Épreuves écrites du CAPES – Notions abordées Année Première

Épreuves écrites du CAPES – Notions abordées
Année
Première épreuve
Deuxième épreuve
2005
Entiers, polynômes de Z[X]. Sous-groupes discrets de R. Borne inférieure, densité.
Irrationnalité. Suites convergentes. Fonctions polynomiales. Développements limités.
Equation différentielle linéaire d'ordre 2, dérivée logarithmique, équation de Bessel. Série
entière solution d'une équation différentielle, fonctions de Bessel. Intégrale dépendant d'un
paramètre.
Courbes planes paramétrées, équations cartésienne et polaire. Théorème de Thalès.
Hyperbole, parabole, propriétés géométriques, axes de symétrie. Puissance d'un point par
rapport à un cercle. Transformée de Descartes d'une courbe. Fonctions polynômes en deux
variables.
2004
Construction de l'exponentielle. Inégalités de Bernoulli et de Cauchy, récurrence. Moyennes
arithmétique et géométrique. Dérivées logarithmiques. Fonctions convexes. Suites monotones
et convergentes. Suites de fonctions, convergence uniforme. Suites de complexes. Equations
différentielles. Intégrale.
Image d'une partition par une bijection. Rotations vectorielles en dimension 3, demi-tours.
Condition pour que deux rotations commutent, sous-groupe engendré par deux rotations.
Expression matricielle, matrices congruentes. Ensemble dénombrable. Morphisme de groupe,
relation d'équivalence. Ensembles paradoxaux.
2003
Opérateurs linéaires positifs. Polynômes de Bernstein, polynomes trigonométriques,
convolution. Séries de Fourier. Convergence uniforme. Théorème de Weierstrass. Théorèmes
de Korovkin. Continuité uniforme.
Evénements indépendants et mutuellement indépendants, calcul de probabilités.
Décomposition en facteurs premiers, division euclidienne, pgcd, fonction indicatrice d'Euler.
Z/nZ[X]. Ordre d'un élément dans un groupe, générateurs de (Z/nZ)* . Nombres
pseudo-premiers forts, congruences, algorithme. Nombres de Carmichael, test de
Miller-Rabin.
2002
Equation fonctionnelle. Espace vectoriel. Equation différentielle linéaire. Théorème des
accroissements finis, dérivées successives, Taylor-Young, DSE. Boule unité fermée de Rn.
Intégrale fonction de sa borne supérieure. Série de fonctions. Dérivabilité d’un prolongement.
Polynômes de Lagrange. Anneau commutatif, sous-anneau. Système linéaire. Décomposition
en produit d’irréductibles. Arithmétique, division euclidienne, congruence, valuation
p-adique. Espace vectoriel, bases.
2001
Equation fonctionnelle, continuité, caractérisation des fonctions exponentielles. Intégrale
double, continuité d’une fonction de deux variables. Convolution de fonctions continues, l.c.i.
Intégrale généralisée. V.a. de loi exponentielle (sans mémoire), fonction de répartition.
Probabilité conditionnelle, loi de Poisson, comportement asymptotique. Suites et sous-suites.
Densité.
Suites récurrentes linéaires d’ordre 2, suite de Fibonacci. Calcul matriciel, déterminant,

récurrence. Arithmétique, équations diophantiennes (Pell-Fermat), diviseurs, pgcd.
Algorithme. Représentation de Fibonacci d’un entier.
2000
Polynômes de Legendre et de Laguerre. Produit scalaire, orthogonalité, orthonormalisation.
Suites de fonctions, convergence au sens de normes. Théorème de Stone-Weierstrass.
Interpolations de Lagrange et Hermite. Quadrature de Gauss. Valeurs intermédiaires. Intégrale
généralisée dépendant d’un paramètre.
Groupes de permutations. Déterminant, aire, volume. Produit vectoriel et mixte.
Approximation d’un zéro, Taylor-Lagrange. Forme quadratique. Géométrie dans l’espace,
tétraèdre, perpendiculaire commune. Isométries conservant un tétraèdre, expression
matricielle de réflexions et de rotations. Valeurs propres, polynôme caractéristique.
Coordonnées sphériques. Lignes de niveau. Expérience aléatoire.
1999
Polynômes, fonctions symétriques élémentaires, racines réelles, multiplicité. Polynôme de
Newton.
Matrices magiques, espaces vectoriels, groupe opérant sur un ensemble, groupes isomorphes,
groupes de permutations. Congruence, Z/nZ.
1998
Suites récurrentes. Points fixes attractifs, fonctions contractantes. Formule de Taylor. Vitesse
de convergence. Suites de Héron.
Adjoint d’un endomorphisme, endomorphisme symétrique. Coordonnées barycentriques.
Points isogonaux relativement à un triangle. Angles. Affixes. Décomposition en éléments
simples. Déterminant. Droites concourantes, produit scalaire. Réflexions, compositions.
Ellipse.
1997
Séries de fonctions, convergence normale. Développement asymptotique. Constante d’Euler.
Calcul approché, méthode des trapèzes. Notations de Landau. Séries numériques
convergentes. Développement limité. Trigonométrie hyperbolique. Développement en série
de Fourier.
Angles, bissectrices. Triangle inscrit dans une hyperbole équilatère. Affixe, racines de l’unité.
Relations coefficients-racines d’un polynôme, élimination. Système linéaire. Lieu
géométrique. Isobarycentre. Centre de courbure. Tangente (définition géométrique).
1996
Problème de Dirichlet. Equations différentielles, majoration des solutions, variation des
constantes, changements de variable et de fonction. Fonctions hyperboliques. Solutions DES,
convergence uniforme. Cauchy-Lipschitz. Fonction réciproque. (*)
Distance, frontière, intérieur. Coordonnées barycentriques. Mesures d’angles. Lieux
géométriques. Coniques, foyer, directrice, excentricité.
1995
Moyenne arithmético-géométrique. Dérivabilité. Intégrales généralisées. Changement de
variable. Intégrales dépendant d’un paramètre, convergence uniforme, théorème de dérivation.
Suites convergeant vers (Salamin). Vitesse de convergence. (*)

Matrices symétriques réelles, formes quadratiques, valeurs propres, coniques. Compacité.
Décomposition de Choleski
S = tT T (T triangulaire inversible). Déterminant. Algorithme de décomposition.
1994
Affixes, Z[i]. Relations dans le triangle. Borne inférieure. Suites de complexes, suites
extraites. Relation d’équivalence, quotient. Théorème des gendarmes, équivalent. Rayon
minimum des disques du plan contenant k points à coordonnées entières. Rationnalité.
Majoration, minoration.
Relations coefficients-racines. Complexes et angles. Transformations du plan. Angles orientés
de couples de droite. Points cocycliques, interprétation complexe. Puissance d’un point par
rapport à une conique, excentricité, foyer, ellipse, parabole, hyperbole. Mesure algébrique.
Ligne de niveau. Nombres complexes de module 1.
1993
Intégrale généralisée, majorations, intégration par parties, changement de variable.
Décomposition en éléments simples. Intégrale dépendant d’un paramètre. Série de fonctions,
dérivation, convergence normale. Equation différentielle. Suite d’endomorphismes.
Gerbes de droites concourantes. Isométries de l’espace, produit scalaire, angles orientés,
cosinus. Etude de fonction. Affixe, cosinus. Théorème de la base incomplète. Matrice
symétriques réelles, automorphismes orthogonaux. Groupes des complexes de module 1 et
des rotations d’axe donné.
1992
Etudes de fonctions et de signes. Irrationnalité. Zéros d’une fonction, calcul approché, suites
récurrentes. Ensembles dénombrables, borne supérieure. Suites extraites
(Bolzano-Weierstrass). Cotangente. Comparaison série-intégrale.
Racines rationnelles d’un polynôme. Polygone régulier, isobarycentre, rotations. Lignes de
niveau, hyperboles. Ensembles à distances entières (réseau). Changement de ROND, droites
orthogonales. Résolution d’équations dans Z[i], systèmes de congruences. Relation
d’équivalence. (*)
1991
Taylor-Lagrange, dérivabilité. Majorations. Equation différentielle. Intégrale généralisée,
convergence, intégration par parties, Cauchy-Schwarz. Taylor avec reste intégral. DES.
Suites de fonctions. Intégrale fonction de sa borne supérieure. (*)
Etude d’une suite récurrente. Produit scalaire, orientation du plan. Rotations vectorielles,
composées de réflexions, angle. Ordre. Sous groupe du groupe des isométries vectorielles.
Groupe linéaire, sous-groupe engendré. Diagonalisation. Forme bilinéaire symétrique. b.o.n.
1990
Espace préhilbertien, forme et matrice hermitiennes. Algorithme. Calcul de déterminant.
Endomorphisme auto-adjoint, spectre. Espace complet. Endomorphisme continu.
Convergence normale d’une série, série numérique. Cauchy-Schwarz.
Affixe, transformations complexes. Décomposition en éléments simples. Isobarycentre.
Ellipse, foyer. Polygône régulier. Similitude directe. Endomorphisme symétrique,
diagonalisation. Surface. Projection orthogonale d’un cercle. Ellipse de Steiner d’un triangle.
1989
Opérateur et polynôme de Legendre. Diagonalisation. Dérivées successives. Produit scalaire,
orthogonalité. Distance à un sous espace. Intégration par parties, Cauchy-Schwarz. Equation

différentielle développement en série de polynômes. Séries de fonction, convergence en
moyenne quadratique. (*)
Dérivées successives. Décomposition en éléments simples. Développement en séries entières.
Division suivant les puissances croissantes. Matrices nilpotentes, base. Résolution matricielle
d’une équation fonctionnelle. Marche aléatoire, loi d’un couple, probabilité conditionnelle.
1988
Séries convergentes. Approximation de la constante d’Euler. Intégrale fonction de sa borne
supérieure, intégrale généralisée. Convergence uniforme d’une suite de fonctions, intégrale
généralisée dépendant d’un paramètre. Séries téléscopiques. Accélération de la convergence.
Développement en série entières, rayon de convergence.
Isobarycentre. Affixe, similitudes. Polygône régulier. Endomorphisme diagonalisable.
Homothétie. Composée de symétries centrales. Divisibilité de polynômes, Bezout. Produit
hermitien, base orthonormée. Expression complexe d’application affines.
1987
Sous-algèbre. Formule de Leibniz. Convergence absolue d’une intégrale, intégrale généralisée
fonction de sa borne inférieure. Pôles d’une fraction rationnelle, complexes.
Développements en série de Fourier, coefficients de Fourier. Endomorphisme, noyau, valeurs
propres. Séries de fonctions, convergence absolue et normale. Encadrement du reste d’une
série alternée, accélération de la convergence. Algorithme.
Complexes, affixes. Polygone régulier convexe, rotations. Calcul des coefficients d'un
polynôme en fonction de ses valeurs sur les racines de l'unité. Sous groupes de R de la forme
aZ. Borne supérieure d'une fonction continue. Majorations, minorations. Maximum de la
somme de n nombres complexes.
1986
Convolution des fonctions continues périodiques, coefficients de Fourier. Projecteur
orthogonal, bon. Convergence normale, développements en série de Fourier. Norme d’un
endomorphisme continu. Prolongement par continuité, borne supérieure. Approximation
uniforme des fonctions continues et des fonctions lipschitziennes par les méthodes de Fejer et
Jackson. Intégrale généralisée. Majorations optimales. Dérivation d’une intégrale dépendant
d’un paramètre.
Distance à une partie, points d’attraction. Lignes de niveau, fonctions lipschitziennes.
Théorème de Bolzano-Weierstrass. Topologie, borne inférieure, fermé, ouvert, intérieur,
compacité. Parties convexes. Isométries affines du plan. Fonctions continues. Fonctions
injectives. Homéomorphismes.
1985
Equation différentielle linéaire du premier ordre. Opérateur linéaire. Comportement
asymptotique. Exponentielle complexe, fonctions puissances. Fonction négligeable devant
une autre. Norme infinie. Inégalité optimale. Intégrale absolument convergente. Convergence
uniforme d’une suite de fonctions.
Transformations affines et vectorielles, image d’un parallélogramme. Similitudes directes et
indirectes. Affinités orthogonales, composées, points fixes. Décomposition d’un
endomorphisme en somme de similitudes. Rotation, conjugaison. Somme directe. Réflexions,
polynôme caractéristique. Endomorphisme symétrique. Homothétie. Décomposition d’une
transformation en produit d’affinités orthogonales.

1984
Etudes complètes de fonctions. Equation différentielle linéaire. S.e.v. Intégrale fonction de sa
borne supérieure. Convergence absolue d’une intégrale. Majorations, borne d’une fonction
continue. Formule de Leibniz. Dérivabilité, prolongement. Solutions d’une équation
différentielle développable en série entière.
Quaternions. Espace vectoriel euclidien orienté, produits scalaire et vectoriel. Bond.
Structures de groupe et de corps. Sous-groupes distingués, groupe simple. Norme euclidienne.
Rotations. Morphisme de groupe, noyau, morphisme de corps. Transformations et matrices
orthogonales directes. Groupes produits, liste des sous-groupes distingués.
1983
Convergence et calcul d’une intégrale généralisée. Noyau de Dirichlet. Développement en
série entière. Intégration par parties, majorations. Intégrabilité au sens de Riemann, sommes
de Riemann. Comparaison série-intégrale. Etude et intégration d’une série de fonctions,
convergences. Majoration du reste. Bornes inférieures et supérieures. Intégrale fonction de sa
borne supérieure.
Géométrie plane euclidienne, roues de diamètre 1. Etudes de fonctions, prolongements.
Intérieur, frontière, fermé, convexité. Distance entre deux droites parallèles. Tangente à une
demi-ellipse, représentation paramétrique. Centre de courbure.