Aire sous la courbe et suites adjacentes

Aire sous la courbe et suites adjacentes
-Point de départ.
f étant une fonction continue ou en escalier, positive et monotone sur l’intervalle I = [ a ; b ]
et A désignant « l’aire sous la courbe », la méthode des rectangles, par exemple, permet
d’encadrer A.
y
Par exemple, si f décroissante sur
I = [ 0 ;1 ] et si on partage I
en N intervalles de même
1
amplitude
, alors :
N
1 kN  k 
1 k  N 1  k 
 f    A  N  f  N 
N k 1  N 
k 0
o
Si à tout entier naturel non nul n on associe un partage régulier de I = [ 0 ; 1 ] défini par son
1
1 kN  k 
1 k  N 1  k 
pas pn ( on a alors N 
), en posant a n =
et
=
f
b



 f ,
n
pn
N k 1  N 
N k 0  N 
on définit deux suites an  et bn  telles que : Pour tout entier naturel non nul n, an  A  bn .
Problème : Les deux suites an  et bn  ainsi définies sont-elles adjacentes ?
1
( à l’étape n on partage l’intervalle [ 0 ; 1 ] en N = n intervalles de même
n
amplitude )
On ne peut pas conclure à la monotonie des suites an  et bn  par des considérations d’aire
car les n+1 rectangles obtenus à l’étape n+1 sont ysans lien direct avec les n rectangles obtenus
à l’étape n et les suites an  et bn  ne sont pas nécessairement adjacentes.
Contre-exemple :
Soit f la fonction en escalier
définie sur [ 0 ; 1 ] par :

 1
1 si x   0 ; 2 



f ( x)  
 1 si x   1 ;1 
 2 
 2
Alors on montre que :
a2  A et a3  A


o
et plus généraleme nt, pour tout entier naturel
-Si p n 
non nul k , a2 k  A et a2 k 1  A
La suite an  n’est donc pas croissante.
x


1
, que les suites an  et bn  soient adjacentes ou ne le soient pas, les
n
justifications ne sont en général pas simples, on peut toutefois trouver quelques fonctions
1
telles que la fonction carrée ou la fonction f définie par f( x) 
pour lesquelles on obtient
x 1
des suites dont on peut démontrer qu’elles sont bien adjacentes ( voir plus loin ).
1
-Si pn  n ( à chaque étape on multiplie le nombre le nombre d’intervalles du partage par 2
2
et N = 2 n ).
Alors, dans le cas où bien sûr f est monotone sur I, des considérations d’aire permettent
d’établir la monotonie des suites an  et bn  et de montrer qu’elles sont bien adjacentes.
Ainsi quand dans le programme on lit que « l’aire sous la courbe peut être approchée par deux
suites adjacentes construites en quadrillant le plan de plus en plus finement » peut-être
peut-on entendre qu’il s’agit de partage par dichotomie c’est à dire de découpages de
l’intervalle [ a ; b] en 2 n intervalles.
Cependant si l’on cherche à exhiber un exemple correspondant à ce cas, les expressions de
an  et bn  deviennent vite très compliquées étant donné que N = 2 n
Dans ce cas où p n 
Etude d’un exemple
1
Soit la fonction f définie sur  0 ;1  par f ( x) 
et C sa courbe représentative dans le
x 1
 
plan muni du repère orthogonal O ; i , j .
A est l’aire, exprimée en unités d’aire, de la région de plan située entre la courbe C et l’axe
des abscisses.
Le but de cette activité est de démontrer que A est la limite commune de deux suites
adjacentes an  et bn  , ce qui permet de déterminer des approximations ou des encadrements
de A aussi précis que l’on veut.


y
1. Etude(s) d’exemple(s) suivant le partage de l’intervalle  0 ;1  choisi :
On partage l’intervalle  0 ;1  en quatre
1
intervalles de même amplitude .
4
Observer la figure ci-contre et en déduire
un encadrement de A.
Quel est l’amplitude de cet encadrement ?
o
Dans cette partie observation et si l’on dispose d’ordinateurs on peur aussi faire observer
aux élèves ce qui se passe pour différentes valeurs de n et leur demander de conjecturer
le comportement des suites qui encadrent A
2. Cas général :
Pour tout entier naturel n non nul, on
partage l’intervalle  0 ;1  en n
1
intervalles de même amplitude .
n
a. Montrer qu’alors on obtient :
an  A  bn
1
1
1

 ... 
où an 
n 1 n  2
2n
1
1
1
 ... 
et bn  
.
n n 1
2 n 1
b. Justifier que les suites an  et bn 
ainsi définies sont adjacentes et
convergent vers A.
c. En déduire que a n
(respectivement bn ) est une
approximation de A avec une
précision que l’on indiquera.
d) Pour quel entier n obtient-on des
approximations à 10 3 près ?
y
o
x