4 Mouvement d`un anneau sur une piste circulaire On considère le

4 Mouvement d’un anneau sur une piste circulaire
On considère le dispositif de la figure 3, où un anneau assimilable à un point matériel M de
masse m se déplace solidairement à une piste fixe formée de deux parties circulaires (1) et (2) de
rayon R1 et R2, de centre C1 et C2, dans un plan vertical. On supposera R2 > R1.
On repère la position de l’anneau par un angle è pris à partir de C1 pour son mouvement sur la
partie (1), et à partir de C2 pour son mouvement sur la partie (2).
Sur la partie (1), è est varie entre -ð/2 et ð. Sur la partie (2), è varie entre ð et 5ð/2. On note g la
constante de gravitation terrestre.
Dans tout le problème, on suppose le mouvement de l’anneau s’effectue sans frottements.
On suppose dans un premier temps que le mouvement de l’anneau s’effectue sur la partie (1) du
dispositif.
A l’instant t = 0, l’anneau est au point E (θ = 0) avec une vitesse angulaire initiale positive
(dè/dt)0.
4.1 Exprimer (dè/dt)2 à un instant quelconque en fonction des données du problème.
On émet pour les deux questions qui suivent l’hypothèse que è est suffisamment petit pour
assimiler sinè à è.
4.2 Déterminer l’expression de è(t). Exprimer la valeur maximale de è(t), èmax.
4.3 Application numérique : R1 = 1 mm, g = 10 m.s-2 et (dè/dt)0 = 1 rad.s-1. Calculer la
pulsation ù, la période T et l’amplitude maximale θmax du mouvement. L’approximation sinè =
è est elle valable ?
5 Mouvement de l’anneau sur la piste complète
5.1 Exprimer l’énergie potentielle de pesanteur, EP, de l’anneau M en supposant EP = 0 au point
B (θ = ð). On distinguera les cas –ð/2 < è < ð et ð < è < 2ð.
5.2 Tracer l’allure de EP(è).
5.3 Déterminer les positions angulaires d’équilibre de l’anneau, en précisant leur stabilité.
L’anneau étant initialement en A (θ = -ð/2), il est lancé à une vitesse V0 sur le support fixe. 5.4
A quelle condition sur la vitesse V0 l’anneau peut-il atteindre le point F ?
5.5 Cette condition étant remplie, donner l’expression de sa vitesse VF en F (θ = 2ð), en
fonction des données du problème.
5.6 A quelle condition sur V0, l’anneau sort-il de la piste en S (θ = 5ð/2) ?
Problème 2. Etude d’un montage avec A.O.On considère le montage suivant, où l’amplificateur
opérationnel est supposé idéal et fonctionnant en régime linéaire. Le dispositif est alimenté par
générateur délivrant une tension alternative sinusoïdale ve(t).
On note x = RC .
V sm
V em où V em , V sm désignent respectivement les
Déterminer la fonction de transfert
amplitudes complexes des tensions d’entrée ve(t) et de sortie vs(t) en fonction de x.
Tracer les diagrammes de Bode en gain et phase en fonction de log x.
Quelle opération mathématique réalise ce montage ?
La tension ve(t) est maintenant une …..
H ( jx) 
Problème 2. Mouvement d’un satellite artificiel. (Concours commun polytechnique 96).
Partie 1.
On considère un satellite de masse m soumis à l'attraction gravitationnelle de la terre supposée,
sphérique, de centre O, de rayon RT, et de masse MT.
On admettra dans cette partie, sauf dans la question 1.5, que m << MT : la terre peut donc être
considérée comme fixe.
On posera : k = G MTm avec G constante de la gravitation universelle.
1.1. Donner l’expression de la force f s’exerçant sur le satellite.
1.2. Montrer que la trajectoire du satellite par rapport à la terre est plane. On pourra faire
l'étude en coordonnées cylindriques (r, , z) de vecteurs unitaires correspondants
ur , u , u z
avec u z le vecteur unitaire orthogonal au plan de cette trajectoire.
1.3. L'accélération du satellite peut s'écrire sous la forme :
2
2
 L  1 d 1 
a  

( )  ur
 
2
 mr   r d r 
où L représente le moment cinétique par rapport à O du satellite.
p
r
1  e cos  ou p et e sont des
La trajectoire du satellite est une ellipse d'équation
constantes appelées respectivement paramètre et excentricité. L'axe polaire et l’axe focal sont
confondus. Déterminer l'expression du paramètre p en fonction de L, k et m.
1.4. On nomme périgée (P) le point de la trajectoire elliptique le plus proche de la terre et
apogée (A) le point de trajectoire elliptique le plus éloigné de la terre.
On note ( rp et vP ) et (rA et vA) la position et la vitesse du satellite respectivement à
son périgée P et à son apogée A.
1.4.1. Calculer l'excentricité e en fonction de rA et rP.
1.4.2. Calculer le rapport vP/vA en fonction de e.
1.5. Dans cette question, on ne néglige plus la masse du satellite devant celle de la terre.


Préciser rapidement quelles modifications cela entraîne pour les résultats précédents.
Partie 2.
2.6. Déterminer l'expression de l’énergie potentielle Ep(r) du satellite en un point M de la
trajectoire tel que OM  r . On prendra Ep()= 0.
On suppose maintenant la trajectoire circulaire et uniforme de rayon ro et d'énergie
mécanique Em constante.
Etablir une relation simple entre l'énergie cinétique Ec et l'énergie potentielle Ep du
satellite.
2.7. Le satellite subit des frottements sur les hautes couches de l'atmosphère ; ces frottements
sont équivalents à une force de freinage de module f = mv2. Ce freinage est très faible, et on
peut supposer que les révolutions restent presque circulaires et que pour chacune d'elle, l'altitude
h du satellite diminue de h avec h << h. L'altitude h est comptée à partir de la surface de la
terre : ro = RT + h.
2.7.1. Calculer la variation de vitesse v en fonction de h et de la période T
de révolution.
2.7.2. Justifier l'évolution de la vitesse du satellite.
2.7.3. Exprimer  en fonction de h, h et RT.
2.8. En remarquant que la perte relative d'énergie mécanique est faible à chaque révolution,
calculer le temps  au bout duquel le satellite s'écrasera sur la terre.
On fera l'hypothèse simplificatrice que la loi de frottement reste la même pendant toute
la chute.
2.9. La trajectoire du satellite peut être décrite dans son plan de trajectoire par l'équation en
coordonnées polaires r = ro exp -  .
2.9.1. Exprimer  en fonction de h, RT et h.
2.9.2. Exprimer en fonction de ro et  la distance D parcourue par le satellite au cours d'une
quasi-révolution. On pourra mettre en évidence ce résultat comme la distance d’une orbite
circulaire affectée d'un terme correctif en tenant compte de l'ordre de grandeur de .