2 Diviseurs communs à deux entiers naturels

COURS 3EME CHAPITRE 2 :NOMBRES ENTIERS ET RATIONNELS. PGCD PAGE 1/4
Myriam Tolfo Collège Pierre Matraja (Sausset-Les-Pins)
1 Diviseurs d’un entier naturel
Définition
a et b étant deux entiers naturels (non nuls), si a = b*c , avec c entier, alors on dit que b est un
diviseur de a .
ex : 12 = 3 * 4 : 4 et 3 sont des diviseurs de 12
Remarque : 1 n’a qu’un seul diviseur : 1
Les entiers naturels autres que 1 ont au moins deux diviseurs : 1 et eux-mêmes.
2 Diviseurs communs à deux entiers naturels
a) Définition
Si deux entiers naturels a et b sont divisible par un même entier k, on dit que k est un diviseur
commun de a et de b.
Ex : 12 = 3 * 4 ; 9 = 3 * 3
3 est un diviseur commun de 12 et de 9
b) Nombres premiers entre eux
Deux entiers naturels non nuls sont dits premiers entre eux lorsque 1 est leur seul diviseur
commun.
Ex : 15 = 1 * 15 = 3 * 5
16 = 16 * 1 = 4* 4 = 2 * 8
1, 3 , 5, 15 sont les diviseurs de 15
1,2,4,8, 16 sont les diviseurs de 16
1 est le seul diviseur commun de 15 et de 16 : on dit que 15 et 16 sont premiers entre eux.

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c)Propriétés des diviseurs communs à deux entiers naturels
Un diviseur commun à deux entiers naturels a , b non nuls est un diviseur de leur somme, de
leur différence et du reste r dans la division euclidienne de a par b
Ex : a = 77 = 7 * 11
b = 21 = 7 * 3
a + b = 77 + 21 = 7 * (11+ 3) = 7 * 14
a – b =77 – 21 = 7 * (11 – 3 ) = 7 * 8
a = b * 3 + 14 : 14 est le reste de la division euclidienne de a par b et est divisible par 7
3 Plus grand diviseur commun (PGCD)
ex : Les diviseurs de 24 sont : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;8 ;12 ;24
Les diviseurs de 36 sont : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;9 ;12 ;18 ;36
24 et 36 ont six diviseurs communs : 1 ;2 ;3 ;4 ;6 ;12
Le plus grand d’entre eux est 12 : c’est le plus grand diviseur commun de 24 et 36.
On note PGCD(24 ;36) = 12
a) Propriété 1
Si a est un diviseur de b , alors PGCD (a ;b) = a
b) Propriété 2
Le PGCD de a et de b est aussi le PGCD de a et de a-b (pour a>b)
Remarque : cette propriété permet de trouver le PGCD par soustractions successives
Ex : Déterminer le PGCD de 493 et 377
493 – 377 = 116
377 – 116 = 261
261 – 116 = 145
145 – 116 = 29
116 – 29 = 87
87 – 29 = 58
58-29 = 29
29 – 29 = 0
29 est la dernière différence non nulle de l’algorithme des différences : c’est le plus grand
diviseur commun de 493 et 377

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c) Algorithme d’Euclide
Ex : Déterminer le PGCD de 261 et 203
Première étape : on effectue la division euclidienne de 261 par 203
On prend ensuite le diviseur et le reste de la division précédente, puis on recommence.
On s’arrête lorsque le reste est nul
261 = 203 * 1 + 58
203 = 58 * 3 + 29
58 = 29 * 2 + 0
Dernière étape : le PGCD est le dernier reste non nul.
PGCD (261 ;203) = 29
Remarque : avec la calculatrice 2D on tape 261 :R 203 EXE
1
R = 58
s’affiche donc le reste est 58.
Avec les autres calculatrices, on tape 261 : 203 =
1,28571 S’affiche donc le quotient entier est 1.
On tape 261 – 1  203 = et on trouve le reste 58.
4 Simplification de l’écriture d’un nombre rationnel
a) Fraction irréductible
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre
eux.
Ex : la fraction 15/16 est irréductible car 15 et 16 sont premiers entre eux.
b) Simplification d’une fraction pour la rendre irréductible
En divisant le numérateur et le dénominateur d’une fraction par leur plus grand diviseur
commun, on obtient une fraction irréductible.

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Exemple : Ecrire
Error!
sous forme de fraction irréductible.
On a vu que PGCD(172 ;129) = 43
Error!
= 4 et
Error!
= 3 donc 172 = 43  4 et 129 = 43  3
donc
Error!
=
Error!
=
Error!
Error!
est une fraction irréductible, 4 et 3 sont premiers entre eux : leur PGCD est égal à 1.
c) Nombres rationnels ou irrationnels
Définition
Les nombres rationnels sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme a
b
où a et b sont deux entiers relatifs (b différent de zéro).
Les nombres irrationnels sont les nombres qui ne sont pas rationnels