COURS 3EME CHAPITRE 2 :NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. PGCD PAGE 1/4 1 Diviseurs d’un entier naturel Définition a et b étant deux entiers naturels (non nuls), si a = b*c , avec c entier, alors on dit que b est un diviseur de a . ex : 12 = 3 * 4 : 4 et 3 sont des diviseurs de 12 Remarque : 1 n’a qu’un seul diviseur : 1 Les entiers naturels autres que 1 ont au moins deux diviseurs : 1 et eux-mêmes. 2 Diviseurs communs à deux entiers naturels a) Définition Si deux entiers naturels a et b sont divisible par un même entier k, on dit que k est un diviseur commun de a et de b. Ex : 12 = 3 * 4 ; 9 = 3 * 3 3 est un diviseur commun de 12 et de 9 b) Nombres premiers entre eux Deux entiers naturels non nuls sont dits premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur commun. Ex : 15 = 1 * 15 = 3 * 5 16 = 16 * 1 = 4* 4 = 2 * 8 1, 3 , 5, 15 sont les diviseurs de 15 1,2,4,8, 16 sont les diviseurs de 16 1 est le seul diviseur commun de 15 et de 16 : on dit que 15 et 16 sont premiers entre eux. Myriam Tolfo Collège Pierre Matraja (Sausset-Les-Pins) COURS 3EME CHAPITRE 2 :NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. PGCD PAGE 2/4 c)Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels Un diviseur commun à deux entiers naturels a , b non nuls est un diviseur de leur somme, de leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b Ex : a = 77 = 7 * 11 b = 21 = 7 * 3 a + b = 77 + 21 = 7 * (11+ 3) = 7 * 14 a – b =77 – 21 = 7 * (11 – 3 ) = 7 * 8 a = b * 3 + 14 : 14 est le reste de la division euclidienne de a par b et est divisible par 7 3 Plus grand diviseur commun (PGCD) ex : Les diviseurs de 24 sont : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;12 ;24 Les diviseurs de 36 sont : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;9 ;12 ;18 ;36 24 et 36 ont six diviseurs communs : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12 Le plus grand d’entre eux est 12 : c’est le plus grand diviseur commun de 24 et 36. On note PGCD(24 ;36) = 12 a) Propriété 1 Si a est un diviseur de b , alors PGCD (a ;b) = a b) Propriété 2 Le PGCD de a et de b est aussi le PGCD de a et de a-b (pour a>b) Remarque : cette propriété permet de trouver le PGCD par soustractions successives Ex : Déterminer le PGCD de 493 et 377 493 – 377 = 116 377 – 116 = 261 261 – 116 = 145 145 – 116 = 29 116 – 29 = 87 87 – 29 = 58 58-29 = 29 29 – 29 = 0 29 est la dernière différence non nulle de l’algorithme des différences : c’est le plus grand diviseur commun de 493 et 377 Myriam Tolfo Collège Pierre Matraja (Sausset-Les-Pins) COURS 3EME CHAPITRE 2 :NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. PGCD PAGE 3/4 c) Algorithme d’Euclide Ex : Déterminer le PGCD de 261 et 203 Première étape : on effectue la division euclidienne de 261 par 203 On prend ensuite le diviseur et le reste de la division précédente, puis on recommence. On s’arrête lorsque le reste est nul 261 = 203 * 1 + 58 203 = 58 * 3 + 29 58 = 29 * 2 + 0 Dernière étape : le PGCD est le dernier reste non nul. PGCD (261 ;203) = 29 Remarque : avec la calculatrice 2D on tape 261 :R 203 EXE 1 R = 58 s’affiche donc le reste est 58. Avec les autres calculatrices, on tape 261 : 203 = 1,28571 S’affiche donc le quotient entier est 1. On tape 261 – 1 203 = et on trouve le reste 58. 4 Simplification de l’écriture d’un nombre rationnel a) Fraction irréductible Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Ex : la fraction 15/16 est irréductible car 15 et 16 sont premiers entre eux. b) Simplification d’une fraction pour la rendre irréductible En divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur plus grand diviseur commun, on obtient une fraction irréductible. Myriam Tolfo Collège Pierre Matraja (Sausset-Les-Pins) CHAPITRE 2 :NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. PGCD COURS 3EME PAGE 4/4 Exemple : Ecrire Error! sous forme de fraction irréductible. On a vu que PGCD(172 ;129) = 43 Error! = 4 et Error! = 3 donc 172 = 43 4 et 129 = 43 3 donc Error! = Error! = Error! Error! est une fraction irréductible, 4 et 3 sont premiers entre eux : leur PGCD est égal à 1. c) Nombres rationnels ou irrationnels Définition Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a b où a et b sont deux entiers relatifs (b différent de zéro). Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels Myriam Tolfo Collège Pierre Matraja (Sausset-Les-Pins)