Chapitre 3 - Cours-UTBM

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Chapitre 3
LES RESEAUX ELECTRIQUES EN REGIME
TRANSITOIRE
Lorsqu'on branche un générateur dans un circuit électrique, le courant ne s'établit pas instantanément.
Ainsi si on prend un réseau alimenté par des sources continues de tensions ou de courants, les courants ou
tensions vont passer soit continûment (au sens mathématique du terme),soit brusquement de la valeur O (avant
mise en route du générateur) à la valeur constante qui les caractérisera lorsque le régime continu sera établi. Il en
est de même d'ailleurs pour des générateurs délivrant une tension sinusoïdale. La phase d'établissement du
courant dans un circuit est appelée régime transitoire du circuit. Nous n'étudierons pour simplifier que le cas de
réseaux contenant les composants R, L et C avec des sources de tensions continues. S’il y a des sources de
courant, le principe du calcul est le même.
I/ Régime transitoire de la charge d’un condensateur à travers une résistance.
Le circuit est celui du schéma, le condensateur a une capacité C. A l’instant t = 0, il est supposé non
chargé soit q ( 0 ) = 0 donc U ( 0 ) = 0 puisque q = CU. On commence alors la charge en abaissant l’interrupteur.
i
R
q
E C U
-q
L’équation des mailles donne E = Ri +
q
C
. Or i =
dq
dt
= C
dU
dt
.
L’équation différentielle devient alors: E = R
dq
dt
+
q
C
que l’on peut encore écrire:
dq
dt
+
q
RC
=
E
R
On va poser =RC. La solution en q (t) sera donc (voir préliminaire):
q (t) = EC + A exp (-
t
)
La constante A sera trouvée en écrivant que q ( 0 ) = 0. En effet i =
dq
dt
ne peut être infini (voir préliminaire),
donc q doit être continue au sens mathématique du terme. On aura donc 0 = EC + A d’où A = - EC et la solution
s’écrira:
q = EC (1- exp (-
t
) )
On peut en déduire rapidement l’évolution de U et i avec le temps:
U =
q
C
= E (1- exp (-
t
) ) et i =
dq
dt
= C
dU
dt
=
E
Rexp (
t
)
Les courbes représentatives de ces évolutions seront donc:

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temps
temps
temps
Le courant initial n’est pas nul. Il subit une discontinuité et part de
E
R
pour tendre vers O lorsque t tend vers
l’infini.
 donnera donc un ordre de grandeur du temps que met le condensateur pour se charger, sachant qu’en théorie le
condensateur est chargé à 63% au bout de secondes. Le temps de charge d’un condensateur est donc
proportionnel à R et à C ce qui parait logique : plus C est grand, plus il faudra amener de charges donc  sera
q(t)
EC
0.63 EC
U(t)
E
0.63 E
E/R
0.27 E/R
i(t)

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grand et plus R est grand, moins le courant sera important et plus  sera grand. Remarquons que le condensateur
se charge vite au départ et de plus en plus lentement ensuite.
II/ Régime transitoire de la décharge d’un condensateur à travers une résistance R.
Le circuit est le même que le précédent mais sans générateur. Pour qu’un courant puisse traverser ce
circuit, il faut imaginer que le condensateur est initialement chargé. On ferme l’interrupteur à t = 0 avec q (0) =
qo.
i
R
q
C U
-q
La résolution du problème sera donc la même que précédemment, il suffira de prendre E = 0 et de
modifier la condition initiale sur q.
L’équation différentielle sera donc: 0 = Ri +
q
C
d’où 0 =
dq
dt
+
q
toujours avec  = RC.
La solution de cette équation en tenant compte de la condition initiale est donc :
q = qo exp (-
t
)
Le condensateur se décharge exponentiellement. Un ordre de grandeur du temps de décharge est donné par .
Le courant i de décharge sera obtenu en dérivant q:
i (t) =
dq
dt
= -
qo
exp (-
t
)
Les courbes représentatives de l’évolution du circuit sont données sur les graphes suivants:
temps
q(t)
qo

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i(t)
t
Rms: i est négatif car les charges positives fuient l’armature supérieure lors de la décharge si qo > 0. On
vérifiera que là encore, les tangentes à l’origine coupent l’axe en t = .
III/ Régime transitoire d'un circuit R, L alimenté par un générateur de tension parfait.
Considérons le circuit série comportant un générateur de tension continue parfait (fem E), une résistance
R et une bobine pure dont le coefficient d’auto-induction vaut L. A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur.
i
R
E L Ul
En écrivant la loi des mailles on obtient E = Ri +
Ldi
dt
.
La résolution de cette équation donne i de la forme : i =
E
RAR Lt exp ( )
.
La constante d’intégration A peut être calculée en remarquant qu’à l’instant t = 0, i (0) = 0. En effet, le courant
dans la bobine i sera continu au sens mathématique du terme (voir préliminaire).
On aura donc 0 =
E
R
+ A d’où A = -
E
R
et la solution s’écrit:
i =
E
Rt
( exp ( ))1  
où l’on a posé =
L
R
et dont la représentation graphique est donnée par:
-qo/

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i(t)
temps
courant
On vérifiera facilement que la constante  =
L
R
introduite est homogène à un temps: c’est la constante de
temps du circuit. Ce temps correspondra au temps que met le courant pour atteindre
E
R
(1-e-1) = 0.63
E
R
, c’est à
dire 63% de la valeur « finale » quand le régime est établi comme pour le condensateur. Cette constante donne
donc un bon ordre de grandeur du temps que met le courant pour s’établir dans le circuit. Si L augmente
augmente. Pour une résistance pure sans effet inductif tend vers 0 et le courant s’établit instantanément. Ce
n’est qu’un cas limite, en pratique toutes les résistances ont un léger effet inductif. On vérifiera que la tangente à
l’origine coupe l’asymptote en t = .
La tension aux bornes de la bobine peut être trouvée par Ul =
Ldi
dt
soit
Ul = E
exp ( )t
dont la représentation graphique est:
temps
Toute la tension est au départ sur la bobine pour passer progressivement sur la résistance.
IV/ Régime transitoire de la décharge d’un condensateur dans une résistance inductive.
E/R
E
Ul (t)