MÉCANIQUE DES FLUIDES ( ), ( ), ( ) ( ) ( )

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ψ 2013-2014 page 1/4 Devoir n°4
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MÉCANIQUE DES FLUIDES
Partie I
É TUDE D ' UNE CANALISATION DOMESTIQUE D ' AMENEE D ' EAU .
On étudie un écoulement incompressible, laminaire et en régime permanent d'eau li-
quide dans un tube cylindrique d'axe horizontal Oz et de diamètre D. On note ρ sa masse volumique
et η sa viscosité dynamique, supposées constantes.
On néglige l'effet de la pesanteur. On rappelle que la densité volumique des forces de
viscosité s'écrit :
V
f v
= η∆
.
I-1-a) Quelle(s) hypothèse(s) nous conduit (conduisent) à chercher l'expression de sous la
forme
(
)
,
z
v v r z e
= ?
b) Rappeler l'équation locale de conservation de la masse. En déduire que la vitesse
(
)
,
v r z
ne dépend pas de z. On la notera donc
(
)
v r
par la suite.
I-2) Par application de l'équation de Navier-Stokes :
( )
( )
grad grad
v
v v P g v
t
∂
ρ + ρ ⋅ = − + µ + η∆
∂
 :
a) Montrer que la pression P ne dépend pas de r,
b) Montrer que la fonction
(
)
v r
vérifie l'équation différentielle :
(
)
dv r
d
r K
r dr dr
η
=
  , où K est une constante supposée connue.
c) En remarquant que
(
)
v r
reste finie et en précisant une autre condition aux limites,
déterminer l'expression de
(
)
v r
en fonction de K, ρ, r et D. Quel est le signe de K lorsque v > 0 ?
d) Déterminer l'expression du débit volumique, noté Q
V
, en fonction de K, ρ et D.
e) À quelle distance r de l'axe la vitesse est-elle maximale ? En notant v
0
cette vitesse
maximale, exprimer v
0
en fonction de Q
V
et D.
I-3) Le nombre de Reynolds est défini comme le quotient de deux termes de même dimen-
sion.
a) Comment se nomment ces deux termes ? Préciser l'expression du nombre de Re-
ynolds en fonction de ρ, D, η et Q
V
. On admettra que la vitesse caractéristique de l'écoulement
correspond à la vitesse moyenne
V
2
4
Q
U
D
=
π
.
b) Application numérique : évaluer le débit maximal Q
V,MAX
et la valeur maximale
de v
0
correspondante, notée v
0,MAX
, pour que l'écoulement de l'eau dans notre canalisation de dia-
mètre D = 0,05 m reste laminaire. Conclure.
Partie II
É COULEMENT DANS UN CANAL
On considère l'écoulement stationnaire, supposé incompressible, d'eau liquide assimilable à
un fluide parfait, dans un canal rectiligne de section rectangulaire. La base de ce canal se situe dans
le plan horizontal Oxy. Sa hauteur h = 50 cm est constante selon z.
II-1) Ce canal subit localement un brusque rétrécissement, sa largeur passe de L
1
= 50cm à
L
2
= 2L
1
/3 = 33cm.
La figure 1 représente les lignes de courant de l'écoulement, de part et d'autre du ré-
trécissement.

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a) Au vu de la figure 1, comparer
(
)
v J
,
(
)
v K
,
(
)
v A
et
(
)
v C
.
b) La vitesse au point A, mesurée par un tube de Pitot est de 0,5 m⋅s
–1
. Déterminer le
débit volumique dans la canalisation. En déduire la vitesse
(
)
v C
.
II-2) Un tube de Pitot (figure 2), de diamètre d = 1 cm, est plongé dans le fluide en écoule-
ment dont on veut évaluer la vitesse locale U. Il possède deux ouvertures. L'une, située au point M,
est parallèle à l'écoulement du fluide. L'autre, située au point N, est perpendiculaire à cet écoule-
ment. Par construction du capteur, les points M et N ont quasiment la même altitude. Ces deux ou-
vertures sont reliées par un tube vertical contenant un autre fluide, statique, plus dense, de masse
volumique r0, de sorte qu'on puisse évaluer la différence de pression entre les points M et N, qui est
une image de la vitesse U à déterminer.
a) Rappeler l'équation de Bernoulli en précisant bien ses hypothèses d'application.
b) Que peut-on dire de la vitesse au point M, notée
(
)
v M
? En assimilant l'eau à un
fluide parfait, en déduire la vitesse U de l'écoulement en fonction de la masse volumique ρ et de la
différence de pression
(
)
(
)
P P M P N
∆ = − entre les points M et N.
c) Exprimer la différence de pression
(
)
(
)
P P M P N
∆ = − en fonction de h, ρ
0
, ρ et
g.
d) En déduire l'expression de la vitesse U en fonction de h, ρ
0
, ρ et g.
e) Calculer le nombre de Reynolds au niveau du tube de Pitot, situé à l'entrée du ca-
nal de largeur L
1
. Que pensez-vous de la validité de la mesure de la vitesse au point A ?
II-3) La largeur L du canal est maintenant supposée uniforme et la vitesse v uniforme et
constante sur toute une section droite du canal. À un instant donné, le canal est obturé à un endroit
par une paroi verticale. Une vague (appelé ressaut hydraulique) remonte alors le canal à la vitesse w
mesurée dans le référentiel terrestre.
y
x
L
2
= 2L
1
/3
L
1
A
•
B
•
K
•
I
•
J
•
•
D
•
C
figure 1
v
S
1
hS
2 h’
(S)
w
x
M
N
h
Écoulement
de vitesse
U
fluide de masse volumique
ρ
fluide dense de masse
volumique ρ
0
> ρ
figure 2

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La hauteur d’eau en amont du ressaut est h et la vitesse du courant est v. En aval du ressaut,
la hauteur d’eau est h’ constante et la vitesse du fluide est nulle.
On étudie dans le référentiel terrestre, supposé galiléen, le système fermé (S) formé du fluide
contenu à l’instant t dans la surface délimitée par les sections (en pointillés sur le dessin) amont S
1
et S
2
. On supposera que l’on peut encore calculer les forces de pression dues à la colonne d’eau
comprise entre S
2
et la paroi. Pour simplifier, on supposera que le front de la vague est vertical.
III-1-a) En traduisant la conservation de la masse du système (S) entre les instant t et t + dt,
établir une relation entre v, w, h et h’.
b) Faire un dessin du système (S) à l’instant t et à l’instant t + dt. On pourra griser ou
hachurer le fluide déplacé. En déduire la variation de la composante horizontale de la quantité de
mouvement du système (S) pendant la durée dt. On montrera qu’elle s’écrit sous la forme
(
)
( )
1
,
dp t
Lh f v w
dt
= − ρ × où
(
)
1
,
f v w
est une fonction de v et w que l’on explicitera. On rappelle
que la vitesse v du fluide est nulle entre le front de la vague et le mur.
III-2-a) La pression étant P
0
sur la surface de l’eau en écoulement, calculer, en fonction de la
profondeur, la pression qui règne dans l’eau, en appliquant, en le justifiant rapidement, la relation
fondamentale de la statique des fluides.
b) Soit une paroi rectangulaire plongée verticalement dans l’eau, de largeur L et de
hauteur h. Calculer la résultante des forces de pression s’exerçant sur la face amont de cette paroi.
Exprimer le résultat en fonction de L, h, ρ, P
0
et g. On pourra introduire un vecteur
n
normal à la
paroi que l’on exprimera en fonction du vecteur unitaire
x
e
de l’axe (Ox).
c) Que vaut la résultante des forces de pression sur la section gauche S
1
de (S) ?
Même question pour la section droite S
2
de (S) et pour le front de vague qui est supposé vertical. En
déduire l’expression de la résultante des forces extérieures s’appliquant sur (S), en fonction de ρ, g,
L, h et h’.
d) En déduire alors que
( ) ( )
2
1
, '
2
h v w v g f h h
+ = × , où f
2
est une fonction de h et h’
que l’on précisera.
e) Déduire des relations obtenues en 3.a et 3.f la célérité w de la vague en fonction de
g, h et h’.
Partie III
ECOULEMENT AUTOUR D ’ UN CYLINDRE
On place un cylindre de rayon R et d’axe ∆ perpendiculaire à l’écoulement du canal. Suffi-
samment loin du cylindre, la vitesse de l’écoulement est uniforme. Dans ce cas, on choisit une base
cartésienne telle que
0
x
v v e
= (avec v
0
> 0).
III-1) On admet que le potentiel des vitesses de l’écoulement, exprimée dans la base polaire
d’origine O sur l’axe ∆ telle que θ est l’angle
(
)
,
x r
e e
, est
( , ) cos( )
B
r Ar r
ϕ θ = + θ
où A et B sont
des constantes. Il vérifie
(
)
gradv
= ϕ
.
a) Établir l’expression des composantes
(
)
,
r
v r
θ
et
(
)
,
v r
θ
θ
de
v
dans la base po-
laire considérée. En déduire l’équation des lignes de courant.
b) En étudiant les conditions aux limites de
v
, exprimer A et B à l’aide de v
0
et R.
III-2) Le cylindre est mis en rotation autour de son axe ∆, correspondant à l’axe Oz.
a) On montre que dans la base polaire indiquée, le potentiel des vitesses devient
( ) ( )
2
0
, cos
2
R
r v r r
Γ θ
ϕ θ = + θ +
π
où Γ est une constante. Déterminer les composantes de la vitesse
du fluide en un point quelconque du cylindre.

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b) Calculer
(
)
div
v
. Conclure.
III-3) On note P
0
la pression qui règne dans le fluide en un point très éloigné du cylindre. On
néglige les effets de la pesanteur.
a) Déterminer la pression exercée par le fluide en un point quelconque du cylindre.
b) En déduire la résultante des forces de pression exercée par le fluide sur le cylindre.
Conclure
$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$
Formulaire
(
)
(
)
(
)
(
)
rot rot grad div
A A A
= − ∆
D ANS LA BASE CYLINDRIQUE
(
)
, ,
r z
e e e
θ
( )
(
)
(
)
(
)
Z
, , , , , ,
1
grad
r
f r z f r z f r z
f e e e
r r z
θ
∂ θ ∂ θ ∂ θ
= + +
∂ ∂θ ∂
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
z
, ,
, , , ,
1 1
div
r
rA r z
A r z A r z
A
r r r z
θ
∂ θ ∂ θ ∂ θ
= + +
∂ ∂θ ∂
( )
(
)
(
)
1 1
rot
z r z r
r z
rA rA
A A A A
A e e e
r z z r r r
θ θ
θ
∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
= − + − + −
∂θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂θ
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2 2
, , , , , ,
1 1
f r z f r z f r z
f r
r r r r z
∂ θ ∂ θ ∂ θ
∂
∆ = + +
∂ ∂ ∂θ ∂
( )
(
)
( )
(
)
[ ]
2 2
, , , ,
1 1
, , 2 , , 2
r
r z
r r z
A r z A r z
A A A r z e A A r z e A e
r r
θθ
θ θ
∂ θ ∂ θ   
∆ = ∆ − θ + + ∆ − θ − + ∆
∂θ ∂θ
Données numériques et constantes physiques.
Masse volumique de l'eau liquide : 103 kg⋅m–3.
Viscosité de l'eau liquide : 1,7×10–3 Pa⋅s.
Quelques ordres de grandeurs :
Valeur critique du nombre de Reynolds : 2300.
Débit maximal d'une canalisation domestique : 5 m3⋅h–1.
Débit usuel d'une canalisation domestique : 200 L⋅h–1.