Aire sous la courbe et suites adjacentes

Aire sous la courbe et suites adjacentes
-Point de départ.
f étant une fonction continue ou en escalier, positive et monotone sur l’intervalle I = [ a ; b ]
et A désignant « l’aire sous la courbe », la méthode des rectangles, par exemple, permet
d’encadrer A.
Par exemple, si f décroissante sur
I = [ 0 ;1 ] et si on partage I
en N intervalles de même
amplitude
N
1
, alors :
Nk
kN
k
N1f
1
 1
0f
1Nk
kN
k
N
A
x
y
o
Si à tout entier naturel non nul n on associe un partage régulier de I = [ 0 ; 1 ] défini par son
pas
n
p
( on a alors
n
p
N1
), en posant
n
a
=
Nk
kN
k
N1f
1
et
n
b
=
1
0f
1Nk
kN
k
N
,
on définit deux suites
n
a
et
n
b
telles que : Pour tout entier naturel non nul n,
nn bAa 
.
Problème : Les deux suites
n
a
et
n
b
ainsi définies sont-elles adjacentes ?
-Si
n
pn1
( à l’étape n on partage l’intervalle [ 0 ; 1 ] en N = n intervalles de même
amplitude )
On ne peut pas conclure à la monotonie des suites
n
a
et
n
b
par des considérations d’aire
car les n+1 rectangles obtenus à l’étape n+1 sont sans lien direct avec les n rectangles obtenus
à l’étape n et les suites
n
a
et
n
b
ne sont pas nécessairement adjacentes.
Contre-exemple :
Soit f la fonction en escalier
définie sur [ 0 ; 1 ] par :
1;
2
1
2
1
2
1
;01
)(
xsi
xsi
xf
Alors on montre que :
AaAak
AaetAa
kk  122
32
et,nulnon
naturelentiertoutpournt,généralemepluset
La suite
n
a
n’est donc pas croissante.
x
y
o

Dans ce cas où
n
pn1
, que les suites
n
a
et
n
b
soient adjacentes ou ne le soient pas, les
justifications ne sont en général pas simples, on peut toutefois trouver quelques fonctions
telles que la fonction carrée ou la fonction f définie par
1
1
)f(  x x
pour lesquelles on obtient
des suites dont on peut démontrer qu’elles sont bien adjacentes ( voir plus loin ).
-Si
n
n
p2
1
( à chaque étape on multiplie le nombre le nombre d’intervalles du partage par 2
et N =
n
2
).
Alors, dans le cas où bien sûr f est monotone sur I, des considérations d’aire permettent
d’établir la monotonie des suites
n
a
et
n
b
et de montrer qu’elles sont bien adjacentes.
Ainsi quand dans le programme on lit que « l’aire sous la courbe peut être approchée par deux
suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement » peut-être
peut-on entendre qu’il s’agit de partage par dichotomie c’est à dire de découpages de
l’intervalle [ a ; b] en
n
2
intervalles.
Cependant si l’on cherche à exhiber un exemple correspondant à ce cas, les expressions de
n
a
et
n
b
deviennent vite très compliquées étant donné que N =
n
2

Etude d’un exemple
Soit la fonction f définie sur
1;0
par
1
1
)(  x xf
et C sa courbe représentative dans le
plan muni du repère orthogonal
jiO  ,;
.
A est l’aire, exprimée en unités d’aire, de la région de plan située entre la courbe C et l’axe
des abscisses.
Le but de cette activité est de démontrer que A est la limite commune de deux suites
adjacentes
n
a
et
n
b
, ce qui permet de déterminer des approximations ou des encadrements
de A aussi précis que l’on veut.
1. Etude(s) d’exemple(s) suivant le partage de l’intervalle
1;0
choisi :
On partage l’intervalle
1;0
en quatre
intervalles de même amplitude
4
1
.
Observer la figure ci-contre et en déduire
un encadrement de A.
Quel est l’amplitude de cet encadrement ?
x
y
o
Dans cette partie observation et si l’on dispose d’ordinateurs on peur aussi faire observer
aux élèves ce qui se passe pour différentes valeurs de n et leur demander de conjecturer
le comportement des suites qui encadrent A
2. Cas général :
Pour tout entier naturel n non nul, on
partage l’intervalle
1;0
en n
intervalles de même amplitude
n
1
.
a. Montrer qu’alors on obtient :
nn bAa 
où
nnn
an2
1
...
2
1
1
1
et
12 1
...
1
11
 nnn bn
.
b. Justifier que les suites
n
a
et
n
b
ainsi définies sont adjacentes et
convergent vers A.
c. En déduire que
n
a
(respectivement
n
b
) est une
approximation de A avec une
précision que l’on indiquera.
d) Pour quel entier n obtient-on des
approximations à
3
10
près ?
x
y
o