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SCA 2625-Dynamique Partie C
3. La Grandeur des Forces sur le Plan Horizontal
Le gradient horizontal de pression qu'on calcul sur les cartes de météo est de l'ordre de 10 hPa
en 1000 km (103 hPa/106 m = 10-3 hPa/m). Avec la densité r de l'ordre de 1 Kg/m3 , la grandeur
de la force de gradient pression (par unité de masse ) est de l'ordre de
1
p ~ 103 m/ s2

Avec T = 7,3 10-5 s-1 , le sinus des latitudes extratopicales (30 à 90) de l'ordre de 0,5 à 1, la
grandeur characteristique de f est 10-4 s-1 . Avec un vent horizontal
force (par unité de masse) de Coriolis est de l'ordre de
Vh de l'ordre de 10 m/s, la
f V ~ 103 m/ s2
(Dans les tropiques ces forces (par unité de masse) sont 1 ordre de grandeur plus petit.)
Par contre, l'accélération (d Vh /dt) qu'on mesure est seulement de l'ordre de 10-4 m/ s2.
En absence de l'effet de frottement, on deduit donc que sur le plan horizontal l'écoulement
répresente une quasi-équilibre (beaucoup moins bien que sur le plan vertical) entre la force de
gradient de pression et celle de Coriolis.
P0
P1
asiQu ibre
l
Vh -Ž
quVi g y,N
ph
ah
x,E
P2
ch
Figure DynC-1: Exemple d'un quasi-équilibre sur le plan horizontal. L'accélération ah
sur le plan horizontal est un ordre de grandeur plus petit que la force (par unité de masse)
de gradient de pression ph et celle de Coriolis ch .
SCA2625 Dynamique C-1
Explication: Lorsque la différence de pression existe sur une échelle plus grande, l'effet de
rotation de la Terre (Coriolis) est aussi important que la force de gradient de pression. En absence
de l'effet de frottement si nous regardons, à partir d'une étoile fixe, une zone de gradient
horizontal de pression et on fixe notre attention sur une particule d'air, on la verra commencer à
réagir à la force de gradient de pression. La particule s'accélèrera dans la direction de cette force
qui se dirige de la haute vers la basse pression.
Sens de
rotation
Zone de
haute
Haute
pression
Pression
Sens de
rotation
Zone de
basse
Basse
pression
Pression
Basse
Pression
Force de gradient
de pression
Zone de basse pression
Force de gradient
de pression
Sens de
rotation
s de
Sen tion
rota
Haute
Pression
Vitesse de
la parcelle
Zone de haute pression
Figure DynC-2: La rotation autour de l'axe verticale locale du champ de pression pendant
le déplacement d'une parcelle d'air vers la basse pression.
SCA2625 Dynamique C-2
Parce que la surface de la Terre est en rotation, l'axe de haute-basse pression tourne et bientôt, la
particule se trouvera en train de se déplacer entre la haute et la basse pression. La force de
gradient de pression essaiera de tourner la particule vers la basse pression. La particule tourne
mais l'axe de haute-basse pression tourne aussi approximativement au même taux. Résultat: la
particule se déplace toujours entre la haute et la basse pression avec la basse pression à sa gauche.
Si nous nous plaçons sur la Terre en tournant avec elle, nous ne voyons pas la rotation de l'axe
haute-basse pression mais il nous semble plutôt qu'une force agit sur la particule pour la tourner
vers la droite (la force de Coriolis) et qu'après une petite période d'ajustement, la particule se
déplace avec une vitesse presque parallèle aux isobares avec la basse pression à sa gauche.
source: Lutgens et Tarbuck 1986
Figure DynC-3: En absence de l'effet de frottement Les vents sont déviés par la force de
Coriolis jusqu'à ce que la force de Coriolis équilibre approximativement la force du
gradient de pression. Au-dessus d'autour de 600 mètres, là où la friction avec le sol
devient négligeable, ces vents souffleront presque parallèlement aux isobares. Avec le dos
au vent, la basse pression est à gauche.
4. Le "vent" géostrophique
Étant donné que l'accélération sur plan horizontal est un ordre de grandeur plus petit que les
forces de gradient de pression et celle de Coriolis, en absence de l'effet de frottement, nous
pouvons calculer une des forces à partir de l'autre avec une erreur de l'ordre de 10%
(l'accélération qu'on néglige). En effet, le vent hypothétique qui produirait un équilibre exact
entre les deux forces s'appel le "vent géostrophique" Vg .
1
 p  fk  Vg

x:
y:
1 p
 f vg
 x

C-1
1 p
 f ug
 y
SCA2625 Dynamique C-3
En effet, le vent géostrophique qu'on peut calculer à partir de ces équations est une très bonne
approximation au vent horizontal (l'erreur de de l'ordre de 10%).

1
p  k  Vg
f
1 p
 vg
f x

C-2
1 p
 ug
f y
Exemple du calcul approximativement au point X (pression en hPa, f=10-4s-1,  = 1,25
kg/m3).
1000
1000km
X
y
1004
x
1008
p
 0 donc v g  0
x
p 1000  1008  102 Pa
8102 Pa



  810 4 Pa / m
3
6
y
1000  10 m
10 m
(Question: Pourquoi le numérateur est négatif pendant que le dénominateur est positif?)
Donc
8  10 4
 6,4m/ s
ug  
1,25 10 4
Donc le vent géostrophique Vg
 6,4 i  0 j
ou 6,4 m/s vers de l'ouest vers l'est.
SCA2625 Dynamique C-4
Force de gradient
de pression

C

B
Force de
Coriolis

Vent géostrophique
Accélération
D
A
Accélération
Vents
Nord
D
Est
Figure DynC-4: Le vent suit les isobares: Supposons qu'au point A, le vent est
géostrophique. Donc les forces sont en équilibre exact pour la particule au point A. La
particule se déplacera donc sans accélération et ne changera pas sa vitesse. Au point B,
elle aura la même vitesse et donc la même force de Coriolis (qui dépend de la vitesse).
Mais au point B, la force de gradient de pression se dirige dans une direction différente
qu'au point A. Il n'y a plus donc d'équilibre. En effet, la somme des forces (par unité de
masse), l'accélération, est dans la direction contraire au mouvement. La vitesse de la
particule diminuera donc et la force de Coriolis deviendra plus petite que celle du
gradient de pression. La situation finale est donnée par les flèches au point C (et D) où la
somme des forces produit une accélération vers le centre de dépression qui fait tourner la
particule autour la dépression dans le sens anti-horaire (cyclonique). Notez que
l'accélération reste petite par rapport aux forces. Donc le vent géostrophique est toujours
une bonne approximation au vent.
5. Le vents d'ouests et le courant jet (Jet Stream)
Les premiers modèles de la circulation ne tenaient pas compte de la rotation de la Terre. On
proposait (Hadley) que l'air chaud des régions tropicales en altitude devrait se déplacer vers le
nord et l'air froid des régions polaires devrait aller en surface vers le sud. Donc le vent devrait
aller du nord vers le sud en surface et du sud vers le nord en altitude. Cette circulation, dite de
Hadley, n'est pas observée et on trouve que les vents en altitude sont surtout d'ouest vers l'est.
C'est encore l'effet de la rotation de la Terre qui est la cause de ce comportement. L'air plus
chaud dans les tropiques produit en altitude une force de gradient de pression du sud vers le
nord (comme pour la brise de mer) mais l'effet de Coriolis produit les vents en altitude d'ouest
en est. En plus dans les zones de forts gradients horizontaux de la température de largueur de
l'ordre de 1000 km (des fronts), l'effet de Coriolis empêche aussi des circulations convectives
normales (comme la brise de mer). On effet, au-dessus ces zones de fort gradient de la
SCA2625 Dynamique C-5
température, se trouve des bandes de vents très fort ("jet streams" ou courants jets qui soufflent
perpendiculairement aux gradients horizontaux de température (parallèle aux isothermes
moyens).
Vent entre dans la page
0 hPa
Froid
Chaud
200 hPa
Hauteur
Tropopause
400 hPa
Chaud
600 hPa
Froid
800 hPa
1000 hPa
Nord
S ud (Équateur)
Figure DynC-5: Distribution verticale moyenne de la pression entre l'équateur et le pôle
nord qui produit le vent moyen de l'ouest vers l'est.
Force de gradient
horizontal de pres sion
Vent sort de la page
400 hPa
Tropopause
Jet
600 hPa
Chaud
Chaud
400 hPa
Froid
800 hPa
Hauteur
Froid
600 hPa
Chaud
Froid
800 hPa
Zone frontale
Figure DynC-6: Les zones de fort gradient horizontal de la température (zones frontales)
sont associées aux courants jets.
SCA2625 Dynamique C-6
Figure DynC-7: Courants-jets multiples. source: Environnement Canada
Figure DynC-8: Positions moyennes des courants-jets par rapport aux ftonts de surface (1). La cyclogénèse
d’une dépression de surface est habituellement située au sud du courant-jet (2). Une dépression qui s’intensifie se
déplace plus près du centre du courant-jet (3). Durant l’occlusion, la dépression se déplace au nord du courant-jet. Le
courant-jet traverse le système frontal à l’endroit de l’occlusion. source: Environnement Canada
SCA2625 Dynamique C-7
Les zones où se trouvent les plus fortes variations (gradients) de température sur le plan
horizontal produisent des zones où la force de gradient de pression est la plus forte et les vents
aussi. Ce sont les jets streams ou courants jets.
La variation du vent horizontal sur le plan vertical: Le vent thermique
En atmosphère libre, là où l’effet de la friction ne se fait pas sentir, V  Vg .
Vg  k x 1 p
f
(C-3)
La variation verticale de Vg est
Vg
p -1
p
=kx
+k x 1 
f z
f
z
z
et
p
z
= - g =
-p g
RdT
selon l’équation hydrostatique et la loi des gaz parfaits. Donc
Vg
z
= -kx
p 
2 f
z
-kx
Vg 
g
p
g
pg

= -kx
-kx
p - k x
T-1
Rd f T
 z
T Rd f
Rd f
=-kx
Vg 
gVg
pg
-kx
+kx
T
 z
T Rd
T2 Rd f
Vg

g
g
= -k x Vg 1
+
+kx
T
 z T Rd
Tf
z
(C-4)
Maintenant, on dérive par rapport à z l’équation des gaz parfaits p = RdT d’où
p

T

p 1 T
= RdT + Rd
 1 = 1
 z RdT z T z
z
z
z
et en utilisant l’équation hydrostatique,
1  = - g - 1 T
 z
RdT T z
(C-5)
On remplace le premier terme de l’éq. C-4 par l’éq. C-5 et on obtient
Vg
z
= kx
Vg T
g
+kx
T
T z
Tf
SCA2625 Dynamique C-8
(C-6)
On peut maintenant calculer la grandeur caractéristique de chacun des termes sur le côté droit de
l'éq. C-6 en utilisant les observations suivantes pour les grandeurs caractéristiques de : Vg ~10
m/s. T~300K, T/z ~ 6K/103m, f~10-4 ,
Donc
Et
T ~ 6K/106m.
V g T 10 6
~
~2 x 10-4
T z 300 10 3
g
10 1 6
T ~
~2 x 10-3
Tf
300 10 4 103
Donc, Ee général dans l’atmosphère, le deuxième terme de l’éq. C-6 est environ un ordre de
grandeur plus grand que le premier terme. On peut donc écrire approximativement :
Vg
z
 kx
g
T
Tf
(C-7)
Cette dernière équation relie donc le gradient horizontal de la température avec la variation du
vent géostrophique avec la hauteur. Un gradient de température dirigé du nord vers l’équateur
donnera un vent géostrophique dirigé de l’ouest vers l’est qui augmente avec la hauteur (Voir la
figure DynC-5 pour l'explication physique).
SCA2625 Dynamique C-9