Cours de mathématiques de quatrième

Cours de mathématiques de quatrième
Bertrand Carry
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SOMMAIRE
1. Proportionnalité ...................................................................................................................... 1
1.1 Rappels ............................................................................................................................. 1
1.1.1 Premier exemple : .................................................................................................. 1
1.1.2 Deuxième exemple : ................................................................................................ 1
1.2 Pourcentage, exemples ..................................................................................................... 2
1.2.1 Appliquer un pourcentage : .................................................................................... 2
1.2.2 Trouver un pourcentage : ....................................................................................... 2
1.3 Distance, vitesse, temps ................................................................................................... 2
1.4 Echelle de carte, de plan ................................................................................................... 2
1.5 Représentation graphique ................................................................................................. 3
1.5.1 A partir d’un tableau de proportionnalité : ........................................................... 3
1.5.2 A partir de points alignés avec l’origine : ............................................................. 4
2. Droite des milieux .................................................................................................................. 5
2.1 Théorème 1 ....................................................................................................................... 5
2.2 Théorème 2 ....................................................................................................................... 6
3. Produit, quotient de nombres relatifs ..................................................................................... 7
3.1 Rappel : addition, soustraction ......................................................................................... 7
3.2.Produit .............................................................................................................................. 7
3.3.Quotient ............................................................................................................................ 7
4. Théorème de Pythagore .......................................................................................................... 9
5. Cercle inscrit dans un triangle .............................................................................................. 10
5.1 Distance d'un point à une droite ..................................................................................... 10
5.2 Tangente à un cercle ....................................................................................................... 11
5.3 Bissectrices ..................................................................................................................... 12
5.3.1 Bissectrice d’un angle : ........................................................................................ 12
5.3.2 Bissectrice d’un triangle : .................................................................................... 13
5.3.3 Propriété : ............................................................................................................ 13
6. Quotients .............................................................................................................................. 14
6.1 Quotients égaux .............................................................................................................. 14
6.2 Produits en croix (ou en diagonale) égaux ..................................................................... 14
6.2.1Propriété : ............................................................................................................. 14
6.2.2Propriété réciproque : ........................................................................................... 14
6.2.3Application à la proportionnalité : ....................................................................... 14
6.3 Somme et différence de quotients .................................................................................. 15
6.4 Produit de quotients ........................................................................................................ 16
6.5 Inverse d’un nombre non nul ......................................................................................... 16
7. Réciproque du théorème de Pythagore ................................................................................. 18
8. Pyramide............................................................................................................................... 19
8.1 Vue en perspective cavalière .......................................................................................... 19
8.2 Patron ............................................................................................................................. 20
8.3 Volume ........................................................................................................................... 21
9. Exemples de puissances entières .......................................................................................... 22
9.1 Puissances de 3 ............................................................................................................... 22
9.1.1 Exposant entier naturel : ...................................................................................... 22
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9.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif : ......................................................... 22
9.2 Autres puissances ........................................................................................................... 23
9.3 Quelques calculs ............................................................................................................. 23
9.4.1 Exemples : ............................................................................................................ 24
9.4.2 Quelques calculs : ................................................................................................ 24
9.4.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal : ........................................................ 24
10. Calcul littéral ...................................................................................................................... 25
10.1 Développement ............................................................................................................. 25
10.1.1 Rappel : .............................................................................................................. 25
10.1.2 Conséquence : .................................................................................................... 25
10.2 Parenthèses ................................................................................................................... 25
10.2.1 Opposé d’une somme : ....................................................................................... 25
10.2.2 Soustraction : ..................................................................................................... 26
11. Théorème de Thalès ........................................................................................................... 27
12. Cône de révolution ............................................................................................................. 28
12.1 Le cône de révolution ................................................................................................... 28
12.2 Perspective cavalière .................................................................................................... 28
12.3 Patron ........................................................................................................................... 29
12.4 Volume ......................................................................................................................... 30
13. Cosinus d’un angle aigu ..................................................................................................... 31
13.1 Définition ..................................................................................................................... 31
13.2 Cas du triangle rectangle .............................................................................................. 32
14. Triangle rectangle et cercle ................................................................................................ 33
15. Equations ............................................................................................................................ 35
15.1 Techniques ................................................................................................................... 35
15.2 Exemple de résolution .................................................................................................. 35
16. Statistiques ......................................................................................................................... 37
16.1 Exemple 1 ..................................................................................................................... 37
16.2 Exemple 2 ..................................................................................................................... 37
17. Comparaisons de nombres ................................................................................................. 39
17.1 Nombres positifs ou négatifs ........................................................................................ 39
17.2 Symboles ...................................................................................................................... 39
17.3 Addition ........................................................................................................................ 40
17.4 Multiplication par un nombre strictement positif ......................................................... 40
17.5 Multiplication par un nombre strictement négatif ........................................................ 41
17.6 Troncatures de nombres positifs .................................................................................. 42
17.7 Arrondis de nombres positifs ....................................................................................... 43
17.8 Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs ............................. 44
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Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
1. Proportionnalité
1.1 Rappels
1.1.1 Premier exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
Nombre y
2
0,4
3
0,6
5,1
1,02
8,7
1,74
 0,2
Chaque nombre y s’obtient en multipliant le nombre x correspondant par 0,2. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
1.1.2 Deuxième exemple :
Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
3
4,1
10,2
80
92
4
Nombre y
0,75
1,025
2,55
20
23
Chaque nombre y s’obtient en divisant le nombre x correspondant par 4. Ce tableau est donc un tableau de
proportionnalité. Les nombres x et y sont proportionnels.
Page 1
Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
Remarque : Considérons le tableau de nombres suivant :
Nombre x
2
3
5
7
Nombre y
10
15
26
35
2  5 = 10 et 5  5  26. Ce tableau n’est donc pas un tableau de proportionnalité. Les
nombres x et y ne sont pas proportionnels.
1.2 Pourcentage, exemples
1.2.1 Appliquer un pourcentage :
35% de 2800 personnes correspond à
35
 2800 personnes, soit 980 personnes.
100
1.2.2 Trouver un pourcentage :
252 lapins parmi 649 correspond à (
252
 100) % des lapins ou environ 39% des lapins.
649
1.3 Distance, vitesse, temps
Considérons un objet qui se déplace à vitesse constante v pendant un temps t.
La distance parcourue est notée d. les unités choisies sont cohérentes.
d=vt
Remarques :
d
d
et t = .
t
v
 Considérons un objet qui se déplace sur une distance d pendant un temps t.
d
La vitesse moyenne correspondante de cet objet est le quotient .
t
 Avec les notations ci-dessus, on peut écrire : v =
1.4 Echelle de carte, de plan
1
.
200000
Cela signifie que 1 cm sur la carte correspond à 200 000 cm (2 km) dans la réalité ou
que 1 mm sur la carte correspond à 200 000 mm dans la réalité ou
que 1 pouce sur la carte correspond à 200 000 pouces dans la réalité, etc.
Sur une carte routière on lit : échelle
Page 2
Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
Sur la carte deux villes sont distantes de 8,5 cm. Dans la réalité elles sont donc distantes de
8,5  2 km, soit 17 km.
Une échelle de carte, de plan, est souvent donnée sous la forme suivante :
distance sur le plan
distance réelle correspondante dans la même unité
et on simplifie, si possible, l'écriture de la fraction afin que le numérateur soit égal à 1.
1.5 Représentation graphique
1.5.1 A partir d’un tableau de proportionnalité :
Considérons un tableau de proportionnalité :
Nombre x
Nombre y
-----
Soit P un plan muni d’un repère (O, I, J). Considérons tous les points de coordonnées (x,y).
On admet que tous ces points sont alignés et de plus qu’ils sont alignés avec l’origine O du
repère.
Nombre x Nombre y
2
6
3,5
10,5
8
24
12
36
Points de coordonnées (x,y)
y 40
35
30
25
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
x
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Cours
chapitre 1 : proportionnalité
niveau quatrième
1.5.2 A partir de points alignés avec l’origine :
Dans un plan P muni d’un repère (O, I, J), considérons des points de coordonnées (x,y)
alignés avec l’origine O du repère (la droite contenant ces points n’étant pas confondue avec
la droite des ordonnées).
Les nombres x et y sont alors proportionnels.
y
C
B
A
o
x
Page 4
Cours
chapitre 2 : droite des milieux
niveau quatrième
2. Droite des milieux
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
2.1 Théorème 1
Soit ABC un triangle, I et J les milieux respectifs des segments de droites [AB] et [AC].
Alors la droite (IJ) est parallèle à la droite (BC) et on peut écrire : IJ =
1
BC.
2
A
I
J
ABC est un triangle
I est le milieu de [AB]
J est le milieu de [AC]
B
C
Page 5
Cours
chapitre 2 : droite des milieux
niveau quatrième
2.2 Théorème 2
Soit EFG un triangle, K est le milieu du segment de droite [EF].
Alors la droite parallèle à la droite (FG) et contenant K, coupe le segment de droite [EG] en
son milieu.
E
K
d
F
G
EFG est un triangle
K est le milieu de [EF]
d est parallèle à (FG)
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Cours
chapitre 3 : produit, quotient de nombres relatifs
niveau quatrième
3. Produit, quotient de nombres relatifs
3.1 Rappel : addition, soustraction
En cinquième nous avons utilisé l’addition et la soustraction de nombres relatifs :
-62 + 47 = -15 ; -8 + (-17) = -25 ; 106 + (-49) = 57
-9 – 38 = -47 ; -20 – (-50) = 30 ; -62 – (-7) = -55
Remarques :
 Quels que soient les nombres a et b on peut écrire : a – b = a + (-b).
-b est l’opposé de b.
 Sur la calculatrice on distingue deux touches :
- pour la soustraction
(-) pour l’opposé d’un nombre.
3.2.Produit
Le produit de deux nombres positifs est positif.
Le produit de deux nombres négatifs est positif.
Le produit d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif.
Exemples :
3,2  8 = 25,6
-5  (-2,2) = 11
-0,1  56,3 = -5,63
8,3  (-6) = -49,8
3.3.Quotient
Le quotient de deux nombres positifs est positif.
Le quotient de deux nombres négatifs est positif.
Le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif est négatif.
Exemples :
3
= 1,5
2
 17
= 8,5
2
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Cours
chapitre 3 : produit, quotient de nombres relatifs
niveau quatrième
3
= -0,75
4
2
= -0,4
5
Remarques :
 Quel que soit le nombre a non nul on peut écrire : a 
1
=1
a
1
est appelé inverse de a.
a
1
est l’inverse de 3
3
1
- est l’inverse de -8
8
3
4
est l’inverse de
4
3
5
7
- est l’inverse de
7
5
 Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre b non nul, on peut écrire :
a
1
=a .
b
b
5
1
= (-5) 
6
6
Page 8
Cours
chapitre 4 : théorème de Pythagore
niveau quatrième
4. Théorème de Pythagore
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
Soit ABC un triangle rectangle en A :
AB2 + AC2 = BC2
B
BC2 est la longueur au carré de l’hypoténuse
du triangle rectangle.
C
A
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Cours
chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle
niveau quatrième
5. Cercle inscrit dans un triangle
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
5.1 Distance d'un point à une droite
Considérons une droite d et un point A.
La droite contenant A et perpendiculaire à d coupe d en H.
La distance AH est appelée distance du point A à la droite d. H est appelé projeté orthogonal
de A sur d.
Premier cas :
Ad
d
A
H
d
Deuxième cas :
Ad
Dans ce
cas, AH =0
A
H
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Cours
chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle
niveau quatrième
5.2 Tangente à un cercle
Soit C un cercle de centre O et A un point de ce cercle.
La tangente au cercle C en A est la droite T perpendiculaire à la droite (OA) et contenant A.
A
C
T
O
On dit aussi que le cercle C est tangent à la droite T en A.
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Cours
chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle
niveau quatrième
5.3 Bissectrices
5.3.1 Bissectrice d’un angle :
La bissectrice d’un angle est la droite (ou demi-droite) qui partage cet angle en deux angles
adjacents de même mesure. C’est un axe de symétrie de l’angle.
d
La droite d est la bissectrice de l’angle AOB.
Remarques :
 Tout point M de la bissectrice d’un angle AOB est équidistant des droites (OA) et
(OB).
 Considérons un angle AOB et un point K, distinct de O, équidistant des droites (OA)
et (OB). Alors la droite (OK) est la bissectrice de l’angle AOB.
Page 12
Cours
chapitre 5 : cercle inscrit dans un triangle
niveau quatrième
5.3.2 Bissectrice d’un triangle :
Une bissectrice d’un triangle est la bissectrice d’un des angles intérieurs du triangle.
La droite d, bissectrice de l’angle FGE, est
la bissectrice du triangle EGF issue de G.
5.3.3 Propriété :
Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle
inscrit dans le triangle.
G
E
I
Les bissectrices du triangle EFG sont
concourantes en I qui est le centre du cercle
inscrit dans le triangle.
F
De plus les droites (EF), (EG) et (GF) sont tangentes à ce cercle.
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Cours
chapitre 6 : quotients
niveau quatrième
6. Quotients
6.1 Quotients égaux
Soit a un nombre et b un nombre non nul. Quel que soit le nombre non nul k, on peut écrire :
a
ak
=
.
b
bk
Exemples :
3
4
 12 3
=
;
=
2
2
7
21
6.2 Produits en croix (ou en diagonale) égaux
6.2.1Propriété :
Soit a, b, c et d quatre nombres vérifiant : c  0 et d  0.
Si
a
c
= , alors ad = bc.
b
d
6.2.2Propriété réciproque :
Soit a, b, c et d quatre nombres vérifiant : c  0 et d  0.
Si ad = bc, alors
a
c
= .
b
d
6.2.3Application à la proportionnalité :
Considérons un tableau de proportionnalité :
Liste 1
Liste 2
a
b
c
d
Alors on peut écrire : ad = bc.
Considérons un tableau de nombres non nuls :
Liste 1 a
c
Liste 2 b
d
Si ad = bc, alors ce tableau est un tableau de proportionnalité.
Page 14
Cours
chapitre 6 : quotients
niveau quatrième
6.3 Somme et différence de quotients
Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on désire
a
c
effectuer la somme ou la différence des quotients
et
. Pour cela on choisit deux
b
d
a
c
x
y
quotients de même dénominateur,
et , égaux respectivement à
et
.
b
d
f
f
Dans ce cas, on peut écrire :

a
c
x
y
+
=
+
b
d
f
f
a
c
x y
+
=
b
d
f

a c
x y
=
b d
f f
a c
x y
=
b d
f
Exemples :
3
 8 15
2
+ =
+
4
20
20
5
 8  15
=
20
7
=
20
1 5
7 15
- =
3 7
21 21
7  15
=
21
8
=
21
Page 15
Cours
chapitre 6 : quotients
niveau quatrième
6.4 Produit de quotients
Quels que soient les nombres a et c et quels que soient les nombres non nuls b et d, on peut
écrire :
a
ac
c

=
.
b
bd
d
Exemples :
3
8
 3 8

=
5
7
5 7
 24
=
35
7
5
14
 15


=
13
11
39
22
7  ( 5)
=
13  11
 35
=
143
6.5 Inverse d’un nombre non nul
Quel que soit le nombre non nul b, l’inverse de b est le nombre qui multiplié par b égale 1.
1
L’inverse de b peut se noter .
b
1
b
=1
b
Exemples :
L’inverse de 5 est
L’inverse de
1
.
5
3
4
est
.
4
3
Remarque :
Quel que soit le nombre a et quel que soit le nombre non nul b, on peut écrire :
a
1
=a 
.
b
b
Page 16
Cours
chapitre 6 : quotients
niveau quatrième
6.6 Quotient de quotients
Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b, c et d, on peut écrire :
a
b = a  d
c
b
c
d
ad
=
bc
Cas particuliers :
Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls b et c, on peut écrire :
a
b = a
bc
c
Quel que soit le nombre a et quels que soient les nombres non nuls c et d, on peut écrire :
ad
a
=
c
c
d
Exemples :
2
5 = 2  4
3
5
3
4
 2 4
=
53
8
=
15
2
5 = 2
18 5  18
1
=
59
1
=
45
 7  11
7
=
3
3
11
 77
=
3
Page 17
Cours
chapitre 7 : réciproque du théorème de Pythagore
niveau quatrième
7. Réciproque du théorème de Pythagore
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
Soit RST un triangle. Si RT2 = RS2 + ST2, alors RST est rectangle en S.
Page 18
Cours
chapitre 8 : pyramides
niveau quatrième
8. Pyramide
E est l’espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l’unité d’aire correspondante et
l’unité de volume correspondante.
8.1 Vue en perspective cavalière
Voici deux vues en perspective cavalière d’une même pyramide SABCD. La base de
cette pyramide est le quadrilatère ABCD. Le sommet principal est le point S. Les faces
latérales sont les quatre triangles : SAB, SBC, SCD et SDA.
B
C
S
D
A
S
A
D
B
C
Page 19
Cours
chapitre 8 : pyramides
niveau quatrième
Remarques :
 Une pyramide a pour base un polygone : triangle, quadrilatère, pentagone, hexagone,
etc. Les autres faces, appelées faces latérales, sont des triangles ayant un sommet
commun appelé sommet principal de la pyramide.
 Une pyramide qui a pour base un triangle est appelée tétraèdre. Ses faces latérales sont
aussi des triangles.
E
EFG peut être considéré comme
une base (parmi les quatre
possibles) de ce tétraèdre. Dans ce
cas, le sommet principal de la
pyramide est le point K.
K
F
G
8.2 Patron
Un patron d’une pyramide est formé à l’aide du polygone de base et des triangles
correspondant aux faces latérales.
A
Patron de la pyramide
SABCD du paragraphe
précédent.
D
B
C
Page 20
Cours
chapitre 8 : pyramides
niveau quatrième
8.3 Volume
Pour calculer le volume d’une pyramide, on a besoin de connaître sa hauteur.
Considérons la pyramide SABCD ci-dessous.
La droite (SH) est perpendiculaire à deux droites sécantes incluses dans le plan (ABC). Elle
est donc perpendiculaire au plan (ABC). H est élément de ce plan (ABC).
SH est appelé hauteur de la pyramide.
S
C
B
D
H
(ABC)
A
Le volume de toute pyramide est égal à :
1
 aire de la base  hauteur
3
Page 21
Cours
chapitre 9 : exemples de puissances entières
niveau quatrième
9. Exemples de puissances entières
9.1 Puissances de 3
9.1.1 Exposant entier naturel :
Considérons le nombre 3 :
3o = 1
31 = 3
32 = 3  3
=9
33 = 3  3  3
= 27
34 = 3  3  3  3
= 81
etc.
Soit n un entier naturel.
 3n se lit « 3 exposant n ».
 3n est une puissance de 3. n est l’exposant.
9.1.2 Exposant entier relatif strictement négatif :
Considérons encore le nombre 3 :
1
3-1 =
3
1
3-2 = 2
3
1
3-3 = 3
3
1
3-4 = 4
3
etc.
Comme ci-dessus, soit p un entier relatif strictement négatif.
 3p se lit « 3 exposant p ».
 3p est une puissance de 3. p est l’exposant.
Page 22
Cours
chapitre 9 : exemples de puissances entières
niveau quatrième
9.2 Autres puissances
23 = 2  2  2
23 = 8
On lit « 2 exposant 3 égale 8 ». 8 est une puissance de deux.
1
42
1
4-2 =
16
4-2 =
On lit « 4 exposant -2 égale
1
1
».
est une puissance de quatre.
16
16
(-5)3 = -5  (-5)  (-5)
(-5)3 = -125
(0,2)4 = 0,2  0,2  0,2  0,2
(0,2)4 = 0,001 6
9.3 Quelques calculs
23  25 = (2  2  2)  (2  2  2  2  2 )
= 28
3 3
32
=
37 3  3  3  3  3  3  3
1
= 5
3
= 3-5
(6  7)3 = (6  7)  (6  7)  (6  7)
= (6  6  6)  (7  7 7 )
= 63  73
Page 23
Cours
chapitre 9 : exemples de puissances entières
niveau quatrième
9.4 Puissances entières de 10
9.4.1 Exemples :
… 10 = 0,001 ; 10-2 = 0,01 ; 10-1 = 0,1 ; 100 = 1 ; 101 = 10 ; 102 = 100 ; 103 = 1000
…
-3
9.4.2 Quelques calculs :
(103)2 = (103)  (103)
= 106
105  102 = 107
1
= 10-3
10 3
9.4.3 Ecriture scientifique d’un nombre décimal :
Tout nombre décimal strictement positif peut s’écrire sous forme scientifique, c’est-à-dire
sous la forme a  10n, où a est un nombre décimal dont la partie entière est supérieure ou
égale à 1 et inférieure ou égale à 9 et n est un entier relatif.
Tout nombre décimal a strictement négatif peut aussi s’écrire sous forme scientifique en
prenant l’opposé de l’écriture scientifique du nombre décimal strictement positif –a.
Exemples :
125, 3 = 1,253  102
0,214 = 2,14  10-1
4,08 = 4,08  100
-0,0024 = -2,4  10-3
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chapitre 10 : calcul littéral
niveau quatrième
10. Calcul littéral
10.1 Développement
10.1.1 Rappel :
k, a et b désignent des nombres :
k(a + b) = ka + kb
10.1.2 Conséquence :
a, b, c et d désignent des nombres :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Exemples :
x désigne un nombre, développer l’expression suivante : (x + 3)( 2x + 5).
(x + 3)( 2x + 5) = x  2x + x  5 + 3  2x + 3  5
= 2x2 + 5x + 6x + 15
= 2x2 + 11x + 15
t désigne un nombre, développer l’expression suivante : (5t - 8)( 3t + 2).
(5t - 8)( 3t + 2) = 5t  3t + 5t  2 + (-8)  3t + (-8)  2
= 15t2 + 10t – 24t – 16
= 15t2 – 14t – 16
10.2 Parenthèses
10.2.1 Opposé d’une somme :
a et b désignent des nombres : l’opposé de a +b est -a – b.
-(a + b) = -a – b
Exemple :
a désigne un nombre : -( 3a2 – 6a + 8) = - 3a2 + 6a – 8
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Cours
chapitre 10 : calcul littéral
niveau quatrième
10.2.2 Soustraction :
m, x et y désignent des nombres :
m – (x + y) = m – x – y
Exemple :
n désigne un nombre : 3n – ( -5n2 +7n – 3) = 3n + 5n2 – 7n + 3
= 5n2 – 4n + 3
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chapitre 11 : théorème de Thalès
niveau quatrième
11. Théorème de Thalès
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
ABC est un triangle
M  [AB] et M  A
N  [AC] et N  A
(MN) // (BC)
D’après le théorème de Thalès on peut écrire :
AM AN AM MN
=
et
=
.
AB AC AB BC
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chapitre 12 : cône de révolution
niveau quatrième
12. Cône de révolution
E est l’espace. Une unité de longueur est choisie ainsi que l’unité d’aire correspondante et
l’unité de volume correspondante.
12.1 Le cône de révolution
Considérons une plaque rigide en forme de triangle ABC rectangle en A. On fait tourner ce
triangle à une vitesse suffisamment élevée autour de l'axe (AC). L'œil humain perçoit alors un
solide de l'espace appelé cône de révolution.
C
A
B
12.2 Perspective cavalière
Voici une représentation en perspective cavalière d'un cône :
Le disque de base est schématisé par
une ellipse.
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chapitre 12 : cône de révolution
niveau quatrième
12.3 Patron
Le patron d'un cône de révolution est constitué d'un disque (base) et d'une partie de disque
(enveloppe latérale).
Ces deux longueurs sont égales
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chapitre 12 : cône de révolution
niveau quatrième
12.4 Volume
Le volume V d'un cône de révolution s'obtient en utilisant la même formule que celle utilisée
pour le volume d'une pyramide :
1
V =  aire de base  hauteur
3
S
La droite (SA) est perpendiculaire à deux droites
sécantes incluses dans le plan contenant le disque
de base du cône ; elle est donc perpendiculaire au
plan contenant cette base .
SA est appelé hauteur du cône.
A
Si r est le rayon de base du cône, alors son volume V égale
1 2
 r SA.
3
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chapitre 13 : cosinus d’un angle aigu
niveau quatrième
13. Cosinus d’un angle aigu
P est un plan, une unité de longueur est choisie.
13.1 Définition
Considérons un angle aigu xOy.
y
x
Soit A et B deux points, distincts, de la demi-droite ]Ox).
Les droites perpendiculaires à la droite (AB) en, respectivement, A et B, coupent la demidroite [Oy) en, respectivement, M et N.
OA
OB
OA
Les rapports
et
sont égaux. Le nombre
est appelé cosinus de l’angle aigu
OM
ON
OM
OA
xOy et on note : cos xOy =
.
OM
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chapitre 13 : cosinus d’un angle aigu
niveau quatrième
13.2 Cas du triangle rectangle
côté opposé à l’angle
EGF
hypoténuse
côté adjacent à l’angle EGF
EFG est un triangle rectangle en E.
cos EGF =
EG
FG
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chapitre 14 : triangle rectangle et cercle circonscrit
niveau quatrième
14. Triangle rectangle et cercle
P est un plan.
Tout triangle ABM, inscrit dans un cercle (ou demi-cercle) de diamètre [AB], est rectangle en
M.
B
A
M
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chapitre 14 : triangle rectangle et cercle circonscrit
niveau quatrième
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de son hypoténuse (côté
opposé à l’angle droit).
G
I
E
F
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chapitre 15 : équations
niveau quatrième
15. Equations
15.1 Techniques
Soit A et B deux nombres :
Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A + C = B + C.
On peut ajouter un même nombre à chaque membre d’une égalité.
Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A – C = B – C.
On peut soustraire un même nombre à chaque membre d’une égalité.
Si A = B, alors quel que soit le nombre C on a : A  C = B  C.
On peut multiplier chaque membre d’une égalité par un même nombre.
A
B
Si A = B, alors quel que soit le nombre non nul C on a :
= .
C
C
On peut diviser chaque membre d’une égalité par un même nombre non nul.
15.2 Exemple de résolution
Résolvons l’équation suivante, d’inconnue le nombre x :
1
3(x – 2) + 7 = x – .
2
1
2
1
alors 3x – 6 + 7 = x –
2
1
alors 3x + 1 = x –
2
1
alors 2x + 1 = - (on a soustrait x à chaque membre de l’équation)
2
1
alors 2x = - – 1 (on a soustrait 1 à chaque membre de l’équation)
2
3
alors 2x = 2
Si 3(x – 2) + 7 = x –
3
alors x = 2 (on a divisé chaque membre de l’équation par 2)
2
3
alors x =
4
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Cours
chapitre 15 : équations
niveau quatrième
vérification :
3
3
si x =
alors 3(x – 2) + 7 = 3(
– 2) + 7
4
4
 11
alors 3(x – 2) + 7 = 3(
)+7
4
 33
28
alors 3(x – 2) + 7 =
+
4
4
5
alors 3(x – 2) + 7 =
4
si x =
si x =
3
1
3 1
alors x –
=
–
4
2
4
2
1
5
alors x – =
2
4
3
1
alors 3(x – 2) + 7 = x – .
4
2
conclusion :
La solution de l’équation , 3(x – 2) + 7 = x –
1
3
, est :
.
2
4
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chapitre 16 : statistiques
niveau quatrième
16. Statistiques
La nouveauté par rapport aux classes de sixième et de cinquième est le calcul de la
moyenne arithmétique.
16.1 Exemple 1
Voici les notes d’un élève en mathématiques :
12/20, 16/20, 8/20, 14/20.
On peut calculer :
12  16  8  14
. Ce nombre est appelé moyenne arithmétique des nombres 12,
4
16, 8 et 14.
12  16  8  14
50
=
4
4
12  16  8  14
= 12,5
4
La moyenne arithmétique des nombres 12, 16, 8 et 14 est 12,5.
On peut dire que la note moyenne de l’élève, en mathématiques, est 12,5 sur 20.
16.2 Exemple 2
En fin de trimestre, un professeur de français annonce aux élèves que le devoir 1 aura un
coefficient 2, le devoir 2 un coefficient 1, le devoir 3 un coefficient 2 et le devoir 4 un
coefficient3.
Voici les notes, sur 20, d’un élève :
devoirs
devoir 1
devoir 2
devoir 3
devoir 4
notes
12
8
14
11
coefficients
2
1
2
3
Cela signifie que le devoir 1 est compté deux fois, le devoir 2 une fois, le devoir 3 deux fois et le
devoir 4 trois fois.
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chapitre 16 : statistiques
niveau quatrième
On peut dire que les notes 12, 8, 14, 11 sont pondérées par, respectivement, les coefficients, 2, 1,
2, 3.
Pour calculer la moyenne arithmétique des notes de l’élève, on peut procéder comme dans
l’exemple précédent :
12  12  8  14  14  11  11  11 93
=
8
8
12  12  8  14  14  11  11  11
= 11,625
8
La note moyenne de l’élève, en français, est environ 11,6 sur 20.
Mais on peut mener le calcul plus rapidement :
12  2  8  1  14  2  11  3 93
=
2 1 2  3
8
On peut aussi présenter le calcul dans un tableau :
notes
12
8
14
11
total
coefficients
2
1
2
3
8
produits
24
8
28
33
93
A l’aide de ce tableau, on lit que la note moyenne de l’élève, en français, est
93
sur 20.
8
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chapitre 17 : comparaison de nombres
niveau quatrième
17. Comparaisons de nombres
17.1 Nombres positifs ou négatifs
Parmi les nombres étudiés au collège, certains sont dits positifs comme : 0 ,
D'autres sont dits négatifs comme : 0 , - 2 , -
4
,  , - ( - 8 ) , etc.
3
1
, etc.
2
0 est le seul nombre positif et négatif.
Un nombre positif non nul est dit strictement positif.
Un nombre négatif non nul est dit strictement négatif.
17.2 Symboles
Quatre symboles sont utilisés :
<
>


(on lit : est inférieur à)
(on lit : est supérieur à)
(on lit : est inférieur ou égal à)
(on lit : est supérieur ou égal à)
a et b désignent des nombres :
si a < b alors a - b est strictement négatif
si a > b alors a - b est strictement positif
si a  b alors a - b est négatif
si a  b alors a - b est positif
si a - b est strictement négatif alors a < b
si a - b est strictement positif alors a > b
si a - b est négatif alors a  b
si a - b est positif alors a  b
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Cours
chapitre 17 : comparaison de nombres
niveau quatrième
17.3 Addition
Quels que soient les nombres a, b et c, on peut écrire :
si a < b alors a + c < b +c
si a > b alors a + c > b +c
si a  b alors a + c  b +c
si a  b alors a + c  b +c
On dit que a + c et b + c sont rangés dans le même ordre que a et b.
Exemples :
 x désigne un nombre :
si x - 3 < 11
alors x - 3 + 3 < 11 + 3 (on additionne 3)
alors x < 14
 a désigne un nombre :
si 2 a - 9 < a + 3
alors 2 a - 9 - a < a + 3 - a (on soustrait a ou on ajoute -a)
alors a - 9 < 3
17.4 Multiplication par un nombre strictement positif
Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement positif k, on peut écrire
:
si a < b alors k a < k b
si a > b alors k a > k b
si a  b alors k a  k b
si a  b alors k a  k b
On dit que k a et k b sont rangés dans le même ordre que a et b. (k > o)
Exemples :
 x désigne un nombre :
1
si
x<5
2
1
alors
x  2 < 5  2 (on multiplie par 2 et 2 > 0)
2
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Cours
chapitre 17 : comparaison de nombres
niveau quatrième
alors x < 10
 a désigne un nombre :
si 4 a < - 17
1
1
1
1
alors 4 a 
< - 17 
(on multiplie par
et
> 0 ou on divise par 4 et 4 > 0)
4
4
4
4
 17
alors a <
4
17.5 Multiplication par un nombre strictement négatif
Quels que soient les nombres a et b et quel que soit le nombre strictement négatif k, on peut
écrire :
si a < b alors k a > k b
si a > b alors k a < k b
si a  b alors k a  k b
si a  b alors k a  k b
On dit que k a et k b sont rangés dans l’ordre inverse de celui de a et de b. (k < o)
Exemples :
 x désigne un nombre :
1
si - x < 5
2
1
alors - x  (-2) > 5  (-2) (on multiplie par -2 et 2 < 0)
2
alors x > -10
 a désigne un nombre :si -4 a < - 17
1
1
1
1
alors 4 a  (- ) > - 17  (- ) (on multiplie par - et - < 0 ou on divise par -4
4
4
4
4
et -4 < 0)
17
alors a >
4
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chapitre 17 : comparaison de nombres
niveau quatrième
17.6 Troncatures de nombres positifs
Considérons les nombres suivants :
12,3052
2,6432
6
dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857
7
π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265
On peut considérer les troncatures à l’unité de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant que
les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales.
12 est la troncature à l’unité de 12,3052
2 est la troncature à l’unité de 2,6432
6
0 est la troncature à l’unité de
7
3 est la troncature à l’unité de π
On peut considérer les troncatures au dixième de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant
que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales et la première
décimale.
12,3 est la troncature à l’unité de 12,3052
2,6 est la troncature à l’unité de 2,6432
6
0,8 est la troncature à l’unité de
7
3,1 est la troncature à l’unité de π
On peut considérer les troncatures au centième de chacun des nombres ci-dessus en ne relevant
que les nombres situés à gauche de la virgule dans leurs écritures décimales et les deux premières
décimales.
12,30 est la troncature au centième de 12,3052
2,64 est la troncature au centième de 2,6432
6
0,85 est la troncature au centième de
7
3,14 est la troncature au centième de π
etc.
Page 42
Cours
chapitre 17 : comparaison de nombres
niveau quatrième
17.7 Arrondis de nombres positifs
Considérons les nombres du paragraphe 17.6 :
12,3052
2,6432
6
dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857
7
π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265
On peut considérer les arrondis à l’unité de chacun des nombres ci-dessus en observant la
première décimale de l’écriture décimale de chacun des nombres.
Si cette décimale est inférieure à 5, l’arrondi à l’unité du nombre est sa troncature à l’unité.
Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l’arrondi à l’unité du nombre est sa troncature à
l’unité augmentée de 1.
12 est l’arrondi à l’unité de 12,3052
3 est l’arrondi à l’unité de 2,6432
6
1 est l’arrondi à l’unité de
dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857
7
3 est l’arrondi à l’unité de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265
On peut considérer les arrondis au dixième de chacun des nombres ci-dessus en observant la
deuxième décimale de l’écriture décimale de chacun des nombres.
Si cette décimale est inférieure à 5, l’arrondi au dixième du nombre est sa troncature au dixième.
Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l’arrondi au dixième du nombre est sa troncature au
dixième augmentée de 0,1.
12,3 est l’arrondi au dixième de 12,3052
2,6 est l’arrondi au dixième de 2,6432
6
0,9 est l’arrondi au dixième de
dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857
7
3,1 est l’arrondi au dixième de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265
Page 43
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chapitre 17 : comparaison de nombres
niveau quatrième
On peut considérer les arrondis au centième de chacun des nombres ci-dessus en observant la
troisième décimale de l’écriture décimale de chacun des nombres.
Si cette décimale est inférieure à 5, l’arrondi au centième du nombre est sa troncature au
centième.
Si cette décimale est supérieure ou égale à 5, l’arrondi au centième du nombre est sa troncature
au centième augmentée de 0,01.
12,31 est l’arrondi au centième de 12,3052
2,64 est l’arrondi au centième de 2,6432
6
0,86 est l’arrondi au centième de
dont une valeur approchée à la calculatrice est 0,857142857
7
3,14 est l’arrondi au centième de π dont une valeur approchée à la calculatrice est 3,14159265
etc.
17.8 Tableaux récapitulatifs : troncatures, arrondis de nombres positifs
nombre
12,3052
2,6432
6
7
π
nombre
12,3052
2,6432
6
7
π
Valeur approchée Troncature à
calculatrice
l’unité
12
2
0.857142857
0
Troncature au
dixième
12,3
2,6
0,8
Troncature au
centième
12,30
2,64
0,85
3.14159265
3,1
3,14
Valeur approchée Arrondi à l’unité
calculatrice
12
3
0.857142857
1
Arrondi au
dixième
12,3
2,6
0,9
Arrondi au
centième
12,31
2,64
0,86
3.14159265
3,1
3,14
3
3
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