réponses

Page 1 sur 7
Agrégation Interne 1998
Exercices de Propagation
Corrigé
Exo n°1 : RAS.
Exo n°2 : Indice d’un milieu conducteur.


 r  ² E
E
 o 
1. On obtient : E 
.
c ² t ²
t





2. On a donc : E  Eo . exp j (t  k .r ) , d’où on déduit l’expression des opérateurs différentiels :



 j &    j k . Par substitution dans l’équation de propagation, on obtient la relation de
t
 ²
 ²
 j o  , ou : k ²  r  j o  .
dispersion :  k ²  r
c²
c²
c
3. L’indice de réfraction vérifie la relation de dispersion   k .v  k . , d’où on déduit que :
n
² 
  ²
 
2
2 
r  j
  n1  jn2   n1  jn2   r  j
 d’où le système :
c² 
 o  c²
 o 


. On élimine n1 pour obtenir n2 :
r  n12  n22 & 2n1n2 
o
k² 
2
  
²
2
 conduisant à l’équation bicarrée n24   r n22 
 0 . On ne retient que la
n2   r  
2
2
n


4


²
 2 o 
o
r 
² 
 1  1 
 .
solution positive : n2 
2 2
2 



²
r o 


4. Le vecteur d’onde s’écrit alors : k  k1  jk2  (n1  jn2 ) . On remplace dans l’expression du
c
champ électrique & on obtient :



 


E  Eo .exp j (t  k .r )  Eo . exp j (t  (k1  jk2 ) x)  Eo .ek x exp j (t  k1x) .
2
x
1
c

L’onde s’amortit en e  , & donc :  
.
k2 n2

5. AN :

f = 10 kHz donc, avec  = 2f, on calcule :
que : n2 
r 

2  r o 

4.36.109

 9.104  1, d’où on déduit
4
r o 80.2.10
3.108

 2,5 m .
 40.9.104  1900 puis  
4
2o
1900.2.10
Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation
Page 2 sur 7

f = 50 MHz donc, avec  = 2f, on calcule :
peu limite pour l’approximation : n2 

basses
3.108
26,8.2.5.107

4.36.109

 18 , donnant 324 au carré, un
r o 80.2.5.107
r 

2  r o

 40.18  26,8 puis :
2o
 3,5 cm . Les hautes fréquences sont plus fortement amorties, utiliser des
fréquences pour communiquer dans l’eau.
Exo n°3 : Câble coaxial.
v
i
v
 Go .v  Co .
(1)
soit :
t
x
t
i
v
i
  Ro .i  Lo .
(2)
Loi des mailles : v( x, t )  i( x  dx, t )  i( x, t ) Ro .dx  Lo .dx
soit :
t
x
t
1. Loi des nœuds : i ( x, t )  i ( x  dx, t )  v( x, t )Go .dx  Co .dx
v
 ²v
v
 ²v
  (1)   ²i
  (1)   ²i
 Go .  Co .
 Go .  Co .
2. On calcule : 
puis 
& de même :
:
:
x
tx
t
t ²
 x  x ²
 t  xt
i
 ²i
i
 ²i
  (2)   ²v
  (2)   ²v
  Ro .  Lo .
  Ro .  Lo .
puis 
. Par élimination, on obtient :

:
:
x
tx
t
t ²
 x  x ²
 t  xt
 ²i
i 
 ²i
i 


 Go . Ro .i  Lo   Co . Lo
 Ro  & de même :
x ²
t 
t ²
t 


 ²v
v 
 ²v
v 


  Ro . Gov  Co   Lo . Co
 Go  ce qui fournit les équations des télégraphistes :
x ²
t 
t ²
t 


 ²i
 ²i
i
 ²v
 ²v
v
 Co Lo
 Go Ro i  RoCo  LoGo  &
 Co Lo
 Go Ro v  RoCo  LoGo 
x ²
t ²
t
x ²
t ²
t
3. Dans le cas d’une ligne sans pertes (Ro = 0 & Go = 0), il reste :
 ²i
 ²i
 ²v
 ²v
 Co Lo
0 &
 Co Lo
 0 . On reconnaît l’équation d’onde de d’Alembert, & donc la
x ²
t ²
x ²
t ²
vitesse des ondes vérifie :
1
1
V² 

 c ² , résultat logique pour une ligne sans pertes.
LoCo oo
4. Pour une onde plane progressive se déplaçant vers les x > 0, & vérifiant la condition initiale, on a :
i ( x, t )  I o .e j (t  kx) & de même : v( x, t )  Vo .e j (t  kx) . Pour une ligne sans pertes, les équations (1) &
(2) deviennent :
i
v
v
i
 Co .
(1' ) &
  Lo .
(2' ) . En reportant, on obtient :
x
t
x
t
V
k
L
 o . Avec la relation de
 jkIo  Co ( jVo ) &  jkVo   Lo ( jI o ) ce qui donne : o 
I o Co
k
1
dispersion   kc & l’expression de la vitesse c 
, on obtient pour l’impédance caractéristique
LoCo
Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation
Page 3 sur 7
V
Lo
1 o
b
du câble : z C  o 

.Ln . Pour une onde se propageant dans l’autre sens, on aurait
Io
Co 2 o
a
(le courant se retournant) : v( x, t )   z C . i( x, t ) .
1
2,3
4.10736109 .Ln
 60Ln 2,3  50 
AN : z C 
2
1
5. Compte tenu de la remarque précédente, la traduction de l’impédance caractéristique s’écrit :

  z I .e

v( x, t )  z C .ii ( x, t )  z C .i r ( x, t ) , soit : v( x, t )  z C I o .e j (t  kx)  I 'o .e j (t  kx) .
A l’extrémité de la ligne, la loi d’Ohm donne :

v( X , t )  z.i( X , t )  z I o .e j (t  kX )  I 'o .e j (t  kX )
que :
C o
j (t  kX )

 I 'o .e j (t  kX ) , d’où l’on déduit
zC  z Io .e j (t kX )  z  zC I 'o .e j (t  kX ) . Le facteur de réflexion pour les amplitudes est défini, pour
les courants, par la relation : rI 
rV 
V r ( X ,t)
V i ( X ,t)

I'
 o 
I i ( X ,t)
Io
I r ( X ,t)
zC  z
zC  z
& pour les tensions, par la relation :
 z C I o'
 rI . Le facteur de réflexion pour les énergies R est défini par le rapport des
z C Io
énergies incidente & réfléchie, qui sont des fonctions quadratiques des courants ou des intensités, donc R
= r². Cas particuliers :




z = 0 : le câble est court-circuité à son extrémité. Alors rI = - rV = 1, & R = 1. La réflexion de
l’énergie est totale.
z ->  : le câble est en circuit ouvert à son extrémité. Alors rI = - rV = - 1, & R = 1. La réflexion de
l’énergie est encore totale.
z imaginaire pure : il n’y a pas de consommation de puissance à l’extrémité de la ligne, donc ici
encore R = 1.
z = zC : alors rI = rV = 0, donc R = 0. Il n’y a pas d’énergie réfléchie, toute l’énergie de l’onde
incidente est absorbée au bout de la ligne : c’est l’adaptation d’impédance.
1
1
Loi ²  Cov ² . La puissance est
2
2
donnée par : P (x, t) = i (x, t).v (x, t). On écrit un bilan de puissance sur une tranche dx de câble :
6. L’énergie est contenue dans l’inductance & la capacité, donc : u 
P ( x, t )  P ( x  dx, t ) 

(u.dx) d’où :
t
P u

 0 On reconnaît l’équation de continuité de
x t
l’énergie. Vérification :
  x
x 
x
 x


i ( x, t )  f  t    g  t   & v( x, t )  z C  f  t    g  t   d’où on déduit que :
 c
 c
 c 
  c
L
1
1
u  Lo  f  g 2  Co zC2  f  g 2 . Or : Co zC2  Co o  Lo donc u  Lo ( f ²  g ²) soit :
2
2
Co
u
 2 Lo ( ff ' gg ' ) . De la définition de P (x, t), on déduit que :
t

P
2z
 1
 1 
P ( x, t )  ( f  g ) zC ( f  g )  zC ( f ²  g ²) donc
 zC 2 ff '     2 gg '     C ( ff ' gg ' )
x
c
 c
 c 

Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation
Page 4 sur 7
z
Avec C 
c
Lo
LoCo  Lo , on retrouve bien l’équation de continuité de l’énergie.
Co
Exo n°4 : Corde vibrante.
On isole un élément de corde situé entre les abscisses x & x + dx.


On appelle T ( x) & T ( x  dx) les tensions aux deux extrémités
de l’élément. On écrit la relation fondamentale de la dynamique
(sans le poids) en projection :


0  T ( x  dx, t ) . cos ( x  dx, t )  T ( x, t ) . cos ( x, t )
car x
ne varie pas ;
dx


² y
 T ( x  dx, t ) . sin ( x  dx, t )  T ( x, t ) . sin ( x, t ) .
t ²
A l’ordre 1, cos  1 & la norme de la tension est constante, &
donc égale à F à l’extrémité. Théorème des accroissements finis sur la deuxième équation :
dx
² y
y

 F ( x  dx, t )  ( x, t )  F .dx
  d’où l’équation de d’Alembert :
, or Tan  
t ²
x
x
² y 1 ² y
F

 0 , avec V 
.
x ² V ² t ²

Exo n°5 : Ondes sonores dans les fluides.

1. Dans l’étude générale du mouvement d’un fluide, on a 6 inconnues c , P, , T  qui dépendent des 4
variables ( x, y, z, t ) . Elles sont déterminées par les 6 équations suivantes : équation vectorielle d’Euler,
& 3 équations scalaires : continuité de la masse, équation d’état du fluide, invariant du processus
thermodynamique. On s’intéresse à l’aspect mécanique du problème, & donc on ignorera la variable
thermodynamique T. Les équations déterminant l’évolution d’un fluide parcouru par des ondes sonores
sont dans ces conditions :


c
 1  v 



 Div(c )  0 (1),   (c .Grad )c   Grad P (2),  s 
 
t
t
v  P  S
(3)
L’équation (1) est une équation de continuité traduisant la conservation de la masse. L’équation (2) est




 c
une forme de l’équation d’Euler :    (c .Grad )c    Grad P  g , avec l’hypothèse suivante :
 t

on néglige le poids du fluide, car s’il n’était pas nul, il serait compensé par la poussée d’Archimède,
résultante des forces de pression non nulle seulement s’il y a variation de pression (d’autre part, en règle
générale, le mouvement du fluide aura lieu suivant une direction orthogonale au champ de pesanteur).
L’équation (3) traduit l’invariant du processus thermodynamique, donc isentropique.
A l’ordre 1, on obtient donc :



 
( o  1 )


 Div ( o  1 ) 0  c1  1   o Divc1  0 (4)
t
t


 (c1 ) 
c1

 o  1 
 c1 .Grad c1   Grad ( Po  P1 )   o
  Grad P1 (5)
t
t
0


Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation
Page 5 sur 7
s 
1   
1
  
  P  S  o  1
 1 
1 1
  
 1   o  s P1
P

P
 1 S
o 1
(6)
2. Pour obtenir l’équation de propagation de la pression, on prend la divergence de l’équation (5) :

Div c1   Div(Grad P1 )  P1 . En utilisant les équations (4) & (5), & en remarquant qu’à
t

P

l’ordre 1, l’équation (6) montre que le coefficient s est constant :  o Div c1   1   o  s 1 ,
t
t
1  ² P1
1
 0 , avec c s 
on obtient l’équation cherchée : P1 
. Pour un gaz parfait :
o s
c s2 t ²
o
Pv   cste pour une isentropique. On prend la différentielle logarithmique :
déduit :  s 
dP
dv

 0 , d’où on
P
v
1 P
 1  v 
1  v 1
, o  
& donc : c s  rT , c’est la formule de

  
v rT
v  P  S
v P P
Laplace.
Avec le formalisme de l’onde plane :
j o c1  jkP1  j



 j,    jk ,   k .c s , l’équation (5) devient :
t

P1  P1   o c s c1 .
cs
3. On isole un élément de surface dS à l’intérieur du fluide. Alors la puissance élémentaire dP associée


à la force élémentaire dF est donnée par : dP  dF .c1  P1c1 .dS , & donc la puissance sonore



traversant une surface S vaut : P     .dS , & apparaît comme le flux du vecteur   P1c1 .
S

Comme en électromagnétisme, on calcule la divergence du vecteur  :



Div P1c1   P1 .Div (c1 )  c1 .Grad P1 . En utilisant les équations précédentes, on obtient :


 1 1   
c1 
  c1 .   o
Div   P1  
.
t 

  o t 
Avec 1   o  s P1 , on obtient :
  1
1
1
1

Div     o c12   s P12   0  u   o c12   s P12 , densité d’énergie.
t  2
2
2
2

1
On en déduit que l’énergie cinétique volumique vaut e c   o c12 , & l’énergie potentielle volumique
2
1
vaut : e p   s P12 .
2
Exo n°6 : Impédance acoustique.
1. Théorème de Bernoulli en x o & x o : même z, la vitesse est continue, la masse volumique aussi,
d'où continuité de la pression. On peut aussi traduire l’équilibre d’un piston situé en xo. La continuité du
débit volumique Dv suppose le fluide incompressible, ce qui suppose réalisée l’une des deux conditions
Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation
Page 6 sur 7
suivantes : v  c s ou L   : c’est donc le cas. La section étant variable, on doit raisonner sur le
débit volumique & non pas, comme d’habitude, sur la vitesse.

v

  Grad P s’écrit j c  ( jk ) P  j
P en régime sinusoïdal, soit
2. L’équation d’Euler 
t
cs
P  .c s v  Z .v , & on retrouve la définition d’une impédance : cause (surpression) divisée par effet
(vitesse du fluide mis en mouvement). On vérifie que pour une onde réfléchie, le changement de signe
de la vitesse implique un changement de signe de l’impédance. D’après la relation précédente, si P est
solution de l’équation de d’Alembert, la vitesse aussi, & on peut écrire :
v1  f1 ( x  c s1t )  g1 ( x  c s1t ) & P1  1c s1v1 dans le milieu 1, & dans le milieu 2 on a :
v 2  f 2 ( x  c s 2 t ) & P2   2 c s 2 v 2 . Alors on traduit les conditions aux limites en xo :
continuité du débit volumique : Dv1  Dv 2  S1v1  S 2 v 2  S1  f1  g1   S 2 f 2
continuité de la pression : P1  P2  1c s1v1   2 c s 2 v 2  1c s1  f1  g1    2 c s 2 f 2
f  g1
1  rD
 Z1
On fait le rapport des équations : Z 2  Z 1 1
, d’où on déduit :
f1  g1
1  rD
Z  Z2
S g
g
rD  1
  r p , où rD  1 1  1 est le facteur de réflexion défini pour les débits & rp
Z1  Z 2
S1 f 1
f1
celui pour les surpressions (changement de signe dû à l’onde réfléchie). Calcul du facteur de
transmission pour les débits t D 
tD 
S2 f2
: la première relation donne : 1  rD  t D , soit :
S1 f 1
2Z1
. Calcul du facteur de transmission pour les surpressions :
Z1  Z 2
2Z 2
 c f
S Z f
Z
.
t p  2 s 2 2  2 2 2  2 t D , soit aussi : t p 
Z1  Z 2
1c s1 f1
S1 Z1 f1 Z1


3. La puissance acoustique traversant une surface S est donnée par le flux du vecteur   Pv , soit la
quantité :   S  PvS  PDv . Le facteur de réflexion pour les énergies est donc donné par la
2
 Z1  Z 2 
 . Le facteur de
relation (le signe provenant de l’onde réfléchie) : R  rD r p  
Z

Z
 1
2
4Z1 Z 2
transmission est donné par (pas de changement de signe) : T  t D t p 
. On vérifie que
2
Z 1  Z 2 
l’on a : R + T = 1, ce qui traduit la conservation de l’énergie.
4. Les deux conduites contenant le même fluide, on a : 1   2 , c s1  c s 2 d’où :
2
Z1 S 2

, d’où les
Z 2 S1
4 S1 S 2
 S  S2 
 & T 
valeurs des facteurs : R   1
. Cas particuliers :
2
S

S
 S1  S 2 
 1
2
 Si S 2  0 : R  1, T  0 . Le débit de sortie est nul, il ne sort rien, tout est réfléchi. Alors
Z 2   , c’est l’équivalent une ligne en sortie ouverte.
Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation

Page 7 sur 7
Si S 2   : R  1, T  0 . Le surpression en sortie est nulle (pour conserver une puissance
finie), il ne sort rien, tout est réfléchi. Alors Z 2  0 , c’est l’équivalent une ligne en court-circuit.
L’adaptation d’impédance dans le cas d’un seul fluide correspond donc à S1 = S2, & le facteur de
transmission devient rapidement très faible si les deux sections diffèrent beaucoup. Dans un pavillon
acoustique, on doit donc réaliser une croissance de la section (pour compenser les pertes d’énergie &
maintenir le flux  constant) faible mais régulière (pour réaliser localement l’adaptation d’impédance) :
c’est la cas du pavillon exponentiel.
Agreg Interne 98 Corrigé Exos Propagation