Chapitre 3 - Cours-UTBM

Chapitre 3
LES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME
TRANSITOIRE
Lorsqu'on branche un générateur dans un circuit électrique, le courant ne s'établit pas instantanément.
Ainsi si on prend un réseau alimenté par des sources continues de tensions ou de courants, les courants ou
tensions vont passer soit continûment (au sens mathématique du terme),soit brusquement de la valeur O (avant
mise en route du générateur) à la valeur constante qui les caractérisera lorsque le régime continu sera établi. Il en
est de même d'ailleurs pour des générateurs délivrant une tension sinusoïdale. La phase d'établissement du
courant dans un circuit est appelée régime transitoire du circuit. Nous n'étudierons pour simplifier que le cas de
réseaux contenant les composants R, L et C avec des sources de tensions continues. S’il y a des sources de
courant, le principe du calcul est le même.
I/ Régime transitoire de la charge d’un condensateur à travers une résistance.
Le circuit est celui du schéma, le condensateur a une capacité C. A l’instant t = 0, il est supposé non
chargé soit q ( 0 ) = 0 donc U ( 0 ) = 0 puisque q = CU. On commence alors la charge en abaissant l’interrupteur.
i
R
q
C
-q
E
L’équation des mailles donne E = Ri +
U
q
dq
dU
. Or i =
=C
.
C
dt
dt
L’équation différentielle devient alors: E = R
dq
q
+
que l’on peut encore écrire:
dt
C
dq
q
E
+
=
dt
RC
R
On va poser =RC. La solution en q (t) sera donc (voir préliminaire):
t
q (t) = EC + A exp (- )

dq
ne peut être infini (voir préliminaire),
dt
donc q doit être continue au sens mathématique du terme. On aura donc 0 = EC + A d’où A = - EC et la solution
s’écrira:
La constante A sera trouvée en écrivant que q ( 0 ) = 0. En effet i =
q = EC (1- exp (- t ) )

On peut en déduire rapidement l’évolution de U et i avec le temps:
U=
q
dq
t
dU E
t
= E (1- exp (- ) ) et i =
=C
=
)
exp (
C
dt

dt

R
Les courbes représentatives de ces évolutions seront donc:
23
q(t)
EC
0.63 EC
temps

U(t)
E
0.63 E
temps

i(t)
E/R
0.27 E/R

temps
Le courant initial n’est pas nul. Il subit une discontinuité et part de
E
pour tendre vers O lorsque t tend vers
R
l’infini.

 donnera donc un ordre de grandeur du temps que met le condensateur pour se charger, sachant qu’en théorie le
condensateur est chargé à 63% au bout de secondes. Le temps de charge d’un condensateur est donc
proportionnel à R et à C ce qui parait logique : plus C est grand, plus il faudra amener de charges donc  sera
24
grand et plus R est grand, moins le courant sera important et plus  sera grand. Remarquons que le condensateur
se charge vite au départ et de plus en plus lentement ensuite.
II/ Régime transitoire de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.
Le circuit est le même que le précédent mais sans générateur. Pour qu’un courant puisse traverser ce
circuit, il faut imaginer que le condensateur est initialement chargé. On ferme l’interrupteur à t = 0 avec q (0) =
qo.
i
R
q
C
-q
U
La résolution du problème sera donc la même que précédemment, il suffira de prendre E = 0 et de
modifier la condition initiale sur q.
q
dq
q
L’équation différentielle sera donc: 0 = Ri + d’où 0 =
+
toujours avec  = RC.

C
dt
La solution de cette équation en tenant compte de la condition initiale est donc :
q = qo exp (-
t
)

Le condensateur se décharge exponentiellement. Un ordre de grandeur du temps de décharge est donné par .
Le courant i de décharge sera obtenu en dérivant q:
i (t) =
q
dq
t
= - o exp (- )
dt


Les courbes représentatives de l’évolution du circuit sont données sur les graphes suivants:
q(t)
qo
temps

25
i(t)
t

-qo/
Rms: i est négatif car les charges positives fuient l’armature supérieure lors de la décharge si q o > 0. On
vérifiera que là encore, les tangentes à l’origine coupent l’axe en t = .
III/ Régime transitoire d'un circuit R, L alimenté par un générateur de tension parfait.
Considérons le circuit série comportant un générateur de tension continue parfait (fem E), une résistance
R et une bobine pure dont le coefficient d’auto-induction vaut L. A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.
i
R
E
L
En écrivant la loi des mailles on obtient
Ul
E = Ri + L
di
.
dt
E
R
 A exp (  t ) .
R
L
La constante d’intégration A peut être calculée en remarquant qu’à l’instant t = 0, i (0) = 0. En effet, le courant
dans la bobine i sera continu au sens mathématique du terme (voir préliminaire).
La résolution de cette équation donne i de la forme : i =
E
E
+ A d’où A = et la solution s’écrit:
R
R
E
t
i=
(1 exp (  ))
R

L
où l’on a posé =
et dont la représentation graphique est donnée par:
R
On aura donc 0 =
26
i(t)
courant
E/R

temps
L
introduite est homogène à un temps: c’est la constante de
R
E
E
temps du circuit. Ce temps correspondra au temps que met le courant pour atteindre
(1-e-1) = 0.63 , c’est à
R
R
dire 63% de la valeur « finale » quand le régime est établi comme pour le condensateur. Cette constante donne
donc un bon ordre de grandeur du temps que met le courant pour s’établir dans le circuit. Si L augmente
augmente. Pour une résistance pure sans effet inductif tend vers 0 et le courant s’établit instantanément. Ce
n’est qu’un cas limite, en pratique toutes les résistances ont un léger effet inductif. On vérifiera que la tangente à
l’origine coupe l’asymptote en t = .
di
La tension aux bornes de la bobine peut être trouvée par Ul = L
soit
dt
t
Ul = E exp (  )

dont la représentation graphique est:
On vérifiera facilement que la constante  =
Ul (t)
E

temps
Toute la tension est au départ sur la bobine pour passer progressivement sur la résistance.
IV/ Régime transitoire de la décharge d’un condensateur dans une résistance inductive.
27
Le circuit étudié est maintenant celui de la figure. A l’instant t = 0 on abaisse l’interrupteur et on
supposera que q (0) = q0 (le condensateur étant initialement chargé).
L
R
i
q
C
U
-q
L’application de la loi des mailles donne donc 0 = Ri + L
dq
di q
+ , on a toujours i =
. On obtient
dt
dt C
donc une équation différentielle du second ordre en q:
0=L
d ²q
dq q
+
R
dt C
dt ²
Si l’on résout cette équation, on pourra immédiatement trouver i par dérivation de q et toutes les autres
grandeurs caractéristiques du circuit.
La solution générale de cette équation est de la forme:
q (t) =A exp (r1t) + B exp(r2t)
A et B étant des constantes d’intégration, r1 et r2 étant les solutions de l’équation caractéristique associée:
q
0 = Lr² + Rr +
C
Calculons le discriminant de cette équation et envisageons les divers cas:
 = R² - 4
L
C
L
: circuit à dominante résistive): on obtient une solution dite de régime apériodique
C
car il n’y aura pas d’oscillations.
* Si> 0 ( R² > 4
Les solutions de l’équation caractéristique associée sont réelles:
r1=
R  
R  
et r2 =
2L
2L
Les constantes A et B seront déterminées en disant qu’à t = 0, le courant est nul à cause de la présence de L (voir
dq
préliminaire) donc
= 0 soit r1 A+ r2 B = 0. D’autre part q (0) = qo = A+B. Ces deux équations permettront
dt
donc de trouver A et B. on obtient:
q
R
)
A = o (1 
2

B=
qo
R
(1 
)
2

d’où
q (t) =
qo
q
R
R
R  
R  
(1 
) exp (
) exp (
t) + o (1 
t) .
2
2
2
L
2L


On en déduit par dérivation:
28
R  
R  
t) + exp (
t)).
2L
2L
C 
Les deux courbes sont représentées sur les graphes suivants. On constate que, dans ce cas, le courant partant de 0
passe par un maximum (en valeur absolue) avant de tendre vers O, la charge du condensateur étant elle toujours
décroissante avec tangente nulle à l’origine pour tendre vers 0 quand t tend vers l’infini. Il existe un instant où la
décharge est la plus rapide (i maximum en valeur absolue). Un tel régime est dit apériodique.
q(t)
i(t) =
qo
(  exp(
temps
i(t)
temps
L
L
. C’est le régime critique de décharge. La résistance correspondante Rc = 2
est
C
C
appelée résistance critique du circuit.
R
L’équation caractéristique associée admet une seule solution r =
et la solution générale de
2L
Rt
l’équation est q (t) = (A + Bt ) exp (). Comme dans le cas précédent, les constantes A et B sont trouvées par
2L
considération des conditions initiales sur i ( 0 ) = 0 et q ( 0 ) = q o. On trouve:
*  = 0: R² = 4
A = qo
q R
B= o
2L
d’où
q (t) = qo ( 1 +
Rt
Rt
) exp( 
)
2L
2L
et
i(t)= 
q o R²t
Rt
exp( 
)
4 L²
2L
Les graphes donnant q (t) et i (t) sont les suivants:
29
q(t)
temps
i(t)
temps
Ils ressemblent fortement aux précédents, simplement c’est dans ce cas que la décharge est la plus rapide. On
recherchera donc ce régime critique pour décharger très rapidement un condensateur.
L
* < 0 ( R² < 4 , circuit peu résistif) c’est le régime pseudo périodique car on va voir qu’il
C
correspond à des oscillations amorties.
Les solutions de l’équation caractéristique associée sont complexes du type:
R  j 
ce que l’on peut écrire sous la forme
2L
R

1
R²
r1 = - + jw et r2 = - - jw avec =
et w =
=

LC 4 L²
2L
2L
r1=
R  j 
2L
et r2 =
Conformément au préliminaire, la solution générale sera du type : q= exp(-t) ( A cos wt + B sin wt). Les
constantes A et B sont toujours déterminées par les conditions initiales ( q ( 0 ) = 0 et i ( 0 ) = 0 ) et le courant
correspondant est obtenu en dérivant q (t). On trouvera facilement:
A = qo
q 
B= o
w

D’où q (t) = qo exp(-t) (cos wt +
sin wt)
w
²
i (t) = -qow exp(-t) (1+
) sin wt.
w²
Les représentations graphiques de q(t) et i(t) donnent:
30
q(t)
temps
- i(t)
temps
Le courant dans le circuit est pseudo-sinusoïdal avec l’amplitude qui décroît exponentiellement, la
« pseudo période » du mouvement vaut:
T=
2
=
w
2
1
R²

LC 4L²

2 LC
1
R²C
4L
On a donc une oscillation amortie. L’amortissement peut être caractérisé mathématiquement par une
grandeur appelée décrément logarithmique qui permet de comparer l’amplitude de deux oscillations
successives:
 = Ln
q( t )
RT
= T=
2L
q( t  T)
Plus la résistance du circuit sera importante, plus le décrément sera important et le circuit sera fortement
amorti (l’énergie est consommée dans la résistance par effet Joule). Si la résistance devient trop grande, il n’y a
plus d’oscillations (voir les deux premiers cas).
Pour générer un signal sinusoïdal non amorti, il suffira d’adjoindre au montage un générateur d’énergie
qui compense la perte d’énergie par effet Joule. On utilise en plus sophistiqué ce principe pour générer des
signaux HF pour les télécommunications.
31
V/ Charge d’un condensateur à travers une résistance inductive.
Le circuit est celui de la figure. Par rapport au cas précédent il y a le générateur parfait de fem E en plus.
A l’instant t = 0, le courant étant nul et le condensateur déchargé: i (0) = 0 et q (0) = 0.
L’équation différentielle du circuit est alors la suivante:
E=L
d ²q
dq q
+
R
dt C
dt ²
La résolution de cette équation est la même que dans le cas précédent avec le terme en E en plus soit (voir
préliminaire):
q =EC + A exp (r1t) + B exp (r2t)
A et B étant les constantes d’intégration déterminées par les conditions initiales, r 1 et r2 étant les
solutions de l’équation caractéristique associée.
L
R
i
q
E
C
U
-q
Là encore, il faudra distinguer trois cas suivant le signe de . On vérifiera à titre d’exercice que l’on
aboutit à des solutions similaires aux précédentes avec une constante en plus. Il y aura aussi trois régimes
(apériodique, critique et pseudo périodique) avec des caractéristiques similaires aux précédents.
VI/ Cas de circuits quelconques comportant des dérivations.
Le principe est toujours le même, on écrit la loi des mailles pour les différentes mailles ainsi que la loi
des nœuds pour les différents nœuds. En général, on tombe sur un système d’équations linéaires avec des
dérivées qu’il faut résoudre. La difficulté est purement calculatoire. A titre d’exemple :
Exercice:
R
i(t)
Trouver u(t) et i(t) si on abaisse l’interrupteur à
t=0, condo déchargé.
E
u(t)
C
On pourra poser w² =
L
1
et  = RC . On supposera que 4w²²>>1.
LC
Exercice : On considère le circuit de la figure suivante dans lequel e(t) est un signal quelconque.
32
Donner l’équation différentielle liant s(t) et e(t).
R1
e(t)
C1
R2
C2
33
s(t)