Exercices 18
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MPSI CHAPITRE 18 EXERCICES 18-1 Comète de Halley La période de la comète de Halley dans sa révolution autour du soleil est T = 76,0 ans, la distance du périhélie au soleil est de 0,59 U.A. (unité astronomique : U.A. = 1,5.1011 m), la masse du Soleil est d'environ 2,0.10 30 kg, la constante de l'attraction universelle est = 6,67.10–11 N.m2.kg–2. Calculer l'excentricité e de l'orbite de cette comète, le demi grand axe a, les vitesses maximale v M et minimale vm de la comète au cours de son mouvement. G 18-2 Satellite artificiel Un satellite est mis en orbite en un point P à une altitude z = 230 km au dessus du niveau de la mer, avec une vitesse v P perpendiculaire à OP, O étant le centre de la Terre, de rayon R. Avec ces conditions initiales, le satellite décrit une orbite elliptique caractérisée par son périgée OP = 6630 km et son apogée OA = 8250 km. 1) Déterminer les caractéristiques (a, b, c, p, e) de l'ellipse décrite par le satellite. 2) Calculer la constante C de la loi des aires ainsi que la période de révolution T du satellite. 3) Calculer la vitesse du satellite à son apogée vA. On donne : = 6,67.10–11 N.m2.kg–2 ; R = 6,4 103 km ; MT = 6,0.1024 kg ; vP = 8,19 km.s–1. G 18-3 Modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène On considère l'interaction électrostatique entre l'électron (de masse m et de charge q = – e) et le proton (de masse m' >> m et de charge q' = e) de l'atome d'hydrogène. On se place dans le modèle de Bohr où l'électron décrit une trajectoire circulaire de rayon r autour du proton supposé fixe h et centrée en O. L'hypothèse de Bohr consiste à poser L 0 n , n étant un entier, h la constante de Planck et L 0 le moment 2 cinétique de l'électron calculé en O. - Montrer que l'énergie mécanique de l'électron peut s'écrire E E n 0 2 et exprimer E0 avec m, e, 0 et h.. - Calculer E0 en électron-volt connaissant h = 6,6262 10–34 J.s, m = 0,91095.10–30 kg, e = 1,6022.10–19 C, 0 = 8,8542.10–12 F.m–1. 18-4 Action des frottements sur un satellite en orbite circulaire Soit un satellite de masse m, en orbite circulaire de rayon R + h. On assimile le champ de pesanteur au champ de gravitation dû à la Terre a) Déterminer la vitesse v et la période T du mouvement. On donne : R = 20.10 3 km, pour h = 0 g = g0 = 9,81 m.s–2, h = 300 km. m v v , produisent une très h petite variation h de l'altitude. La trajectoire étant pratiquement circulaire, trouver la relation entre et h et calculer le travail des forces de frottement Wf pour un tour. On donne : m = 80 kg et h = – 200 m. b) Les forces de frottement (sur les couches raréfiées de l'atmosphère), de résultante f 18-5 Mouvement d'une planète On considère le mouvement d'une planète, assimilée à un point matériel P de masse m, dans le champ gravitationnel du Soleil, de centre O et de masse m'. 1 On pose K = m' et on utilise la variable u = (r = OP). r On note L la norme du moment cinétique de P par rapport au point O. a) Exprimer l'énergie mécanique Em du point matériel P. Montrer que le mouvement de P satisfait à l'équation différentielle G 2 du 2 u u (1), où et sont des constantes que l'on exprimera en fonction de K, m, L et Em. d b) Résoudre l'équation (1). Montrer que la trajectoire de P est une conique dont on calculera l'excentricité e d'abord en fonction de et , puis en fonction de K, m, L et Em. En déduire la nature de la conique suivant le signe de Em. 18-6 Satellite terrestre, erreur de satellisation On note xOy le plan équatorial de la Terre (centre O, masse mT ). Un satellite M de masse m (m << mT) est lancé du point M0 (r = r0, = 0) de l'axe Ox avec la vitesse v 0 faisant l'angle 90 ° avec OM0 et située dans le plan xOy. On utilise les coordonnées polaires r = OM, Ox , OM , les vecteurs de base étant e r et e . On pose K = Calculer la constante des aires C en fonction de r0 et v0. En posant a) G mT. r0 v 0 2 , montrer que l'équation polaire de la K r0 . Quelle est la nature de la conique suivant la valeur de ? 1 ( 1) cos() b) Lorsque cette trajectoire est une ellipse, calculer les distances r A et rP relatives à l'apogée et au périgée, puis le demi-grand axe a, en fonction de r0 et . c) On veut lancer un satellite d'orbite circulaire de rayon r, sur laquelle la vitesse doit être v. On supposera que r0 = r et que v0 = v + v avec v << v, à la suite d'une faible erreur de satellisation. T Calculer , l'excentricité e de la trajectoire elliptique obtenue ainsi que l'écart à la période prévue en introduisant la T v quantité . v conique peut se mettre sous la forme : r 18-7 Vecteur excentricité Soit un point matériel M (masse m) qui subit la force gravitationnelle d'un astre A (de centre O et de masse m 1), du type f k ur avec k > 0. r2 La position du point M, dans le référentiel d'étude galiléen R, est repérée par les coordonnées polaires OM = r, Ox , OM , les vecteurs de base étant u r et u . a) Le vecteur excentricité est défini par l'expression e mC v u dans laquelle v est la vitesse du point M et C la k constante des aires. Montrer que le vecteur excentricité est une constante du mouvement. b) L'axe de symétrie de la trajectoire de M est pris comme axe polaire Ox. .Justifier que le vecteur excentricité est colinéaire à l'axe Oy, orthogonal à Ox. En effectuant le produit scalaire e . u , établir l'équation polaire de la trajectoire de M. En déduire que l'on obtient une conique d'excentricité e e et de paramètre p c) mC 2 . k Montrer que e est liée à l'énergie mécanique Em par e 2 1 signe de Em. 2mC 2 E m k2 . En déduire la nature de la conique suivant le
