tp_satellite

TP : Mouvement des satellites en orbite circulaire
Approche empirique de la 3ème loi de Kepler
Satellite géostationnaire
I.
Objectifs
 Utiliser un tableur pour visualiser la trajectoire d'un satellite.
 Retrouver l'expression de la 3ème loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire.
 Retrouver les conditions pour qu'un satellite soit géostationnaire.
II.
Le classeur "Satellite" d'Excel
Il comporte 2 feuilles de calculs programmées : la feuille de calcul "Satellite" et la feuille de
calculs "loi de Kepler".
1- La feuille de calcul "Satellite"
 Les colonnes de la feuille de calcul "Satellite" sont programmées en tenant compte de la
seule force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite.
 Cette feuille comporte deux graphes :
 Dans le premier, les échelles des deux axes s'adaptent à la trajectoire du satellite, ce
qui entraîne parfois une déformation des représentations (les "cercles" ne sont plus
"circulaires"), mais permet de mieux comprendre comment il faut corriger les
conditions initiales.
 Dans le second graphe, les échelles des deux axes sont fixées, de sorte que le
satellite peut sortir du cadre du tracé (un carré de 108 m de coté).
 Dans chacun des graphes figurent deux cercles : un cercle bleu symbolisant la Terre à
l'échelle, et un cercle blanc servant de guide : c'est l'orbite circulaire sur laquelle il va
falloir amener le satellite.
 Enfin, l'orbite du satellite elle-même est calculée par la méthode d'Euler et représentée
en jaune sur le graphe.
 Le but à atteindre sera de superposer la trajectoire du satellite à l'orbite circulaire.
2- La feuille de calcul "loi de Kepler"
 Elle permet d'obtenir la représentation de log(R) en fonction de log(T), après avoir
déterminé quelques couples (T,R) à l'aide de la feuille précédente.
 La courbe de tendance (régression linéaire) se trace et son équation s'affiche dans le
cadre du graphe.
 Seules les colonnes de T et de R sont accessibles, le reste de la feuille est protégé.
III. Simulation avec la feuille de calcul "Satellite":
Kepler.
3ème loi de
1- Satellite en orbite circulaire de rayon R1
a- choix du rayon
Faire le choix du rayon R1 de l'orbite à atteindre, compris entre 6 500 et 100 000 km : cette
valeur de R1 et déterminée par les coordonnées de la position initiale x0 et y0 du satellite par
rapport au centre de la Terre.
Par exemple pour R1 = 20 000 km, on peut choisir x0 = 0 m et y0 = 2 .107 m, valeurs que l'on
rentrera dans les cellules C4 et D4 de la feuille de calcul.
b- choix de la vitesse
Rentrer les composantes du vecteur vitesse initiale : la trajectoire se trace.
Modifier ces composantes jusqu'à ce que la trajectoire , même incomplète, se superpose au
cercle guide. S'aider de la cellule H4 qui donne le pourcentage d'écart par rapport au cercle
Par exemple, initialement, rentrons les valeurs Vx0 = 5000 m.s-1 et Vy0 = 0 m.s-1 dans les
cellules E4 et F4 de la feuille de calcul.
c- choix de l'intervalle de temps t (pas du calcul)
Modifier le pas t dans la cellule G4, jusqu'à obtenir une révolution complète du satellite.
On obtient alors une durée totale qui n'est autre que T1 la période de révolution du satellite
autour de la Terre. S'aider de la cellule I4 qui indique en degré l'écart par rapport à une
révolution complète
2- Orbites circulaires de rayon R2 et R3
Reprendre les points a- b- et c- pour des valeurs différentes du rayon de la trajectoire visée.
Compléter le tableau suivant :
R2=
R3=
R4=
R5=
Rayon R (m) R1=
T
=
T
=
T
=
T
=
T5=
1
2
3
4
Période T (s)
3- Utilisation de la feuille de calcul "loi de Kepler"
 En comparant les valeurs de T et de R on peut constater qu'il n'y a pas proportionnalité .
 Compléter les colonnes T et R et noter l'équation de la droite de régression.
 En déduire l'expression liant directement R et T et déterminer la valeur du coefficient de
proportionnalité ainsi obtenu.
4- Simulation avec la feuille "Satellite" : le satellite géostationnaire
Objectif : déterminer le rayon de l'orbite pour que le satellite soit géostationnaire.
Si le satellite est géostationnaire, il parcourt son orbite dans le même temps que la Terre fait
un tour sur elle même dans un repère géocentrique : Tsidéral = 86164 s
 Calculer le pas de calcul t correspondant et le rentrer dans la feuille de calcul.
Cette fois-ci, T est connue, donc la vitesse initiale vx0 est complètement déterminée lorsque
l'on a choisi R : vx0 = 2. . R / 86164.
 Modifier le contenu de la cellule E4
en rentrant la formule
=2*PI()*RACINE(C4^2+D4^2)/86164 . de telle sorte que la valeur de vx0 se calcule
automatiquement.
 Rechercher la valeur de R (et donc la valeur de vx0) qui permettent au satellite d'être
géostationnaire.
Tous ces résultats seront justifiés en cours.