TERMINALE S4 : devoir n° 1

TERMINALE S4 : devoir n° 1
EXERCICE 1
Pour tout nombre complexe z , on pose :
P(z) = z3 - ( 16 - i ) z2 + ( 89 - 16i ) z + 89 i
a ) Calculer P ( -i )
b )Démontrer qu’il existe 3 nombres réels a , p , q tels que :
pour tout z complexe : P ( z ) = ( z + i ) ( z2 + p z + q )
c ) Résoudre dans C l’équation P (z ) = 0
on appelle z1 et z2 les deux solutions conjuguées ; la partie imaginaire de z1 est positive.
d ) A , B et C sont les points du plan ayant pour affixes respectives -i , z1 et z2.
Quelle est la nature du triangle ABC ?
EXERCICE 2
a ) Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexes :
z=-1-i
et
3i
z = - 1+
z1
. Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z .
z2
7
7
c) En déduire cos
et sin
.
12
12
b ) Soit Z =
EXERCICE 3
Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( unité : 2 cm )
On désigne par A , B et C les points du plan ayant pour affixes respectives :
z=4+
5
i
2
,
z=4-
5
i
2
et z = 2 +
3
i
2
a ) Placer les points A , B et C . Quelle est la nature du triangle ABC ?
b ) E désigne l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie la relation :
z 4 =
5
2
- les points A , B et C sont-ils des points de E ?
-donner une interprétation géométrique de z  4 en utilisant le point  d’affixe 4 .
-quelle est la nature de E ? tracer E .
c ) F désigne l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie la relation :
5
3
z 4 i = z 2 i
2
2
-quelle est la nature de F ? tracer F .
EXERCICE 4
Soient z un nombre complexe ( z  1 ) et Z le nombre complexe défini par :
Z=
z 1
z 1
Dans le plan complexe , on désigne par M le point d’affixe z et par M’ le point d’affixe Z.
a )Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z .(on prendra z = x + y i )
b) Déterminer l’ensemble D des points M tels que Z soit un nombre réel et tracer D .
c) Déterminer l’ensemble C des points M tels que Z soit un imaginaire pur et tracer C.
d ) Déterminer l’ensemble G des points M tels que les points M et M’ soient alignés avec le point O ,
origine du repère du plan complexe .Tracer G.
TERMINALE S 4 : DEVOIR 1 DU SECOND TRIMESTRE
EXERCICE 1:
Dans une urne, il y a 7 boules: 3 blanches et 4 vertes
1) On tire au hasard et simultanément 3 boules. Quelle est la probabilité d’obtenir:
a) 2 boules blanches et 1 boule verte?
b) 3 boules de même couleur?
c) Au moins une boule blanche?
2) Mêmes questions qu’au 1) mais on tire les boules une par une en remettant la boule tirée dans
l’urne après chaque tirage.
EXERCICE 2 :
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O ; Error! ; Error! ) (unité graphique 4
cm)
On note A le point d’affixe zA = - 1 + i. Soit f l’application définie sur C - { zA } par:
2z-i
f ( z ) =z + 1 - i
1. On pose z = x + i y où x et y sont réels .
a ) Déterminer Re( z ) et Im( z ) en fonction de x et de y.
b ) Déterminer et construire l’ensemble E des points M d’affixe z telle que f ( z ) soit réel.
c ) Déterminer et construire l’ensemble F des points M d’affixe z telle que f ( z ) soit imaginaire pur.
i
1 5
2. Soit B le point d’affixe zB =2 et C le point d’affixe zC = - 4 + 4 i.
a ) Vérifier que B appartient à E et à F et que C appartient à F. Placer B et C sur la figure.
zA - zC
b ) Ecrire z - z sous forme trigonométrique.
B
C
c ) Quelle est la nature du triangle ABC ?
PROBLEME :
On considère la fonction f dé finie sur IR par : f ( x ) =
2x
x2 + 2
C est la courbe représentative de f dans un repère orthonormé (O ; Error! ; Error! ) (unité : 2 cm
)
1 )Montrer que C admet O comme centre de symétrie. Sur quel intervalle va-t-on étudier f ?
2 ) Etudier les variations de f.
3 ) Etudier Error!f ( x ) .Qu’en déduit-on ?
4 ) Dresser le tableau de variation de f sur IR.
5 ) Donner l’équation de la tangente T à C à l’origine.
6 ) Etudier la position relative de C et de T .
7 ) Tracer C ( la tangente T devra figurer sur le graphique )
8 ) Montrer que f est une bijection de IR vers un intervalle I à déterminer. En déduire le nombre de
solution(s) de l’équation f ( x ) = m ,suivant les valeurs du paramètre réel m.
9 ) On considère A , l’aire de la portion de plan définie par : 0  x 3 et 0  y  f ( x )
a ) Hachurer la portion du plan définie ci-dessus
b ) Calculer A.
terminale S : bac blanc
exercice 1
20 passagers attendent le train ;il y a 3 voyageurs de première classe dont 1 fumeur et il y a 15 non
fumeurs.
1) Quel est le nombre de voyageurs non fumeurs de seconde classe ?
2) On prend au hasard 4 personnes, quelle est la probabilité d’obtenir:
a) 4 fumeurs ?
b) 2 voyageurs de première classe exactement ?
c) au moins un fumeur ?
d) un fumeur exactement et un voyageur de première classe exactement ?
les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles
3) Le train entre en gare. Il est vide. Il y a 1 wagon de première classe qui comporte 30 places dont
10 places fumeurs et 1 wagon de seconde classe qui comporte 40 places dont 10 places fumeurs.
Chaque passager va s’asseoir à une place correspondant à sa catégorie. Combien ont-ils de
façons différentes de s’installer?
(le résultat sera donné sous forme d’un quotient de factorielles ou d’un produit de nombres entiers)
exercice 2
(pour les élèves n’ayant pas la spécialité mathématiques)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ; Error! ; Error! ).
1) Montrez que tout nombre complexe z vérifie la relation:
8 z4 + 8 z3 - z - 1 = ( z + 1 ) ( 2 z - 1 ) ( 4 z2 + 2 z + 1 ).
En utilisant ce résultat , résolvez dans C l’équation : 8 z4 + 8 z3 - z - 1 = 0.
2) On note z0 la solution réelle négative de l’équation précédente, z1 la solution réelle positive, z2 la
solution de partie imaginaire positive, z3 la solution de partie imaginaire négative.
A0 , A1 , A2 , A3 sont les images respectives de z0 , z1 ,z2 , z 3.
a) Ecrivez z2 et z 3 sous forme trigonométrique et placez les points A0 , A1 , A2 , A3 très
précisément dans le repère (O ; Error! ; Error! )
Démontrez que A0 A2A1 A3 est un losange .
z2
z2
b) Montrez que le module de z est égal à 1 et calculez un argument de z .
3
3
Interprétez géométriquement ce résultat.
- 2
c) Quelles sont les images de A1 et A2 par la rotation de centre O et d’angle 3 ?
Que pouvez vous en déduire pour le triangle A1 A2 A3 ?
problème


Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + par :
3
x2
3
f ( 0 ) =2 et f (x) = 2 x ln x - 2 - x + 2 pour x > 0.
(ln désigne le logarithme népérien )
L’objet du problème est l’étude de f et l’encadrement d’une aire .
A. Etude d’une fonction auxiliaire et de ses zéros .


Soit g la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + par : g ( x ) = 2 ln x - x + 1
1) Déterminer les limites en 0 et en +de g. Etudier les variations de g .

2) Démontrer que l’équation g ( x ) = 0 admet sur l’intervalle 0 ; +


En déduire le signe de g sur l’intervalle 0 ; + .
3) A l’aide d’une calculatrice vérifier que : 3,5    4.
 deux solutions : 1 et .
B. Etude de f.
1) soit f’ la fonction dérivée de f. Vérifier que f’ = g.


Etudier les variations de f sur 0 ; + .
2) Déterminer la limite de f en +.
3) a)Montrer que f est continue en 0.
f(x)-f(0)
b)Calculer la limite de
lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
x
Que peut-on en conclure?


4) a)Démontrer que l’équation f ( x ) = 0 admet sur l’intervalle
0 ; + deux solutions 1 et .
b)Justifier les inégalités : 5    6
5) La tangente D à la courbe C au point d’abscisse 5 a pour équation y = h ( x ).


a)Calculer h ( x ) et étudier les variations de la fonction  définie sur 5 ; + par :
 ( x ) = f ( x ) - h ( x ) (on pourra calculer ’’(x) et remarquer que ’(5)=0 )
En déduire que pour x  5 on a f ( x )  h ( x )
b)Soit  l’abscisse du point d’intersection de D et de l’axe Ox. Calculer  et prouver que   .
6) Rassembler dans un tableau les résultats obtenus sur f. Tracer la droite D et la courbe C
représentative de f dans un repère orthonormal d’unité 2 centimètres.
C. Un encadrement.


Soit F la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + par :
x3
3
1
F ( x ) = x2 ln x - 6 - x2 + 2 x - 3
1) Vérifier que F est sur l’intervalle
b
2) On pose A =
f ( x ) dx
1
a)Montrer que : F ( 5 )  A .
 0 ; +  la primitive de f qui s’annule au point 1.
(1)
b
b)Montrer que : A  F ( 5 ) + 
h ( t ) dt
5
v
Prouver que 
h ( t ) dt  0.
b
v
En déduire l’inégalité A  F ( 5 ) + 
h ( t ) dt
(2)
5
c)Donner une interprétation géométrique des inégalités ( 1 ) et ( 2 ).
3) Donner un encadrement de A à 10-2 près.
Terminales S 1 et S 2
Exercice un
Calculer : A = ( 1 + i )111
On le calculera sous forme trigonométrique et algébrique.
Exercice deux
Démontrer que l’équation : z3 - (16-i )z2 + (89-16i )z + 89i = 0 admet dans C
I une racine imaginaire pure.
Factoriser alors le premier membre de l’équation, puis la résoudre dans C.
I
Exercice trois
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé direct (O, Error!,Error!) on considère les points A ,B,C d’affixes
2 + 4 3 2+4
respectives : zA = 2 + 2i zB = 4 + 3i zC =
+i
.
2
2
Démontrer que le triangle ABC est isocèle.
Déterminer une mesure de A.
Exercice quatre ( uniquement pour les non spécialistes en mathématiques)
Déterminer l’ensemble des points M du plan complexe dont l’affixe z vérifie :
-a
z z + 2( z + Error!) + 3 = 0
-b
Arg( z - 3i) = 
2
Exercice quatre ( uniquement pour les spécialistes en mathématiques . Les élèves de T S2 le rédigeront sur une
feuille séparée qu’ils rendront à part )
-a Démontrer que pour tout entier naturel n , A = 8n3 - 2n est un multiple de 2 et de 3.
-b Déterminer le reste de la division euclidienne de 1235 par 5.