Exercices 18

MPSI CHAPITRE 18
EXERCICES
18-1 Comète de Halley
La période de la comète de Halley dans sa révolution autour du soleil est T = 76,0 ans, la distance du périhélie au soleil
est de 0,59 U.A. (unité astronomique : U.A. = 1,5.1011 m), la masse du Soleil est d'environ 2,0.1030 kg, la constante de l'attraction
universelle est G = 6,67.10–11 N.m2.kg–2.
Calculer l'excentricité e de l'orbite de cette comète, le demi grand axe a, les vitesses maximale vM et minimale vm de la
comète au cours de son mouvement.
18-2 Satellite artificiel
Un satellite est mis en orbite en un point P à une altitude z = 230 km au dessus du niveau de la mer, avec une vitesse
P
v
perpendiculaire à OP, O étant le centre de la Terre, de rayon R.
Avec ces conditions initiales, le satellite décrit une orbite elliptique caractérisée par son périgée OP = 6630 km et son
apogée OA = 8250 km.
1) Déterminer les caractéristiques (a, b, c, p, e) de l'ellipse décrite par le satellite.
2) Calculer la constante C de la loi des aires ainsi que la période de révolution T du satellite.
3) Calculer la vitesse du satellite à son apogée vA.
On donne : G = 6,67.10–11 N.m2.kg–2 ; R = 6,4 103 km ; MT = 6,0.1024 kg ; vP = 8,19 km.s–1.
18-3 Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène
On considère l'interaction électrostatique entre l'électron (de masse m et de charge q = – e) et le proton (de masse m' >> m
et de charge q' = e) de l'atome d'hydrogène.
On se place dans le modèle de Bohr où l'électron décrit une trajectoire circulaire de rayon r autour du proton supposé fixe
et centrée en O. L'hypothèse de Bohr consiste à poser
2
h
nL0
, n étant un entier, h la constante de Planck et
0
L
le moment
cinétique de l'électron calculé en O.
- Montrer que l'énergie mécanique de l'électron peut s'écrire
2
0
n
E
E
et exprimer
0
E
avec m, e,
0 et h..
- Calculer
0
E
en électron-volt connaissant h = 6,6262 10–34 J.s, m = 0,91095.10–30 kg, e = 1,6022.10–19 C,
0 = 8,8542.10–12 F.m–1.
18-4 Action des frottements sur un satellite en orbite circulaire
Soit un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon R + h.
On assimile le champ de pesanteur au champ de gravitation dû à la Terre
a) Déterminer la vitesse v et la période T du mouvement.
On donne : R =
3
10.20
km, pour h = 0 g = g0 = 9,81 m.s–2, h = 300 km.
b) Les forces de frottement (sur les couches raréfiées de l'atmosphère), de résultante
 v
hvm
f
, produisent une très
petite variation h de l'altitude. La trajectoire étant pratiquement circulaire, trouver la relation entre et h et calculer le travail
des forces de frottement Wf pour un tour. On donne : m = 80 kg et h = – 200 m.

18-5 Mouvement d'une planète
On considère le mouvement d'une planète, assimilée à un point matériel P de masse m, dans le champ gravitationnel du
Soleil, de centre O et de masse m'.
On pose K = G m' et on utilise la variable u =
r
1
(r = OP).
On note L la norme du moment cinétique de P par rapport au point O.
a) Exprimer l'énergie mécanique Em du point matériel P. Montrer que le mouvement de P satisfait à l'équation différentielle
uu d
du 2
2
(1), où et sont des constantes que l'on exprimera en fonction de K, m, L et Em.
b) Résoudre l'équation (1). Montrer que la trajectoire de P est une conique dont on calculera l'excentricité e d'abord en
fonction de et , puis en fonction de K, m, L et Em. En déduire la nature de la conique suivant le signe de Em.
18-6 Satellite terrestre, erreur de satellisation
On note xOy le plan équatorial de la Terre (centre O, masse mT ). Un satellite M de masse m (m << mT) est lancé du point
M0 (r = r0,  = 0) de l'axe Ox avec la vitesse
0
v
faisant l'angle 90 ° avec OM0 et située dans le plan xOy.
On utilise les coordonnées polaires r = OM,
  OM,Ox
, les vecteurs de base étant
r
e
et
e
. On pose K = G mT.
a) Calculer la constante des aires C en fonction de r0 et v0. En posant
K
vr 2
00
, montrer que l'équation polaire de la
conique peut se mettre sous la forme :
)cos()1(1
r
r0
. Quelle est la nature de la conique suivant la valeur de  ?
b) Lorsque cette trajectoire est une ellipse, calculer les distances rA et rP relatives à l'apogée et au périgée, puis le demi-grand
axe a, en fonction de r0 et .
c) On veut lancer un satellite d'orbite circulaire de rayon r, sur laquelle la vitesse doit être v. On supposera que r0 = r et que
v0 = v + v avec v << v, à la suite d'une faible erreur de satellisation.
Calculer , l'excentricité e de la trajectoire elliptique obtenue ainsi que l'écart
T
T
à la période prévue en introduisant la
quantité
v
v
.
18-7 Vecteur excentricité
Soit un point matériel M (masse m) qui subit la force gravitationnelle d'un astre A (de centre O et de masse m1), du type
2
r
r
u
kf
avec k > 0.
La position du point M, dans le référentiel d'étude galiléen R, est repérée par les coordonnées polaires OM = r,
  OM,Ox
, les vecteurs de base étant
r
u
et
u
.
a) Le vecteur excentricité est défini par l'expression
  uv
k
mC
e
dans laquelle
v
est la vitesse du point M et C la
constante des aires.
Montrer que le vecteur excentricité est une constante du mouvement.
b) L'axe de symétrie de la trajectoire de M est pris comme axe polaire Ox. .Justifier que le vecteur excentricité est colinéaire
à l'axe Oy, orthogonal à Ox.
En effectuant le produit scalaire
ue .
, établir l'équation polaire de la trajectoire de M. En déduire que l'on obtient une
conique d'excentricité
ee
et de paramètre
k
mC
p2
.
c) Montrer que e est liée à l'énergie mécanique Em par
2m
2
2
k
EmC2
1e 
. En déduire la nature de la conique suivant le
signe de Em.