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Mathematiques 3ème
Collection l'Essentiel
5
Equations de droite
Chapitre 5 :
Objectifs
A la fin de cette leçon, l’élève doit être capable de :
- construire une droite déterminée soit par une équation cartésienne, soit par un point
et le coefficient directeur, soit par deux points, soit par un point et un vecteur
directeur.
- Déterminer un vecteur directeur d’une droite dont on connaît une équation
cartésienne.
- Trouver le coefficient directeur d’une droite.
- Donner une équation cartésienne d’une droite.
- Dire si deux droites sont perpendiculaires ou parallèles
- Dire si deux droites sont sécantes et trouver les coordonnées de leur point
d’intersection.
A ESSENTIEL DU COURS
I- EQUATIONS DE DROITES
1.1. Equations cartésienne d’une droite.
Toute relation de la forme Px +Py +r = 0 (avec p 0 ou q
0
) est appelée
équation cartésienne d’une droite (D). De cette relation, nous pouvons déduire les
coordonnées d’un vecteur directeur de cette droite.
u
(-q ;-p).
Exemples : (D1) : 2x + 3y – 4 = 0
u
1 (-3 ; 2)
(D2) : x – 4 = 0
u
2 (0 ; 1)
(D3) : 2y – 7 = 0
3
u
(-2 ; 0)
1.2. Equation réduite d’une droite.
Une droite (D) non parallèle à l’axe (OJ) a une équation réduite de la forme y =
ax + b ou le réel a est appelé coefficient directeur de la droite (D). De cette relation,
nous pouvons déduire les coordonnées d’un vecteur directeur de (D) :
u
(1 ; a).
Exemples : (D1) : y = 2x + 4 coefficient directeur a = 2. Un vecteur directeur est
u
(1 ; 2)
(D2) : y = 4 Coefficient directeur a = 0. Un vecteur directeur
u
2 (1 ; 0).
NB : Une droite possède une infinité d’équations toutes équivalentes.
1.3. Détermination du coefficient directeur d’une droite passant par deux points
donné.
E
EQ QU UA AT TI IO ON NS S D DE E D DR RO OI IT TE E

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Equations de droite
Soit A (xA ; yA) et B (xB ; yB) dans un repère (O, I, J). Le coefficient directeur
de la droite (AB) est donné par la formule suivante :
a =
AB
AB xx yy
Exercice d’application
Le plan est muni d’un repère (O, I, J). On donne A (1,-2) et B (
2
1
; 3).
Déterminons le coefficient directeur de la droite (AB)
Solution :
A =
AB
AB xx yy
=
2
5
2
1
5
2
1
5
1
2
1)2(3 
 x
1.4. Recherche d’une équation de droite
1.4.1. Droite passant par deux points donnés
Le plan est muni d’un repère (O, I, J). Pour déterminer une équation de la droite
passant par deux points donné A et B, on considère un point M de (AB) et on écrit que
AMetAB
sont colinéaires.

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Equations de droite
Exercice d’application
Le plan est muni d’un repère (O, I, J). On donne A (1 ;2) et B (3 ;-4).
Déterminer une équation de la droite (AB).
Solution
1ère méthode : soit M (x ; y) un point du plan
AO
M (AB) équivaut à
AB
et
AM
sont
colinéaires. On trouve
AB
24
13
d’où
AB
6
5
et
AM
2
1
y
x
. Ainsi (
AB
et
AM
sont colinéaires) équivaut à 2 (y-2) – (-6) (x-1) = 0
équivaut à 2y - 4 +6x - 6 = 0
équivaut à 2y + 6x -10 = 0.
D’où (AB) : 6x + 2y – 10 = 0 ou encore 3x+2y-5= 0
2e méthode
(AB) a une équation réduite de la forme y = ax + b.
Où a =
AB
AB xx yy
=
3
2
6
13 24 
Ainsi (AB) : y = -3x +b
Or A (AB) donc yA = -3 xA +b 2 = -3 (1) + b
2 + 3 = b
b = 2
Par suite (AB) : y = -3x + 5
Retrouvons l’équation cartésienne de (AB).
Y = -3x + 5 y + 3x – 5 = 0
2y + 6x – 10 = 0
6x + 2y – 10 = 0
1.4.2. Droite passant par un point donné et parallèle à une droite donné
Le plan est muni d’un repère. Pour trouver une équation de la droite (D) passant
par un point donné C et parallèle à la droite (AB. On considère un point M appartenant
à (D) et on écrit que
CM
et
AB
sont colinéaires.
Exercice d’application
Le plan est muni du repère (O, I, J). On donne A (1 ; 2) ; B (2 ; 4) et
C (1 ; 5). Déterminons une équation cartésienne de la droite passant par C et parallèle
à (AB).
Solution :
Soit M (x ; y) un point du plan. Et (D) la droite passant par C et parallèle à (AB).
Si M (D) alors
CM
et
AB
sont colinéaires
CM
5
1
y
x
AB
(1 ; 2)

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CM
et
AB
sont colinéaires équivaut à 2 (x-1) – 1 (y-5) = 0
C’est-à-dire 2x – y + 3 = 0
D’où (D) : 2x – y + 3 = 0
1.4.3. Droite passant par un point donné et perpendiculaire à une droite données
Le plan est muni d’un repère. Pour trouver une équation de la droite (D) passant
par un point donné C et perpendiculaire à la droite (AB). On considère un point M
appartenant à (D) et on écrit que
CM
et
AB
sont orthogonaux.
Exercice d’application
Le plan est muni du repère (O, I, J). On donne A (1 ; 2) B (2 ; 4) et
C (2 ; 3). Donnons une équation de la droite (D) passant par C et perpendiculaire à
(AB).
Solution :
Soit M (x ; y) un point du plan.
Si M (D) alors
CM
et
AB
sont orthogonaux.
CM
3
2
y
x
AB
2
1
CM
et
AB
sont orthogonaux équivaut à 1 (x – 2) + 2 (y – 3) = 0
C’est-à-dire x + 2y – 8 = 0
d’où (D) : x + 2y – 8 = 0
1.4.4. Equation d’une droite de coefficient directeur donné et passant par un
point donné
Le plan est muni d’un repère. Pour déterminer une équation de la droite (D) de
coefficient directeur a et passant par le point A (xA ; yA) ; il suffit de trouver la
valeur de b en écrivant yA = axA + b.
Exercice d’application
Le plan est muni du repère (O, I, J). Déterminons une équation de la droite (D)
passant par A (2 ;-1) et de coefficient directeur a =3.
Solution
Une équation réduite de la droite (D) est y = ax + b. or on sait que a = 3. ainsi,
(D) : y = 3x + b.
Mais A (D) donc yA = 3xA + b.
C’est-à-dire -1 = 3 (2) + b
D’où b = -7
Par conséquent (D) : y = 3x – 7

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1.5. Construction d’une droite
Pour construire une droite dont on connaît une équation, il suffit de trouver les
coordonnées de deux points de cette droite, de placer ces points dans un repère et de
tracer la droite passant par ces deux points.
Exercice d’application
Le plan est muni du repère (O, I, J). Construisons la droite (D) d’équation 2x + y
– 2 = 0.
Solution :
A
B
X
0
1
Y
2
0
II- POSITIONS RELATIVES DE DEUX DROITES
2.1. droite parallèles
Considérons deux droites (D1) et (D2) de vecteur directeurs respectifs
1
u
et
2
u
. (D1) et (D2) sont parallèles lorsque les vecteurs
1
u
et
2
u
sont colinéaires.
Propriété :
Soit (D) : y = ax + b
(D) : y = a’x + b
((D) // (D’)) équivaut à a = a’
Exercice d’application
On donne : (D) : 2x + y – 5 = 0
(D’) : 4x + 2y – 13 = 0
Montrons que (D) // (D’).
Solution :
(D) : 2x + y – 5 = 0 y = - 2x + 5 a = -2
(D’) : 4x + 2y – 13 = 0 2y = - 4x + 13 y = - 2x +
2
13
a’ = -2
A
I
B
J
O
(D)