Formule de Cauchy pour les fractions rationnelles

Formule de Cauchy pour les fractions rationnelles
1. Soit un nombre réel strictement positif, z et w deux nombres complexes.
a. Montrer que, si
z
,
. quand 0 versconverge
1
)( 2
0
ndt
e
z
ez
zI it
int
n
n
n
b. Montrer que, si
w
,
. quand 0 versconverge
1
)( 2
0
ndt
e
w
e
w
wJ it
n
n
n
int
2. On suppose
z
, k entier, f polynôme à coefficients complexes. Montrer que
).f(2
)f(
(C) queet 22
0
2
0
)1(1 zdt
ze ee
zdt
zeeit
itit
k
it
tkik
(Pour la première égalité, on pourra raisonner par récurrence et introduire une somme
géométrique)
On se propose de montrer que la formule ( C ) est valable lorsque f est une fraction rationnelle
dont aucun pôle n'est dans le disque fermé de rayon centré à l'origine
3.a. Soit w un nombre complexe tel que
w
, Montrer que
0
2
0
dt
we e
it
it
.
b. Calculer
.1 entier, et pour
)(
2
0
kkwdt
ze ekit
it C
c. Quelle est la valeur de
2
0)(P dtee itit
lorsque P est un polynôme?
4. Soit F une fraction rationnelle, ses pôles sont
w w ws1 2 , , .
Les coefficients de
s
www  X1
,,
X1
,
X1
21
dans la décomposition de F en éléments simples sont
.,,, 21 s
On les appellera
résidus des pôles.
Exprimer
2
0)(F
2
1dtee itit
à l'aide de résidus. Tous les résidus ne figurent pas dans
la formule, préciser les pôles dont les résidus figurent effectivement.
5. Soit F une fraction rationnelle et un nombre réel strictement positif, tous les pôles de
F ont un module strictement plus grand que . Montrer que,
2
0.
)(F
2
1
)F(, si dt
ze ee
zz it
itit
C
Co om mm me en nt ta ai ir re e

 Dans la partie Formule de Rodrigues (niveau 3), on utilise la question 2. pour majorer les
polynômes de Legendre.
 La formule de Cauchy intervient aussi dans le développement de la fonction exponentielle
comme Une fraction de Gauss (niveau 2).
S
So ol lu ut ti io on n
1.a. En utilisant
z
e
z
tit  11,2,0
, on obtient
.
1
)( 2
0
z
dt
z
zI n
n
n
L'expression à droite de l'inégalité est une suite géométrique qui converge vers 0.
b. On peut conclure encore en minorant
.1par 1 w e
wit
2. Pour k nul, introduisons, comme l'indique l'énoncé, une somme géométrique dans
l'intégrale :
).(2
1
1
1
1
2
0
12
2
0
2
0
zIdt
e
z
e
z
e
z
e
z
e
z
dt
e
z
dt
ze e
n
it
n
it
n
ititit
it
it
it
Comme n est arbitraire et que In(z) converge vers 0, on obtient bien
.2
2
0
dt
ze e
it
it
On raisonne ensuite par récurrence en utilisant, pour tout
k1,
.
0
)( 2
0
2
0
2
0
2
0
)1(1  
dt
ze e
zdtedt
ze zzee
dt
zeeit
iktk
iktk
it
itiktk
it
tkik
La formule ( C ) pour les polynômes se déduit immédiatement des précédentes grâce à la
linéarité de l'intégrale.
3.a. On décompose :
it
nit
n
itn
n
itit
it
it
it
it
e
w
e
w
e
w
e
w
e
w
e
w
w
e
we e
11
1)1(
1
2
2
donc,
).(
2
0wJdt
we en
it
it 
La suite Jn(w) converge vers 0 sans changer de valeur, elle est donc nulle et l'intégrale aussi.
b. La fonction complexe
kit
it
we e)( 
de la variable réelle t est la dérivée de

,
))(1( 11
kit weki
comme l'exponentielle complexe est 2 périodique, cette primitive l'est aussi ce qui entraîne
la nullité de l'intégrale.
4. Les éléments simples qui forment la décomposition de F sont les suivants :
un polynôme, les termes en
i
wX1
, les termes en
.1pour
)(X 1 k wk
i
D'après la question 3., après multiplication et intégration, ne subsistent plus que les intégrales
des
i
iwX
pour les wi de module strictement plus petit que .
D'après la question 2.a., l'intégrale proposée est égale à la somme des résidus des pôles de
module strictement plus petit que .
5. Soit F une fraction dont les pôles sont de module strictement plus grand que , posons
.pour
XF
G z
z
Le seul pôle de cette fraction dont le module est plus petit que est z. De plus, le résidu en z
est F(z). La formule découle alors de la question 4.