ; il y a p ! possibilités.
Ainsi, nous obtenons
p
n
p ! listes de p éléments deux à deux distincts. Sachant que :
p
n
p ! = n(n – 1) … (n – p + 1)
)!(!
1...)( 1...)()1(...)1(
pn n
pn pnpnnn

Exemple 1 : Au Loto, combien y a-t-il de tirages de 6 numéros parmi 49 ?
Exemple 2 : Dans un jeu de 32 cartes on appelle « main » tout ensemble de quatre cartes.
1) Combien y a-t-il de mains possibles ?
2) Combien y a-t-il de mains contenant le valet de trèfle ?
3) Combien y a-t-il de mains contenant un seul as ?
4) Combien y a-t-il de mains contenant au moins un roi ?
Exemple 3 : Dans un sac se trouvent cinq jetons verts numérotés de 1 à 5 et quatre jetons
rouges numérotés de 1 à 4. On tire au hasard et sans remise trois jetons du sac.
1) Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2) Combien y a-t-il de tirages possibles ne contenant que des jetons verts ?
3) Combien y a-t-il de tirages ne contenant aucun jeton vert ?
4) Combien y a-t-il de tirages contenant au plus 2 jetons verts ?
5) Combien y a-t-il de tirages contenant exactement un jeton vert et un jeton numéroté 2 ?
Exemple 5 : Résoudre l’équation dans l’ensemble des entiers n strictement supérieurs à 2,
3
n
+
2
n
= 3n(n – 1).
C. Propriétés des coefficients binomiaux
 Quel que soit l’entier n, n  0,
0
n
= 1 et
n
n
= 1.
Quel que soit l’entier n, n  1,
1
n
= n.
 Quels que soient les entiers n et p tels que 0  p  n,
p-n
n
p
n
.
 Quels que soient les entiers n et p tels que 0  p  n - 1, on a :
1 - p 1 -n p 1 -n p
n
(relation de Pascal).
Démonstration
 Dans un ensemble E à n éléments, il y a une seule partie à 0 élément : c’est la partie
vide, et il n’y a qu’une seule partie à n éléments : c’est la partie pleine, autrement dit
l’ensemble E tout entier.
De même il y a n parties à un seul élément (encore appelées des singletons).
 Le fait d’associer à chaque partie A de E la partie complémentaire de A rend visible
qu’il y a autant de parties de E ayant p éléments que de parties ayant (n – p) éléments
(car, si A possède p éléments,
A
possède n – p éléments).
 Pour démontrer la relation de Pascal on effectue une partition de E par des parties à p
éléments. Soit a un élément fixé de E. Parmi les parties de E à p éléments, il y a :
celles ne contenant pas a : ce sont les parties à p éléments parmi (n – 1) éléments ; il
y en a donc
 p
n - 1
;

celles contenant a : on les obtient en ajoutant l’élément a aux parties à (p – 1)
éléments parmi les (n – 1) éléments de E distincts de a ; il y en a donc
1 1
p
n -
.
D’où le résultat.
Exercice : Déduire de la relation de Pascal la somme S =
p
p
...
p 1 -n p
n
.
Remarque : Le triangle dit « de Pascal » (connu des mathématiciens chinois bien avant
Pascal !) permet de retrouver les nombres
p
n
.
Théorème : Soit a et b deux nombres complexes et n un entier (n  1). On a :
(a + b)n =
np
0p
pp-n ba
p
n
soit (a + b)n = an +
1
n
an-1b1 +
2
n
an-2b2 + … +
1 -n
n
a1bn-1 + bn .
Remarque : Les nombres
p
n
sont les coefficients des termes en an-pbp dans le
développement de (a + b)n appelé binôme de Newton, d’où le nom de coefficients
binomiaux donnés à ces nombres. C’est en 1664 qu’Isaac Newton montre que cette
formule est valable pour tout valeur de n, même négative ou fractionnaire.
Démonstration
Pour cette démonstration on utilise un raisonnement par récurrence.
 La formule est vérifiée pour n = 1.
 On suppose ensuite qu’elle l’est au rang n, pour un entier naturel non nul n. Alors
(a + b)n+1 = (a + b)[an +
1
n
an-1b +
2
n
an-2b2 + … +
1n -
n
a1bn-1 + bn].
0
1
2
3
4
5
6
7
8
n = 0
1
n = 1
1
1
n = 2
1
2
1
n = 3
1
3
3
1
n = 4
1
4
6
4
1
n = 5
1
5
10
10
5
1
n = 6
1
6
15
20
15
6
1
n = 7
1
7
21
35
35
21
7
1
n =8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
p
+
+
+
+

On développe ensuite ce produit de facteurs.
(a + b)n+1 = an+1 +
1
n
anb +
2
n
an-1b2 + … +
1n -
n
a2bn-1 + abn +
+ anb +
1
n
an-1b2 +
2
n
an-2b3 + … +
1n -
n
a1bn + bn+1
= an+1 +
01 nn
anb +
12 nn
an-1b2 + …
+
1
pn p
n
an-pbp + … +
1
nn n
n
abn + bn+1
=
0 1n
an+1 +
1 1n
anb +
2 1n
an-1b2 + …
+
p
n
1
an-pbp + … +
n
n
1
abn +
1 1
n
n
bn+1.
III. Exemples de lois discrètes
A. La loi de Bernoulli
Définition 1 : Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire n’ayant que deux
issues, ( généralement appelées respectivement succès et échec), de
probabilités respectives p et q (donc p + q = 1).
Définition 2 : Soit une épreuve de Bernoulli d’issues contraires S (avec la probabilité p)
et E (avec la probabilité q), et X la variable aléatoire à valeurs dans
{0, 1} ainsi définie :
X =
p) - 1 q éprobabilit (de Eest épreuvel' de issuel' si 0 p) éprobabilit (de Sest épreuvel' de issuel' si 1
.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi de
Bernoulli de paramètre p.
Propriétés :  L’espérance de X est E(X) = p.
 La variance de X est V(X) = pq.
 L’écart-type de X est (X) =
pq
.
Démonstration
Elle est immédiate car, par définition de l’espérance, E(X) = 1 p + 0 (1 – p).
En utilisant la formule de König, on obtient V(X) = (12 p + 02 q) - p2 = p(1 – p).
Exemple : On lance un dé régulier et on appelle succès l’apparition du chiffre 6 de
probabilité
6
1
et échec l’apparition de tout autre chiffre que 6, de probabilité
6
5
.
Cette alternative est décrite par la loi de Bernoulli de paramètre
6
1
.