Lycée Lyautey – Casablanca

P a g e |1
TS
Bac blanc 2010 - Obligatoire
Corrigé
19/2/2010
3h30
EXERCICE N°1 : « Histoires de pendules » (8 points)
Les deux parties sont indépendantes.
I. Première partie : pendule simple et énergie
1. Donner l’expression :
a) De l’énergie cinétique Ec du pendule ainsi constitué.
Ec =
1
2
.m.v (v : valeur du vecteur vitesse à une date quelconque)
2
b) De son énergie potentielle Ep .
Ep = m.g.z + Cte
On pose Ep = 0 pour z = 0 => Cte =0 et Ep = m.g.z
c) De son énergie mécanique Em.
Em = Ec + Ep => Em =
1
2
.m.v + m.g.z
2
2. a) Attribuer l’énergie correspondant à chaque courbe et dire si l’hypothèse sur l’amortissement est vérifiée.
Courbe 2 : Ec – En effet, la valeur du vecteur vitesse est maximale au passage par la position
d’équilibre (x = 0). Il s’ensuit que l’énergie cinétique est maximale pour cette même position.
Courbe 3 : Ep – En effet, au passage par la position d’équilibre, z = 0 : il s’ensuit que Ep = 0 pour cette
même position.
Courbe 1 : Em – L’énergie mécanique est la somme des énergie cinétique et potentielle.
On remarque que cette énergie est constante, ce qui confirme le fait que les frottements sont
négligeables.
b) Expliquer brièvement les échanges d’énergie qui s’opèrent lors des oscillations.
Lorsque l’altitude diminue, le pendule perd autant d’énergie potentielle qu’il gagne d’énergie
cinétique. Quand l’altitude augmente, le pendule gagne autant d’énergie potentielle qu’il perd
d’énergie cinétique.
c) Calculer la vitesse maximale vm du point G.
A la position d’équilibre : Ec,max =
Soit : vm =
2  0, 0420
0, 336
1
2
2
.m.vm => vm =
2Ec,max
m
= 5,00 x 10-1 m.s-1
d) Calculer l’altitude maximale zm atteinte par le point G.
Quand le pendule atteint son altitude maximale : Ec = 0 => Em = Ep,max = m.g.zm => zm =
Soit : zm =
0, 0420
0,336  10, 0
Em
m.g
= 12,5 x 10-3 m
e) Établir l’expression de l’amplitude m des oscillations en fonction de L et de zm.
Soit H le projeté du point Gm sur l’axe (G0 , k ).
Dans le triangle OHGm : cos m =
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OH
OGm
=> cos m =
L  zm
L
 L  zm 

 L 
et m = cos-1 
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II. Deuxième partie : pendule élastique et sismomètre
A. Étude des oscillations libres en l’absence de tout séisme
1. Faire le bilan des forces extérieures
s’exerçant sur le solide et représenter ces
forces au point G, sans souci d’échelle, sur le
schéma de l’annexe 1.
Bilan des forces dans le référentiel
terrestre supposé galiléen :
R
O i
F
k
Bâti B
x
G
(S)
)
- P : poids du solide
- R : réaction du support
P
- F : force de rappel du ressort
d x
2
2. Montrer que l’équation différentielle qui régit le mouvement du point G est :
dt
2

k
m
.x  0
Deuxième loi de Newton : P + R + F =m. a G
Projection dans le repère (O, i ) :
dx
2
P = Px. i avec Px = 0 ; R = Rx. i avec Rx = 0 ; F = Fx. i avec Fx = - k.x ; a G = ax. i avec ax =
dx
2
=> - k.x = m.
dt
2
dx
2
et
dt
2
+
k
m
dt
2
.x = 0
3. La solution de cette équation différentielle est de la forme : x = xm.cos(.t + ).
a) Définir les termes xm, ,  et donner leur unité.
xm : amplitude (en m) ; 0 : pulsation (en rad.s-1) ; 0 : phase initiale (en rad)
b) Établir l’expression de  en fonction de k et de m.
x = xm.cos(.t + ) =>
dx
dt
dx
2
= - xm..sin(.t + ) et
dt
En reportant dans l’équation différentielle : - .x +
2
k
m
= - xm..cos(.t + ) = - .x
.x = 0 =>  =
k
m
c) En déduire l’expression de la période propre T0 des oscillations et vérifier la cohérence de cette expression par une
analyse dimensionnelle.
T0 =
2
0
=> T0 = 2.
m
k
Analyse dimensionnelle :
[T0] = T ; [] = 1 ; [m] = M ; [k] = M.T-2
m

1/2
-1/2
1/2
-1/2
2. k  = [2].[m] .[k] = 1.M .M .T = T = [T0] : la relation est homogène.


B. Étude des oscillations forcées lors d’un séisme
1. Quel est l’excitateur ? Quel est le résonateur ?
L'excitateur est le sol qui se met à trembler lors d'un séisme. Le résonateur est le système solideressort.
2. En admettant que l'amortissement est suffisamment faible, pour quelle période de l'excitateur ce phénomène de
résonance se produit-il ?
Le phénomène de résonance se produit lorsque la période de l'excitateur est égale à la période propre T0
du résonateur.
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3. a) Sur ce document, associer à chaque signal observé le type d’ondes détectées (S ou P).
1s
P
S
b) Dire si l'ordre de grandeur de la période de ces ondes sismiques est plutôt de 10 s, 1 s, ou 0,1 s.
Sur une durée d’environ 1s on peut observer plusieurs oscillations. L’ordre de grandeur de la période
des oscillations est donc de 0,1 s.
c) À partir de l'expression de la période propre T0 donnée à la question A.3.c, calculer la valeur approchée de la masse
m du solide qui a permis de relever ce sismogramme.
T0 = 2.
m
k
k.T0
2
=> m =
4.
2
soit m =
100  (0,10)
2
= 2,5 x 10-2 kg ou 25 g
4  10
d) Certaines ondes se propageant lors d'un séisme ont des fréquences beaucoup plus basses que celles des ondes S et P.
Comment faudrait-il modifier la masse m pour pouvoir les enregistrer ?
Les ondes qui ont des fréquences plus basses que celles des ondes S et P ont des périodes plus
grandes. Or, T02 est proportionnelle à m : il faut donc augmenter la masse m.
C. Étude du sismogramme pour déterminer l’éloignement du séisme
1. Relever sur le document en annexe 2, les dates d'arrivée des ondes S et P à la station d'enregistrement
notées respectivement ts et tp.
Date d’arrivée des ondes P : tP = 18 h 31 min 15 s
Date d’arrivée de sondes S : tS = 18 h 31 min 20 s
2. Soit d la distance qui sépare la station d'enregistrement du lieu où le séisme s'est produit.
a) Exprimer la célérité notée vS des ondes S en fonction de la distance d parcourue et des dates ts et t0.
vS =
d
(1)
tS  t0
b) Faire de même pour les ondes P avec les dates tp et t0.
vP =
d
(2)
tP  t0
c) En déduire l'expression de la distance d : d 
v .v
s
v
p
p
 v
.( t
s
 t )
p
s
(1) => d = vS.(tS - t0) => d = vS.tS – vS.t0 => On en déduit : t0 = ts -
d
On reporte dans (2) : vP =
tP  (tS 
=> d.(1 -
vP
vS
) = vP.(tP – tS) => d =
d
vS
=> vP.(tP – tS +
)
vP .(tP  tS )
1
vP
=> d 
d
vS
vs .vp
vp  vs
d
vS
) = d => vP.(tP – tS) + d.
vP
vS
=d
.(ts  tp )
vS
d) Calculer la valeur de cette distance d.
3, 5  10  6, 0  10
3
Soit : d =
3
(6, 0  10  3, 5  10 )
3
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3
 5, 0 = 42 x 103 m ou 42 km
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EXERCICE N°2 : « Histoire d’eau » (7 points)
I. Première partie : étude d’une solution commerciale destinée à diminuer le pH
1. L’acide chlorhydrique est une solution qui s’obtient par dissolution du chlorure d’hydrogène HCl (g) dans l’eau. Cette
transformation étant totale, expliquer pourquoi la concentration molaire c0 en soluté apporté dans la solution
commerciale est égale à la concentration effective [H3O+] des ions oxonium en solution.
L’équation de la réaction de dissolution du chlorure d’hydrogène dans l’eau s’écrit :
HCl(g) + H2O = H3O+(aq) + Cl-(aq)
Puisque la réaction est totale, la concentration en soluté apporté est égale à la concentration
effective en ions oxonium : [H3O+] = c0
2. a) Écrire l'équation de la réaction support du titrage.
H3O+(aq) + HO-(aq) = 2 H2O
b) Définir l'équivalence.
A l’équivalence, la quantité d’ions hydroxyde apportés par la solution titrante est égale à la quantité
d’ions oxonium initialement présents : n(HO-)E = n(H3O+)0
c) En déduire la valeur de la concentration molaire c1 de soluté apporté dans la solution S1.
c2 .VE
c2.VE = c1.V1 => c1 =
V1
avec VE = 25,5 mL (abscisse du maximum de la courbe représentative de la fonction V2 
4, 0  10
Soit : c1 =
2
 25, 5
20, 0
dpH
dV2
(V2 ) )
= 5,1 x 10-2 mol.L-1
d) Montrer que la concentration molaire c0 en soluté apporté dans la solution commerciale est voisine de 2,5 mol.L–1
(cette valeur sera utilisée dans la suite de l’exercice).
c0 = 50.c1 soit : c0 = 50 x 5,1 x 10-2 = 2,6 mol.L-1 … ce qui répond à la question posée.
3. Quelle serait la valeur du pH final de l'eau de l'aquarium s'il n'y avait qu'une simple dilution des ions oxonium ?
La dilution ne change pas les quantités de matière : c0.V0 = [H3O+]aqua.V => [H3O+]aqua =
c0 .V0
V
 c0 .V0 

 V 
=> pHaqua = - log [H3O+]aqua et pHaqua = - log 
Soit : pHaqua = - log
2, 5  20  10
100
3
= - log 5,0 - log 1,0 x 10-4 = - 0,70 + 4,0 = 3,3
4. a) Donner l'expression de la constante d'équilibre K1 associée à l'équation de la réaction (1).
K1 =
[CO2 ]éq
[HCO3 ]éq .[H3 O ]éq


b) Exprimer cette constante d'équilibre en fonction de la constante d'acidité KA du couple CO2(aq), H2O / HCO3– (aq).
[HCO3 ]éq .[H3 O ]éq

KA =

[CO2 ]éq
=> K1 =
1
KA
c) Déterminer la valeur numérique de cette constante d’équilibre (KA = 1,0 x 10–6,4)
K1 =
1
1, 0  10
6,4
= 2,5 x 106
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5. a) En utilisant le critère d'évolution spontanée, montrer que des ions H3O+ sont consommés si l'eau est calcaire.
Qr,i < K1 : le système évolue dans le sens direct de l’équation (1) et des ions oxonium sont consommés.
b) Le pH final sera-t-il supérieur, égal ou inférieur au pH calculé à la question 3 ?
Si la concentration en ions oxonium diminue, le pH va augmenter.
c) Dans la notice du fabricant on trouve la phrase suivante : « Assurez-vous par des tests réguliers que votre eau est
suffisamment calcaire car sinon il pourrait y avoir des risques de chutes acides ». Expliquer cette mise en garde.
Si l’eau est peu calcaire, elle contient peu d’ions hydrogénocarbonate. Une trop faible partie des ions
oxonium apportés par la solution commerciale sera alors consommée et l’eau sera trop acide.
II. Deuxième partie : étude de la formation des ions ammonium
1. Montrer que la concentration de la solution en ions ammonium peut être déterminée à partir de la mesure de la
conductivité de la solution, les conductivités molaires ioniques étant connues.
 = (NH4+).[NH4+]éq + (OCN-).[OCN-]éq
D’après les coefficients stoechiométriques de l’équation (2) : [NH4+]éq = [OCN-]éq

=>  = [NH4+]éq.((NH4+) + (OCN-)) et [NH4+]éq=
+

(NH4 )  (OCN )
2. a) Compléter littéralement, en annexe 3, le tableau descriptif de l'évolution du système.
(NH2)2CO(aq)
Quantités de matière
NH4+(aq)
OCN–(aq)
x=0
c.V
0
0
x
c.V - x
x
x
xmax =c.V
c.V - xmax = 0
xmax = c.V
xmax = c.V
État
Avancement
(mol)
État initial
État en
cours d'évolution
État final (en supposant la
transformation totale)
b) En déduire la relation entre la concentration en ions ammonium en solution et l'avancement x de la réaction.
n(NH4 )

A chaque instant : n(NH4+) = x => [NH4+] =
V
et [NH4+] =
x
V
c) Calculer l'avancement maximal xmax.
Si la réaction est totale : c.V – xmax = 0 => xmax = c.V
Soit : xmax = 2,0 x 10-2 x 100,0 x 10-3 = 2,0 x 10-3 mol
3. Le graphe donnant l’évolution de l’'avancement de la réaction (2) en fonction du temps est donné en annexe 4. En
déduire le taux d'avancement 110de la réaction à la date t = 110 min.
A l’instant de date t = 110 min, le taux d’avancement de la réaction est donné par  =
Par lecture graphique : x110 = 1,3 x 10-3 mol =>  =
1,3  10
3
2, 0  10
3
x110
xmax
= 0,65
4. a) Donner l’expression de la vitesse volumique v(t) de réaction en fonction de l’avancement x de la réaction et du
volume V de la solution.
v(t) =
1
V
.
 
dx
dt
b) En utilisant le graphe en annexe 4, décrire l'évolution de cette vitesse.
V étant une constante positive, la vitesse volumique de réaction évolue comme la dérivée de
l’avancement par rapport au temps. Ce terme étant égal à chaque instant au coefficient directeur de
la tangente à la courbe représentative de la fonction t  x(t), on constate qu’il diminue au cours du
temps : la vitesse volumique de réaction diminue au cours du temps.
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5. En poursuivant l'expérience pendant une durée suffisante, on obtient une concentration
[NH4+]f = 2,0 x 10–2 mol.L–1 . Déterminer le taux d'avancement final de cette transformation et conclure.
xf
Le taux d’avancement final est donné par :  =
Soit :  =
2, 0  10
2
2, 0  10
2
xmax
[NH4 ]f .V

=> =
finale
:
[NH4 ]f

et =
c.V
c
= 1,0 …on en conclut que cette transformation est totale.
6. Définir puis déterminer graphiquement le temps t1/2 de demi-réaction.
Le temps de demi-réaction est la durée nécessaire pour que l’avancement de la réaction atteigne la
moitié de sa valeur finale.
x1/2 =
xf
2
=
xf
xmax
=
2, 0  10
2
3
= 1,0 x 10-3 mol. Par détermination graphique, on trouve : t1/2 = 62 min
7. Dans l'aquarium, la valeur de la température est seulement de 27°C. Sans justifier, tracer, sur le graphe en
annexe 4, l'allure de la courbe précédente à cette température.
Justification (non demandée) : la température étant un facteur cinétique, le temps de demi-réaction
à 27°C sera plus grand qu’à 45°C et l’avancement final sera atteint plus lentement.
La courbe à 27°C est donc sous la courbe à 45°C et le coefficient directeur de la tangente à l’origine
est plus petit.
8. Les ions ammonium finissent par se transformer en ions nitrate dont l'accumulation risque de compromettre la vie
des poissons. Ces derniers ions constituent un aliment essentiel pour les plantes vertes de l'aquarium. Expliquer
pourquoi, dans les livres d'aquariophilie, on dit que l'aquarium doit être « bien planté ».
L'aquarium doit être « bien planté » de sorte que les plantes vertes consomment les ions nitrate
pour qu’ils ne s’accumulent pas dans l’aquarium ce qui risquerait de compromettre la vie des poissons.
EXERCICE N°3 : « Quatre satellites terrestres » (5 points)
I. Première partie : le premier satellite artificiel
1. Exprimer vectoriellement la force exercée F par la Terre (de centre d’inertie O, de masse MT et de rayon RT) sur
Spoutnik 1 (de centre d’inertie S et de masse m), supposé ponctuel, et la représenter sur un schéma (la constante de
gravitation universelle sera notée G).
F  G.
MT .m
d
2
.u
O
F
u
(MT)
S (m)
d
2. L'étude se fait dans un référentiel géocentrique considéré comme galiléen. En appliquant la deuxième loi de Newton
établir l'expression vectorielle a de l'accélération du centre d’inertie du satellite.
S
2ème loi de Newton : F  m.a S => m.a S  G.
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MT .m
d
2
.u et a S  G.
MT
d
2
.u
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II. Deuxième partie : les satellites artificiels à orbites circulaires
1. a) En reprenant les résultats de la première partie, établir que le mouvement circulaire du centre d’inertie de
Hubble est uniforme.
u est un vecteur radial centrifuge. L’expression trouvée en I.2 montre que a S et u ont la même
direction et des sens contraires. On en déduit que a S est un vecteur radial centripète et que le
mouvement est circulaire uniforme.
b) Établir l’expression littérale de la valeur v du vecteur vitesse du centre d’inertie de Hubble en fonction des
grandeurs MT, RT, h et G.
dv
Dans une base de Frenet (S, ,n ) : a S =
2
.n
r
2
MT
dv
v
Or, le mouvement est uniforme :
= 0 et a S =
.n = G. 2 .n
r
dt
r
=> v =
G.
MT
dt
. 
v
avec r = RT + h
(RT  h)
c) Établir l’expression littérale de la période T de son mouvement en fonction des grandeurs précédentes puis
retrouver la troisième loi de Kepler appliquée à ce mouvement circulaire.
T=
2

avec : 
v
R
Il s’ensuit : T2 = 42.
T
 h
R
T
=> T =
 h
G.MT
2.(RT  h)
v
3
=>
T
R
T
2
et T = 2.
4
R
T
 h
3
G.MT
2
 h
3

G.MT
= Cte (troisième loi de Kepler)
2. a) Montrer que seule l’une de ces trajectoires est incompatible avec les lois de la mécanique.
La figure 2 est incompatible avec la 2 ème loi de Newton. En effet, le vecteur accélération est dans le
plan orbital. Or, d’après la 2ème loi de Newton, la direction du vecteur accélération doit être la même
que celle de la force de gravitation, c'est-à-dire la droite (OS), ce qui n’est pas le cas ici (on peut
dire aussi que le point O doit être au centre de l’orbite).
b) Quelle est la seule trajectoire qui peut correspondre au satellite géostationnaire ?
La trajectoire de la figure 1 est la seule qui puisse correspondre au satellite géostationnaire. Le plan
contenant l'orbite du satellite est le plan équatorial. Ainsi, le satellite peut rester à la verticale
d'un même lieu si sa période de révolution est égale à la période de rotation de la Terre.
III. Troisième partie : les satellites artificiels à orbites elliptiques
1. Énoncer les deux autres lois dans le cas général d'une orbite elliptique.
1ère loi de Kepler : les satellites décrivent des orbites elliptiques dont l’astre attracteur est l’un des
foyers.
3ème loi de Kepler : le rapport du carré de la période de révolution d’une planète sur son orbite
elliptique et du cube du demi-grand axe de l’ellipse est constant.
2. a) Sans souci d'échelle ni d'exactitude de la courbe mathématique, dessiner l'allure de l'orbite du centre d’inertie
S du satellite Hipparcos. Placer sur ce schéma le centre d'inertie O de la Terre et les points P et A correspondant
respectivement aux valeurs 500 km et 36000 km d’altitude.
S
P
A
O
2a
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b) En appliquant la loi des aires au schéma précédent montrer, sans calcul, que la vitesse d'Hipparcos sur son orbite
n'est pas constante.
N
M
P
A
O
M’
N’
D’après la loi des aires, les aires des triangles MON et M’ON’ sont égales, et les distances MN et
M’N’, inégales, sont parcourues pendant des durées égales : il n’est donc pas possible que le satellite
se déplace toujours sur son orbite avec la même vitesse.
c) Préciser en quels points de l’orbite la vitesse d’Hipparcos est maximale puis minimale.
La vitesse est maximale au point P (périgée) et minimale au point A (apogée).
IV. Quatrième partie : les missions des satellites artificiels
1. Sachant que le spectre optique correspond à la lumière visible, donner les valeurs limites min et max des longueurs
d'onde dans le vide de ce spectre et situer l'infrarouge et l'ultraviolet.
min = 400 nm (limite entre le violet et l’ultra-violet).
max = 800 nm (limite entre le rouge et l’infra-rouge).
2. La célérité de la lumière dans le vide est c = 3,0  108 m.s-1. En déduire les valeurs limites min et max en
fréquence de la lumière visible.
 
c

=>  
Soit : min =
c

3, 0  10
8
800  10
9
= 3,8 x 1014 Hz et max =
3, 0  10
400  10
8
9
= 7,5 x 1014 Hz
3. Pourquoi doit on préciser « dans le vide » pour donner les valeurs des longueurs d'onde ?
Dans le vide, la lumière se déplace à la célérité c = 3,0 x 10 8 m.s-1. Dans les autres milieux, elle se
déplace avec une célérité v < c : la fréquence d’une radiation étant constante, la longueur d’onde
dépend du milieu de propagation.
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