Devoir surveillé N°1.

PCSI. 01/02. Durée 3 heures. CALCULATRICE INTERDITE.
Physique.
Devoir surveillé N°1.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire
et lisible est recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Exercice 1. Mouvement d'un point matériel sur une spirale tracée sur un cône
Soit C la courbe d'équations paramétriques, en coordonnées cartésiennes :
 x  ro e cos


 y  ro e sin  où ro , a sont des constantes positives


 z  aro e
 représente l'angle entre l'axe (Ox) et le vecteur OH , où H est la projection de M sur le plan (Oxy).
Un point M se déplace sur C.
1. Déterminer les composantes cartésiennes des vecteurs vitesse et accélération ( pour cette
question seulement on considérera que la vitesse angulaire est constante ).
En déduire l’expression du module de ces vecteurs.
2. Déterminer la position du point M en coordonnées cylindriques d'axe (Oz).
3. Déterminer l'abscisse curviligne s() . On choisira s( = 0) = 0 et on orientera la courbe dans
le sens des  croissants.
4. Déterminer le vecteur unitaire tangent T en un point M de la courbe. Ce vecteur sera orienté
dans le sens des  croissants et il sera exprimé dans la base des coordonnées cylindriques.
5. Montrer que le vecteur N du trièdre de Frenet ( T , N, B ) en un point M de la courbe a pour
1
expression : N 
(e  er ) .
2
Déterminer l’expression du vecteur B .
En déduire le rayon de courbure Rc de C en M .
6. On suppose que le mouvement de M sur C est uniforme et que (0) = 0 .
On pose v = v > 0. Déterminer la loi du mouvement  (t) .
Exercice 2. Modèle mésoscopique de la conduction.
Un métal, de masse volumique , de résistivité et de masse atomique Mest en équilibre thermique.
Les électrons libres ont une vitesse moyenne d’agitation thermique qui ne sera pas considérée dans ce
qui suit.
Placés dans un champ E o , ces électrons acquièrent une vitesse d’ensemble ou de dérive v à travers le
métal qui exerce sur eux une action équivalente à une force de frottement fluide F  
mv

.
1. A la date t = 0, un champ E o est appliqué. Le mouvement d’un électron de masse m et de
charge –e est décrit dans le cadre de la mécanique classique, dans un référentiel galiléen
Oxyz, de base ( u x , u y , u z ), dans lequel Eo  Eo u x . On néglige l'action de la pesanteur.
Ecrire l'équation différentielle du mouvement de l'électron.
Donner la dimension de la constante .
2. Vérifier que l’expression suivante est solution de l’équation différentielle :
t

e
v   (1  e  ) E o .
m
Montrer que la vitesse tend vers une limite v , que l'on exprimera.
Exprimer en fonction de  le temps au bout duquel l'électron atteint cette vitesse à 99 % près.
3. Le milieu est constitué par un fil cylindrique homogène de section s et de longueur l. La d.d.p.
appliquée à ses bornes est constante et égale à U.
Déterminer l’expression de l’intensité I qui traverse ce fil sachant que la concentration
volumique des électrons est n*.
4. Déterminer l’expression de la résistance R du fil et celle de la conductivité  du métal.
5. Déterminer l’expression de . Faire l’application numérique.
-8 m ; 3 kg.m-3 ; M = 63,5 g/mol ; m = -31 kg
Données :
e = 1,6.10-19 C ; Nombre d'Avogadro : Na = 6,02.1023 mol-1 .
Exercice 3. Composition de deux mouvements circulaires.
Un point A se déplace sur un cercle C de rayon r, de centre O : C est vertical et tourne autour d'un de
ses diamètres (Oz) à la vitesse angulaire constante  . Soit :
  = Oz, OA ;
  l'angle entre un plan vertical fixe (xOz) et le plan du cercle ;
 R le référentiel fixe (Oxyz)
 R' le référentiel (Ox’y’z’) lié au cercle.


Tous les vecteurs seront exprimés dans la base ( ex ', e y ', ez ' ) liée au référentiel tournant R’ sauf indication contraire.
1. Exprimer le vecteur position OA . En déduire par le calcul direct les vecteurs vitesse et
accélération de A dans R exprimés dans la base de R’.
2. Exprimer en fonction de  les vecteurs vitesse et accélération de A par rapport à R' dans la
base de la base des coordonnées polaires sur le cercle, puis dans la base de R’.
3. Déterminer la trajectoire du point coïncident A* de A dans le référentiel R . Exprimer alors la
vitesse d'entraînement et les accélérations d'entraînement et de Coriolis du point A.
4. En déduire, en appliquant les lois de composition des vitesses et des accélérations, les vecteurs vitesse et accélération de A par rapport à R, exprimés dans la base de R'. Montrer que
l'on retrouve bien le résultat de la question 1.