Les nombres premiers

Travaux dirigés
Les nombres premiers
04-16
SECONDE
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Activité 1: Divisibilité et nombres entiers MODALITE : CALCULATRICE INTERDITE
1) Mettre une croix dans chaque case correspondant à une affirmation vraie.
Divisible par 2
Divisible par 3
Divisible par 4
Divisible par 5
Divisible par 9
Divisible par 11
2556
3597
25422
38720
2800733
36321
2) Démontrer que 2800733 est divisible par 13 et n'est pas divisible par 7. ( On pourra "poser" la division )
3) Décomposer 63000 sous la forme de produits de puissance de 2 , 3 , 5 et de 7.
4) Le nombre 4347 est il divisible par 2? par 3? par 9? Peut on changer les chiffres de place pour le rendre
divisible par 2? par 4? par 5?
5) Divisibilité sans calculatrice
a) Démontrer que 36 543 209 877 est divisible par 37
b) 888 887 est il divisible par 37 ? Justifier
c) Proposer le nombre le plus proche de 888 887 qui soit divisible par 37
Activitév2 : Les nombres premiers
1) Définition des nombres premiers
► N° 35 et 36 page 27
► Déterminer les nombres premiers parmi les entiers suivants : 91 ; 103 ; 141 ; 161 ; 193 ; 221
► Nombres de FERMAT :
Pierre De Fermat ( 1601-1665) pensait que pour tout nombre entier n, le nombre
12 n
2
est premier.
1) Vérifier ce résultat pour n=0 , n=1 , n=2 et n=3 .
2) A l'aide de la calculatrice, vérifier que , pour n=5 , le nombre obtenu est divisible par 641 . Conclure .
► Nombres d' EULER :
Leonhard Euler énonça en 1772 :
" Le nombre n2 + n + 4 1 est premier pour n=0 ,1,2,………………39.
Vérifier cette affirmation pour
12n
► Nombres de MERSENNE :
On nomme ainsi les entiers de la forme
12n
pour n nombre entier , en l'honneur du père Marin Mersenne , qui les étudia
en 1644.
1) Vérifier que ces nombres sont premiers pour n=2 , 3 , 5 , 7 , 13 .
2) Etudier le cas n=11 .
► Nombres premiers jumeaux : ( N° 122 page 32 )
Activité 3 : Décomposition en facteurs premiers
► N° 124 page 32
► a) Décomposer 396 en facteurs premiers .
b) En déduire la liste de tous les diviseurs de 396
► Les nombres parfaits :
Le nombre 6 est dit parfait car il est égal à la somme de ses diviseurs ( autre que lui même )
Montrer que les entiers 28 et 496 sont des nombres parfaits .
► Les nombres amiables
On dit que deux nombres entiers sont amiables si chacun d'eux est égal à la somme des diviseurs stricts de l'autre .
Vérifier que 220 est amiable avec un autre entier .

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A4 : Ordre de grandeur de grands nombres premiers
► N° 117 et 121 page 31
Activité 5 : Thème d'étude : Crible d'ERATOSTENE
L'objectif de ce thème est de déterminer de manière organisée tous les nombres premiers inférieurs à 100
Voici la liste des 100 premiers entiers non nuls.
1
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3
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6
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39
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48
49
50
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56
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58
59
60
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62
63
64
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66
67
68
69
70
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74
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77
78
79
80
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83
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85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
1) les multiples de 2 ne sont pas des nombres premiers. Barrez les !
2) Les multiples de 3 ne le sont pas non plus. Barrez les donc.
3) Itérer le procédé jusqu'à ce qu'il ne reste plus que des nombres premiers.
4) Donner alors la liste des nombres premiers inférieurs à 100