mathematiques - E

MATHEMATIQUES
Exercice 1
Les nombres suivants sont-ils premiers entre eux ?
a/ 4735 et 5930
b/ 1637 et 307
Réponse :
a/ Deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur PGCD est égale à 1. Or,
d’après les critères de divisibilité 4735 est divisible par 5 car son chiffre des
unités est 5 et 5930 est également divisible par 5 car son chiffre des unités 0.
Donc 4735 et 5930 ne sont pas premiers entre eux.
b/ Je cherche le PGCD de 1637 et 307 :
1637 : 307 = 5
307 : 102 = 3
102 : 1 = 102
reste 102
reste 1
reste 0
PGCD (1637 ; 307) = 1
Donc 1637 et 307 sont premiers entre eux
Exercice 2
a) dans la liste de nombres suivants, quels sont ceux qui ne sont pas premier ?
Justifier
45 207 143 97
Réponse :
Un nombre est premier lorsqu’il n’est divisible que par 1 et par lui-même
45 = 1 x 45
45 = 5 x 8
Donc 45 n’est pas un nombre premier
207 = 1 x 207
207 = 3 x 69
Donc 207 n’est pas un nombre premier
143 = 1 x 143
143 = 11 x 13
Donc 143 n’est pas un nombre premier
97 = 1 x 97
Donc 97 est un nombre premier
b) compléter le tableau ci-dessous par oui ou par non
2
5
6
1035 est
non
oui
non
divisible par
774 est
oui
non
oui
divisible par
322 est
oui
non
non
divisible par
9
oui
oui
non
c) D’après le tableau ci-dessus, les fractions 774 ∕ 1035 et 322 ∕ 774 sont-elles
irréductibles ? Pourquoi ?
Réponse :
-Dans le tableau on remarque que 1305 et 774 sont tout les deux divisible par 9,
donc la fraction 774 ∕ 1035 n’est pas irréductible car elle est simplifiable par 9.
-Dans le tableau on remarque que 322 et 774 sont tous les deux des nombres
divisibles par 2, donc la fraction 322 ∕ 774 n’est pas irréductible car elle est
simplifiable par 2.
d) Calculer le PGCD de 322 et 1305 par la méthode de votre choix. La fraction
322 ∕ 1035 est-elle irréductible ?
Réponse :
Je cherche le PGCD de 322 et 1035
1035 : 322 = 3
322 : 39 = 8
39 : 10 = 3
10 : 9 = 1
9:1=9
reste 39
reste 10
reste 9
reste 1
reste 0
PGCD (322 ; 1035) = 1
La fraction 322 ∕ 1035 est irréductible
Exercice 3
1-Calculer le PGCD (540 ; 300)
Réponse :
Je calcule le PGCD de 540 et 300
540 – 300 = 240
300 – 240 = 60
240 – 60 = 180
180 – 60 = 120
120 – 60 = 60
60 – 60 = 0
Donc PGCD (540 ; 300) = 60
2-Amanda veut recouvrir le sol de son salon rectangulaire, de 540 cm sur 300
cm, par des dalles carrées de moquette, toutes identiques, sans avoir de découpe
à faire. La longueur de côté de ces dalles est égale à un nombre entier de
centimètres. Amanda hésite entre plusieurs possibilités :
a- Pour un effet mosaïque, elle pense mettre des dalles les plus petites
possibles. Combien lui faudra-t-il de dalles ?
b- Un ami lui conseille de revenir sur sa décision et lui propose, au
contraire, de mettre le minimum de dalles
Calculer alors la longueur du côté de chaque dalle et combien de dalles il lui
faudra
c- Mais dans le commerce, Amanda ne trouve que des dalles carrées dont
la longueur du côté est strictement comprise entre 10 cm et 15 cm.
Quelle est la longueur du côté de ces dalles et combien de dalles devra-t-elle
acheter ?
Réponse :
a) Soit d le nombre de dalles dans la longueur. Soit y le nombre de dalles dans la
largeur. Soit c la longueur du côté de la dalle.
540 = c x d
donc c et d sont des diviseurs de 540
300 = c x y
donc c et y sont des diviseurs de 300
Donc c est un diviseur commun à 540 et 300
OR pour un effet mosaïque c doit être le plus petit possible. Donc il faut cherche
le plus petit diviseur commun à 540 et 300. Or le plus petit diviseur commun à 2
nombres est 1.
Donc c = 1
Donc d = 540 et y = 300
Donc le nombre total de dalles est 540 x 300 = 162 000
Il faut 162 000 dalles
b) Comme on veut le minimum de dalles il faut qu’elles soient les plus grandes
possibles. Donc il faut que c soit le plus grand possible.
Donc c = PGCD (540 ; 300) or d’après la question 1- (540 ; 300) = 60 donc
c = 60 cm
Donc d = 540 : 60 = 9
y = 300 : 60 = 5
Il faut 9 x 5 = 45 dalles de 6à cm de côté.
c) Il faut que 10 < c < 15
Donc il faut chercher des diviseurs communs à 540 et 300 compris entre 10 et
15.
540 = 10 x 54
300 = 10 x 30
= 12 x 45
= 12 x 25
= 15 x 36
Donc le diviseur commun à 300 et 54à compris entre 10 et 15 est 12. Donc le
côté d’une dalle est 12 cm. Il y en a 45 dans la longueur et 25 dans la largeur
Il faut donc acheter 45 x 25 = 1125 dalles.