Cours de mathématiques de quatrième

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Cours de mathématiques de quatrième
Bertrand Carry

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SOMMAIRE
1. Proportionnalité ...................................................................................................................... 1
1.1 Rappels ............................................................................................................................. 1
1.1.1 Premier exemple : .................................................................................................. 1
1.1.2 Deuxième exemple : ................................................................................................ 1
1.2 Pourcentage, exemples ..................................................................................................... 2
1.2.1 Appliquer un pourcentage : .................................................................................... 2
1.2.2 Trouver un pourcentage : ....................................................................................... 2
1.3 Distance, vitesse, temps ................................................................................................... 2
1.4 Echelle de carte, de plan ................................................................................................... 2
1.5 Représentation graphique ................................................................................................. 3
1.5.1 A partir d’un tableau de proportionnalité : ........................................................... 3
1.5.2 A partir de points alignés avec l’origine : ............................................................. 4
2. Droite des milieux .................................................................................................................. 5
2.1 Théorème 1 ....................................................................................................................... 5
2.2 Théorème 2 ....................................................................................................................... 6
3. Produit, quotient de nombres relatifs ..................................................................................... 7
3.1 Rappel : addition, soustraction ......................................................................................... 7
3.2.Produit .............................................................................................................................. 7
3.3.Quotient ............................................................................................................................ 7
4. Théorème de Pythagore .......................................................................................................... 9
5. Cercle inscrit dans un triangle .............................................................................................. 10
5.1 Distance d'un point à une droite ..................................................................................... 10
5.2 Tangente à un cercle ....................................................................................................... 11
5.3 Bissectrices ..................................................................................................................... 12
5.3.1 Bissectrice d’un angle : ........................................................................................ 12
5.3.2 Bissectrice d’un triangle : .................................................................................... 13
5.3.3 Propriété : ............................................................................................................ 13
6. Quotients .............................................................................................................................. 14
6.1 Quotients égaux .............................................................................................................. 14
6.2 Produits en croix (ou en diagonale) égaux ..................................................................... 14
6.2.1Propriété : ............................................................................................................. 14
6.2.2Propriété réciproque : ........................................................................................... 14
6.2.3Application à la proportionnalité : ....................................................................... 14
6.3 Somme et différence de quotients .................................................................................. 15
6.4 Produit de quotients ........................................................................................................ 16
6.5 Inverse d’un nombre non nul ......................................................................................... 16
7. Réciproque du théorème de Pythagore ................................................................................. 18
8. Pyramide ............................................................................................................................... 19
8.1 Vue en perspective cavalière .......................................................................................... 19
8.2 Patron ............................................................................................................................. 20
8.3 Volume ........................................................................................................................... 21
9. Exemples de puissances entières .......................................................................................... 22
9.1 Puissances de 3 ............................................................................................................... 22
9.1.1 Exposant entier naturel : ...................................................................................... 22

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9.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : ......................................................... 22
9.2 Autres puissances ........................................................................................................... 23
9.3 Quelques calculs ............................................................................................................. 23
9.4.1 Exemples : ............................................................................................................ 24
9.4.2 Quelques calculs : ................................................................................................ 24
9.4.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal : ........................................................ 24
10. Calcul littéral ...................................................................................................................... 25
10.1 Développement ............................................................................................................. 25
10.1.1 Rappel : .............................................................................................................. 25
10.1.2 Conséquence : .................................................................................................... 25
10.2 Parenthèses ................................................................................................................... 25
10.2.1 Opposé d’une somme : ....................................................................................... 25
10.2.2 Soustraction : ..................................................................................................... 26
11. Théorème de Thalès ........................................................................................................... 27
12. Cône de révolution ............................................................................................................. 28
12.1 Le cône de révolution ................................................................................................... 28
12.2 Perspective cavalière .................................................................................................... 28
12.3 Patron ........................................................................................................................... 29
12.4 Volume ......................................................................................................................... 30
13. Cosinus d’un angle aigu ..................................................................................................... 31
13.1 Définition ..................................................................................................................... 31
13.2 Cas du triangle rectangle .............................................................................................. 32
14. Triangle rectangle et cercle ................................................................................................ 33
15. Equations ............................................................................................................................ 35
15.1 Techniques ................................................................................................................... 35
15.2 Exemple de résolution .................................................................................................. 35
16. Statistiques ......................................................................................................................... 37
16.1 Exemple 1 ..................................................................................................................... 37
16.2 Exemple 2 ..................................................................................................................... 37
17. Comparaisons de nombres ................................................................................................. 39
17.1 Nombres positifs ou négatifs ........................................................................................ 39
17.2 Symboles ...................................................................................................................... 39
17.3 Addition ........................................................................................................................ 40
17.4 Multiplication par un nombre strictement positif ......................................................... 40
17.5 Multiplication par un nombre strictement négatif ........................................................ 41
17.6 Troncatures de nombres positifs .................................................................................. 42
17.7 Arrondis de nombres positifs ....................................................................................... 43
17.8 Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs ............................. 44

Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième
Page 1
1. Proportionnalité
1.1 Rappels
1.1.1 Premier exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
Nombre y
2
0,4
3
0,6
5,1
1,02
8,7
1,74
Chaque nombre y s’obtient en multipliant le nombre x correspondant par 0,2. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
1.1.2 Deuxième exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
3
4,1
10,2
80
92
Nombre y
0,75
1,025
2,55
20
23
Chaque nombre y s’obtient en divisant le nombre x correspondant par 4. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
 4
 0,2

Cours chapitre 1 : proportionnalité niveau quatrième
Page 2
Remarque : Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
2
3
5
7
Nombre y
10
15
26
35
2  5 = 10 et 5  5  26. Ce tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité. Les
nombres x et y ne sont pas proportionnels.
1.2 Pourcentage, exemples
1.2.1 Appliquer un pourcentage :
35% de 2800 personnes correspond à
100
35
 2800 personnes, soit 980 personnes.
1.2.2 Trouver un pourcentage :
252 lapins parmi 649 correspond à (
649
252
 100) % des lapins ou environ 39% des lapins.
1.3 Distance, vitesse, temps
Considérons un objet qui se déplace à vitesse constante v pendant un temps t.
La distance parcourue est notée d. les unités choisies sont cohérentes.
d = v t
Remarques :
 Avec les notations ci-dessus, on peut écrire : v =
t
d
et t =
v
d
.
 Considérons un objet qui se déplace sur une distance d pendant un temps t.
La vitesse moyenne correspondante de cet objet est le quotient
t
d
.
1.4 Echelle de carte, de plan
Sur une carte routière on lit : échelle
200000
1
.
Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à 200 000 cm (2 km) dans la réalité ou
que 1 mm sur la carte correspond à 200 000 mm dans la réalité ou
que 1 pouce sur la carte correspond à 200 000 pouces dans la réalité, etc.