Complexes EXERCICE 1 Le plan est muni d’un repère (O ;Error!,Error!). A tout point M d’affixe z non nul on associe le point M’ d’affixe z’= - Error! . 1. Construire les images des points A d’affixe a=1+i et B d’affixe b=2i. 2. On pose z=x+iy et z’=x’+iy’. a. Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y. b. En déduire que O, M et M’ sont alignés. 1 3. Montrer que z '1 ( z 1) z 4. On note C et D les points d’affixes 1 et -1. * le cercle de centre C, passant par O et privé de O. On suppose que M *. a. Justifier que z 1 1 et montrer que z '1 z ' . Interpréter géométriquement cette relation. b. En déduire une construction de M’ à partir de M. EXERCICE 2 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O ;Error!,Error!) d’unité graphique 4 cm, on considère les points A, B et C, d’affixes a, b et c telles que : a = 1−i , b = 1+i et c = −1+i = −a On note le cercle de diamètre [AB]. 1. a) Placer sur une figure les points A, B, C et le cercle . b) Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trigonométrique. c) Soit r la rotation de centre O telle que r (A) = B. Déterminer l’angle de r et le point r (B), image de B par r. d) Déterminer l’image ’ du cercle par r ; placer ’ sur la figure. 2. On considère un nombre ]0, [];2 [ ; on note M le point d’affixe z = 1+ei On désigne par M’′ l’image de M par r, et on appelle z′ l’affixe de M’. a) Montrer que M est un point de distinct de A et de B. b) Exprimer z′ en fonction de z. Calculer en fonction de les affixes u et u′ des vecteurs Error! et Error!. c) Etablir la relation : u= u’ tan( Error! - Error!) d) Prouver que les points B, M et M’ sont alignés. Placer sur la figure un point M et son transformé M’. EXERCICE 2 Le plan est muni d’un repère orthonormal (O ;Error!,Error!) . On prendra 2 cm pour unité graphique. On considère l’application F du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z, associe le point M’′ d’affixe z′ tel que : z′ = (1+i)z +2 1. Soit A le point d’affixe zA = −2+2i . Déterminer les affixes des points A′ et B vérifiant respectivement : A′ = F(A) et F(B) = A. 2. Construction de l’image de M a) Montrer qu’il existe un unique point invariant (confondu avec son image) dont l’affixe est 2i ; on notera ce point et son affixe. b) Établir que, pour tout nombre complexe z distinct de , Error!= -i . Soit M un point distinct de . Comparer MM’ et M et déterminer une mesure de l’angle (Error!, Error!). En déduire une méthode de construction de M’ à partir de M. 3. Image d’un ensemble de points a) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble des points du plan dont l’affixe z vérifie |z+2−2i | = 2. Vérifier que B est un point de . b) Démontrer que, pour tout nombre complexe z : z’+2= (1+i ) (z +2−2i ) Démontrer, en utilisant cette égalité et la question 3a que l’image par F de tout point de appartient au cercle ’ de centre A′ et de rayon 2. Placer , A, B, A’, et ’ sur une même figure.