Corrigé avec rappel de l`énoncé

Série D 2001.Problème de physique
Corrigé avec rappel de l’énoncé
(Les lettres en caractères gras désignent des vecteurs)
On considère un disque plein, homogène, de masse M = 500g, de rayon R = 20 cm et de
centre C.
1.- Le disque peut osciller, dans un plan vertical, autour d’un axe horizontal fixe (),
perpendiculaire à son plan et passant par un point O de sa circonférence. Au point B
diamétralement opposé à O, on fixe un corps ponctuel (S), de masse m =M/2 (voir
figure 1).
Montrer que :
a. la distance du centre d’inertie G du système {disque + corps (S)} à l’axe () est OG = a =4R/3.
(1,00 pt)
G est barycentre des points C(M) et B(m), soit :
mM OBm.OCM.
OG 
Les vecteurs ayant même direction et même sens (voir figure ci-dessus), la longueur OG
s’écrit donc :

.R
3
4
M
2
3
2MR
2
M
M
.2R
2
M
M.R
OG 
b. le moment d’inertie du système {disque + corps (S)} par rapport à l’axe () est
J = 7 mR2. (1,00 pt)
Calcul du moment d’inertie du système, en tenant compte du théorème de Huyghens:
22
'
ΔΔΔ
2
iiΔ(2R)
2
M
RM(disque)J)(surchargeJ(disque)JrΣmJ
Et comme : M=2m
22222
Δ(7m).R(3,5.M)R2MRMRM.R
2
1
J
2.- Le système {disque + corps (S)} constitue un pendule composé. On considère les oscillations de
faible amplitude autour de l’axe () de ce pendule. Calculer la longueur l du pendule simple synchrone de
ce pendule composé. (1,50 pt)
Le système de poids total P =(M+m)g, écarté de sa position d’équilibre, est schématisé
ci-dessous.
Le sens positif de rotation étant choisi, écrivons le théorème de l’accélération
angulaire pour un angle  petit:
θ2RMgθg
2
3M
3
4R
θsinm)g(Ma)/P(M
dt
θd
.J Δt
2
2
Δ
Le signe « moins » se justifie car le moment de P est toujours de signe contraire à celui
de .
Soit en simplifiant par M, on obtient l’équation différentielle du mouvement de
l’oscillateur :

04g.θθ7.R. 
Remarque :
Avant d’aller plus loin, il est important de vérifier l’homogénéité de la formule !
Les deux termes de l’équation différentielle ont la même unité SI soit: m.rad.s-2
L’équation différentielle est celle d’un oscillateur harmonique de pulsation et de
période T, avec :
4g
7R
.2Tet
7R
4g
Le pendule simple de longueur l synchrone du pendule composé doit vérifier :
35cm
4
7.20cm
4
7R
l
4g
7R
g
l
4g
7R
g
l
3.- On enlève le corps (S). On fait tourner le disque, seul, à l’aide d’un moteur. Lorsque le
disque atteint la vitesse de rotation égale à 300 tours par minute, on arrête le moteur et
on applique sur le disque un couple de freinage de moment M f constant. Il s’arrête
après avoir effectué 250 tours, comptés à partir de l’arrêt du moteur.
a. Calculer M f . (1,00 pt)
Le disque tourne cette fois sans surcharge autour de son axe ’
f
M
dt
d
J
2
2
'.
(Le moment de la force tend à s’opposer au mouvement de rotation dans le sens choisi
positif d’où le signe négatif devant Mf)
Mf étant constant, le mouvement de rotation est uniformément varié d’accélération :
)1(constante
'
équation
J
Mf
En intégrant, cette relation par rapport au temps, nous trouvons :
La vitesse angulaire :
1
'
.4,31
60
300.2
60
..2
)2()(
srad
No
avec
équationt
J
Mf
t
o
o

(t) est donc une fonction affine décroissante de pente : –Mf/J
Une nouvelle intégration permet d’obtenir  :
)(équation.tωt]
.J
Mf
[θ(t):soit
θodoncet,θtor,àθo.tω
t
J
Mf
θ(t)
o
'
Δ
o
Δ'
3
2
000
2
2
2
Les équations 1,2 et3 dépendantes du temps sont celles définissant un mouvement
uniformément varié.
Pour trouver Mf, nous devons établir une quatriéme équation, celle que l’on obtient en
éliminant t entre les deux équations 2 et 3
Nous tirons t de l’équation 2 et reportons son expression dans la troisième.
Après simplification on obtient :
 ''
2
22)()(2)4( J
Mf
J
Mf
équation oo
Remarque : cette relation est formellement identique à celle obtenue lors d’un mouvement
rectiligne uniformément varié. Il suffit de remplacer  par v ,  par x, et
l’accélération angulaire par l’accélération :
)(2
2
2oo xxavv 
L’équation 4 est l’équation indépendante du temps caractérisant un mouvement
uniformément varié.
On a représenté, ci-dessous l’aspect des graphes de la vitesse angulaire et de l’écart
angulaire (non exigé)
A l’instant de l’arrêt du disque, =0 et  max=250.2.=500=1570rad

mN
J
M
x
ma
o
f.102,3
1750.2
)2,0.5,0
2
1
.(.100
.2 )( 3
22
'
2
Là encore il est prudent de vérifier l’homogénéité des cette formule !
Le terme littéral ci-dessus possède l’unité : (s-1)2.kg.m2.=s-2.kg.m2
Par ailleurs, une force a la dimension d’une accélération par une masse, son unité est le
newton (N) qui est équivalent à : m.s-2.kg
Ainsi : on trouve que l’unité de Mf est : N.m ce qui est bien l’unité d’un moment !
b. Calculer la durée de cette phase d’arrêt du disque. (0,50 pt)
Il suffit de poser (t)=0 dans l’équation 2 de la vitesse angulaire.
s
msmkg mkgs MJ
t
f
o
arrêt 98.
.
.98
102,3
2,0.5,0
2
1
4,31
2
21
3
2
'