Probabilités_

Chapitre : Probabilités
I) Notion d’évènement
1°) Définitions
● Lorsque l’on simule plusieurs fois une même expérience donnant différents résultats imprévisibles et
dus au hasard, on dit que l’on réalise une expérience aléatoire.
Exemples : - lancer d’une pièce à Pile ou Face
- lancer d’un dé à six faces
● L’ensemble Ω des éventualités d’une expérience aléatoire est appelé l’univers des possibles.
● Une partie de l’univers des possibles est appelé un évènement.
● Un évènement ne contenant qu’une seule éventualité est appelé évènement élémentaire (mais cela
reste un évènement tout de même…)
● Un évènement qui se produit à coup sûr est appelé évènement certain.
● Un évènement qui ne peut jamais se produire et qui ne contient aucune éventualité (le vide par
exemple) est appelé évènement impossible.
2°) Exemple : Le lancer de dé à six faces
* On lance un dé à six faces et on regarde le numéro de la face.
● Cela constitue une
● L’univers des possibles est l’ensemble Ω =
● « Obtenir un nombre positif » est un
● « Faire 3 » est un
● « Faire 10 » est un
● « Obtenir un nombre pair » est un
* On peut aussi lancer deux dés à six faces et regarder le score obtenu par somme des deux numéros de
face. L’univers des possibles sera alors Ω =
A
3°) Représentations possibles
B
a) Diagrammes (sous forme de « patates »)
3
1
Exemple du lancer de dé à six faces
2
A est l’évènement
6
A=
B est l’évènement
B=
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4
5
b) Tableau
On lance deux dés à six faces et on regarde le score obtenu par somme des deux numéros.
1er dé
1
2edé
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
c) Arbre
Exemple : on lance deux fois de suite une pièce et on regarde les résultats de Pile (P) ou Face (F).
P
P
F
P
F
F
On voit très vite que l’on a quatre couples de possibilités : (P , P) (P , F) (F , P) (F , F)
II) Différentes formes d’évènements
1°) Intersection d’évènements
Définition
L’intersection de deux évènements A et B est l’ensemble des éventualités que l’on retrouve à la fois
dans A et dans B. On le note A  B.
Reprenons l’exemple du 3°)a) de la page 1.
On avait A =
Ω
B
A
et B =
Alors A  B =
2°) Union d’évènements
L’union de deux évènements A et B est l’ensemble des éventualités que l’on retrouve dans A ou dans
B (éventuellement dans les deux à la fois). On la note A  B.
Dans l’exemple du 3°)a) de la page 1,
On avait A =
et B =
A
Alors A  B =
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Ω
B
3°) Évènements incompatibles (ou disjoints)
On dit que deux évènements A et B sont incompatibles (ou disjoints) s’ils n’ont aucune éventualité en
commun. Autrement dit, A  B = Ø
A
B
Ω
4°)Évènements contraires
Si A est un évènement donné, alors on définit l’évènement contraire de A, noté A , qui contient toutes
Ω
les éventualités de l’univers Ω qui ne sont pas dans A et seulement celles-ci.
A
Reprenons l’exemple du 3°)a) de la page 1.
A
Sous forme littérale, A était l’évènement
et A =
Ainsi sous forme littérale, A est l’évènement
et A =
De même, B était l’évènement
et donc B est l’évènement
III) Loi de probabilité
1°) Notion de probabilité
Étant donnée une expérience aléatoire sur un univers Ω = {x1, x2, …, xn} , une loi de probabilité p est
une application qui, à chaque évènement élémentaire {xi}de l’univers Ω associe un nombre réel
picompris entre 0 et 1, correspondant à « une fréquence d’apparition de xi » et telle que la somme des
réels pi valle 1 Error!
Par exemple, pour un dé normal à six faces, on a Ω = {1,2,3,4,5,6} et si pi est la probabilité
d’apparition de la face i (par exemple p3 celle de la face n°3), alors naturellement on a
p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = Error!
(c’est évident, chaque face du dé à six faces normal à une chance sur six d’apparaître).
2°) Probabilité d’un évènement
On considère une expérience aléatoire sur un univers Ω et une loi de probabilité p définie sur Ω.
Alors la probabilité d’un évènement A est égale à la somme des probabilités des évènements
élémentaires qui sont inclus dans A.
Par exemple avec le lancer de dé à six faces, si A est l’évènement « le numéro de la face est impaire »,
on aura A = {1 , 3 , 5} et par conséquent p(A) = p1 + p3 +p5
Remarques :
● La probabilité d’un évènement certain est 1.
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● La probabilité de l’univers Ω vaut 1, p(Ω) = 1 (après tout, l’univers est un évènement certain)
● La probabilité d’un évènement impossible vaut 0 (par exemple p(Ø) = 0)
3°) Exemple de calcul de probabilité
On lance un dé à six faces truqué tel que p1 = Error! p2 = Error!
Error!
p3 = Error! p4 = Error! p5 =
p6 = Error!
(avec un tel dé truqué, c’est la face n°6 qui a le plus grand nombre de chances d’apparaître)
p définit bien une loi de probabilité puisque l’univers est Ω = {1,2,3,4,5,6}
et p1 + p2 + p3 + p4 + p5 +p6 = Error! + Error! + Error! + Error! + Error! + Error! = Error! = 1
Reprenons alors l’exemple du 3°)a) de la page 1 pour ce dé truqué.
L’évènement A est
p(A) =
L’évènement B est
p(B) =
4°) Cas de l’équiprobabilité
Définition
Une loi de probabilité p définie sur un univers Ω est dite équiprobable si tous les évènements
élémentaires de Ω ont la même probabilité.
Exemples :
● Tous les numéros d’un dé à six faces normal ont la même probabilité d’apparaître. Celle-ci vaut
● Une pièce normale a la même probabilité de faire pile que de faire face. Celle-ci vaut
Théorème : Loi de Laplace
Soit A un évènement d’un univers Ω sur lequel est définie une loi de probabilité équiprobable. Alors :
p(A) = Error!
Reprenons l’exemple du 3°)a) de la page 1 avec le dé normal.
L’évènement A est
p(A) =
L’évènement B est
p(B) =
IV) Propriétés concernant les probabilités
Dans tout ce qui suit, p est une probabilité définie sur un univers Ω.
1°)Probabilité d’une union d’évènements
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a) Cas d’évènements incompatibles
Propriété
Si A et B sont deux évènements incompatibles de l’univers Ω alors p(A  B) = p(Ø) = 0
et p(A  B) = p(A) + p(B)
Exemple : On lance un dé à six faces normal et on considère les évènements
A : « On obtient 4 »
B : « On obtient un nombre impaire »
Alors p(A) =
p(B) =
et A  B =
donc p(A  B) =
b) Cas général
Propriété
Si A et B sont deux évènements de l’univers Ω alors p(A  B) = p(A) + p(B) – p(A  B)
Reprenons l’exemple du 3°)a) de la page 1 aussi bien avec le dé normal que le dé truqué
A=
B=
AB=
Avec le dé normal
p(A) =
p(B) =
Avec le dé truqué
et
p(A  B) =
p(A) =
Alors p(A  B) =
p(B) =
et
p(A  B) =
Alors p(A  B) =
2°)Probabilité de l’évènement contraire
Propriété
Si A est un évènement de l’univers Ω et si A est son évènement contraire, alors :
p( A ) = 1 – p(A)
Exemples :
● On lance une pièce truquée ayant une probabilité x (avec 0 < x < 1) de faire pile.
Quelle est la probabilité de faire face ?
● On considère le lancer de dé à six faces, un normal et un truqué. Pour chaque cas, à partir des
résultats obtenus précédemment, calculer :
- la probabilité d’obtenir un nombre impair
- la probabilité d’obtenir un nombre inférieur ou égal à 3
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