12 Lois de probabilités
I Eléments de combinatoire
Dans tout le paragraphe, E est un ensemble non vide contenant n éléments.
On prendra en exemple E = .
1) Permutations Arrangements - Combinaisons
Permutations
Une permutation de E est une liste des n éléments de E.
Exemple
sont deux permutations de E.
Propriété
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments, autrement dit, le nombre de façon de ranger n
objets de toutes les manières possibles (en tenant donc compte de l’ordre) est : n×(n-1)×(n-2)×…×2×1.
Ce nombre est noté n ! et se lit « factorielle n ». Par convention : 0 ! = 1.
A justifier
Exemple
Le nombre de façons de ranger les 5 lettres a, b, c, d, e de toutes les façons possibles est 5 ! = 120.
Arrangements
Soit p un entier, tel que 0 p n.
Un arrangement, ou une liste sans répétition de p éléments de E est une liste de p éléments de E, deux à
deux distincts.
Exemple
(a ; d ; e) est une liste sans répétition de E, (a ; c ; c) n’en est pas une.
Propriété
Le nombre de listes sans répétitions de p éléments parmi n, ou d’arrangements de p éléments parmi
n, ou encore de façons de ranger p éléments parmi n de toutes les manières possibles est :
A justifier
Exemple
Le nombre de façons de ranger trois lettres de l’ensemble E est 5×4×3 = 60.
Cette situation correspond à des tirages successifs SANS remise de p objets, notés dans l’ordre, dans une
urne en contenant n.
Propriété
Le nombre de listes avec répétitions de p éléments parmi n est np.
A justifier
Cette situation correspond à des tirages successifs AVEC remise de p objets, notés dans l’ordre, dans une
urne en contenant n.
Combinaisons
Une combinaison de p éléments choisis parmi n est une partie contenant p éléments pris parmi les n
éléments de E. L’ordre n’a pas d’importance.
Exemple
(a ; d ; e) et (b ; c ; d) sont deux combinaisons de 3 éléments de E.
Les listes (a ; d ; e) et (d ; e ; a) correspondent à la même combinaison de 3 éléments de E.
Propriété
Pour tout entier n et tout entier p tel que 0 p n :
Démonstration
Si l’on ordonne p éléments choisis parmi n de toutes les façons possibles, le nombre de ces rangements est :
A = n×(n-1)×(n-2)×…×(n-(p-1)).
Or, une combinaison de ces p éléments, donc non ordonnée, correspond à B = p ! rangements différents.
Le nombre de combinaisons possible est donc A÷B = n×(n-1)×(n-2)×…×(n-(p-1))÷p !.
La seconde formule s’obtient en multipliant numérateur et dénominateur par (n-p) !.
Exemple
Une urne contient 10 boules blanches et 15 rouges. On choisit simultanément 4 boules de l’urne.
a. Combien y-a-t-il de tirages possibles ?
b. Combien de tirages comportent deux boules blanches et deux boules rouges ?
Sol :
a. Le nombre de tirages possibles est le nombre de parties (ou de combinaisons) à 4 éléments parmi 25 :
A chacun des 45 choix de boules blanches, on peut associer l’un des 105 choix de boules rouges, ce qui
donne un total de 45×105 = 4725 tirages comportant deux boules blanches et deux boules rouges.
2) Propriétés des combinaisons
Propriétés
Soient n et p des entiers tels que p n-1 :
Démonstrations
1. Il n’y a qu’une seule partie a 0 élément (partie vide) dans un ensemble à n éléments, et une seule partie à
n éléments dans un ensemble à n éléments (l’ensemble lui-même !).
2. et 3. Evident avec les formules.
4. A l’aide des formules, en réduisant au même dénominateur. Le faire !
Exemple
Triangle de Pascal
n\p
0
1
2
3
4
5
Les formules 1., impliquent que les termes de la
diagonales et de la première colonne sont des 1. On
complète de proche en proche le reste du tableau à l’aide
de la formule 4..
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
Par exemple :
3) Formule du binôme de Newton
Propriété
Pour tous réels a et b et tout entier naturel n, on a :
Démonstration
La propriété se démontre par récurrence et en utilisant la propriété 4. précédente. Le faire !
Exemple
Donner les développements de , , , .
II Lois de probabilités
1) Loi de Bernoulli Loi binomiale
Définitions
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une appelée succès, avec
la probabilité p, l’autre échec, avec la probabilité q = 1-p.
La variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable de
Bernoulli, sa loi de probabilité est appelée loi de Bernoulli. Elle vérifie donc :
p(X = 1) = p et p(X = 0) = 1-p.
X
0
Probabilité
1-p
Propriétés
E(X) = p ; V(X) = p(1-p).
Définitions
La répétition, de façon indépendante, de n épreuves de Bernoulli est appelée expérience de Bernoulli
d’ordre n.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours des n expériences
s’appelle loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p).
Cette situation correspond à n tirages successifs AVEC remise ou encore à n choix dans une population
suffisamment importante.
Propriétés
Pour une telle loi :
(Ce qui correspond à la probabilité d’obtenir k succès au terme des n épreuves).
E(X) = p ; V(X) = p(1-p).
Démonstration
L’évènement (X = k) est réalisé lorsqu’on obtient k succès et donc (n-k) échecs pour les n expériences.
Les expériences étant indépendantes, la probabilité d’obtenir k succès est pk, celle d’obtenir (n-k) échecs
est qn-k, , et ceci quel que soit l’ordre d’apparition des succès. (Imaginer un arbre…)
Donc la probabilité d’obtenir k succès et (n-k) échecs dans un ordre donné est pkqn-k.
Le nombre de manière d’obtenir k succès au cours de n expériences est égal au nombre de combinaisons de
k éléments choisis parmi n, soit .
D’où la formule demandée.
Les autres propriétés sont admises.
Exemples
Au jeu du Loto, on choisit 6 nombres parmi les entiers de 1 à 49.
a. Quelle est la probabilité de choisir les six bons numéros ?
b. Une personne joue chaque semaine pendant 10 ans : quelle est la probabilité de gagner au moins une
fois ?
Sol :
a. Le nombre de choix possibles de 6 nombres parmi 49 est = … = 13 983 816 = A.
Une seule combinaison étant gagnante, la probabilité est p = 1/A, soit environ 7,15.10-8.
b. L’expérience est répétée 521 fois, de façon indépendante.
Si X désigne le nombre de succès au cours des 521 essais, la loi de X est la loi binomiale de paramètres n =
521 et p = 7,15.10-8.
P(X 1) = 1-P(X = 0) = 1- p0(1-p)521 = 1-(1-7,15.10-8)521 3,7.10-5, soit 0,000037.
2) Loi uniforme discrète
Définition
On appelle loi uniforme discrète, ou encore loi équirépartie, toute loi d’une variable aléatoire X qui peut
prendre n valeurs x1, x2, …,xn, de telle sorte que la probabilité soit la même pour chacune de ces n valeurs :
P(X = x1) = P(X = x2) = … = P(X = xn) = 1/n.
3) Loi uniforme continue
Définition
Si la variable X peut prendre toutes les valeurs de l’intervalle [0 ; 1], on dit que cette variable aléatoire est
une variable aléatoire continue sur cet intervalle.
Si de plus, la probabilité de l’évènement (a X b) avec a et b compris entre 0 et 1 est égale à la
différence b-a, alors la loi de cette variable est la loi uniforme continue sur [0 ; 1].
Propriétés : Pour tout réel a de l’intervalle [0 ; 1] : a. P(X = a) = 0 ; b. .
Exemple
Un autobus passe toute les heures à un arrêt donné. Une personne ne connaissant pas les horaires de
passage se présente à l’arrêt : son temps d’attente est une variable aléatoire T qui suit la loi uniforme
continue sur [0 ; 1].
La probabilité qu’elle attende exactement 15 minutes est égale à 0.
La probabilité qu’elle attente moins de 15 minutes est P(0 T 0,25) = 0,25.
4) Loi de durée de vie sans vieillissement
Définition
Soit T une variable aléatoire continue mesurant la
durée de vie d’un individu. On dit que T suit une
loi de durée de vie sans vieillissement si la
probabilité que l’individu soit en vie à l’instant t+h
(h positif), sachant qu’il est en vie à l’instant t, ne
dépend pas de t.
Propriétés
Soit T une variable aléatoire qui suit une loi de
durée de vie sans vieillissement, alors il existe un
réel λ 0 tel que, pour tout t de l’intervalle [0 ;
+∞[ : P(T t) = 1-e-λt.
Définition
Soit λ un réel strictement positif. La loi
exponentielle de paramètre λ est la loi suivie par
la variable aléatoire continue T telle que P(T t) =
1-e-λt.
Propriétés
Si la variable T suit une loi exponentielle de
paramètre λ, alors :
La fonction g telle que g(x) = λ e-λx est la fonction
densité de probabilité de la loi exponentielle de
paramètre λ.
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