exercice 1
20 passagers attendent le train ;il y a 3 voyageurs de première classe dont 1 fumeur et il y a 15 non
fumeurs.
1) Quel est le nombre de voyageurs non fumeurs de seconde classe ?
2) On prend au hasard 4 personnes, quelle est la probabilité d’obtenir:
a) 4 fumeurs ?
b) 2 voyageurs de première classe exactement ?
c) au moins un fumeur ?
d) un fumeur exactement et un voyageur de première classe exactement ?
les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles
3) Le train entre en gare. Il est vide. Il y a 1 wagon de première classe qui comporte 30 places dont
10 places fumeurs et 1 wagon de seconde classe qui comporte 40 places dont 10 places fumeurs.
Chaque passager va s’asseoir à une place correspondant à sa catégorie. Combien ont-ils de
façons différentes de s’installer?
(le résultat sera donné sous forme d’un quotient de factorielles ou d’un produit de nombres entiers)
exercice 2
(pour les élèves n’ayant pas la spécialité mathématiques)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O ;
;
).
1) Montrez que tout nombre complexe z vérifie la relation:
8 z4 + 8 z3 - z - 1 = ( z + 1 ) ( 2 z - 1 ) ( 4 z2 + 2 z + 1 ).
En utilisant ce résultat , résolvez dans C l’équation : 8 z4 + 8 z3 - z - 1 = 0.
2) On note z0 la solution réelle négative de l’équation précédente, z1 la solution réelle positive, z2 la
solution de partie imaginaire positive, z3 la solution de partie imaginaire négative.
A0 , A1 , A2 , A3 sont les images respectives de z0 , z1 ,z2 , z 3.
a) Ecrivez z2 et z 3 sous forme trigonométrique et placez les points A0 , A1 , A2 , A3 très
précisément dans le repère (O ;
;
)
Démontrez que A0 A2A1 A3 est un losange .
b) Montrez que le module de z2
z 3 est égal à 1 et calculez un argument de z2
z 3 .
Interprétez géométriquement ce résultat.
c) Quelles sont les images de A1 et A2 par la rotation de centre O et d’angle - 2
3 ?
Que pouvez vous en déduire pour le triangle A1 A2 A3 ?
problème
Soit f la fonction définie sur l’intervalle 0 ; + par :
f ( 0 ) =3
2 et f (x) = 2 x ln x - x2
2 - x + 3
2 pour x > 0.
(ln désigne le logarithme népérien )
L’objet du problème est l’étude de f et l’encadrement d’une aire .
A. Etude d’une fonction auxiliaire et de ses zéros .
Soit g la fonction définie sur l’intervalle0 ; + par : g ( x ) = 2 ln x - x + 1
1) Déterminer les limites en 0 et en +de g. Etudier les variations de g .
2) Démontrer que l’équation g ( x ) = 0 admet sur l’intervalle0 ; + deux solutions : 1 et .
En déduire le signe de g sur l’intervalle0 ; + .
3) A l’aide d’une calculatrice vérifier que : 3,5 4.