les nombres

Chapitre 1 2nde
LES NOMBRES
I. ENSEMBLE DE NOMBRES
a) Entiers naturels
Les entiers naturels sont les entiers positifs et 0. Par exemple,7  IN mais –7  IN et 3,8 IN
Cet ensemble est noté IN (comme naturel). On dit que ces entiers sont naturels ; car on les utilise naturellement dans la vie de
tous les jours.
Il existe une infinité d’entiers naturels.
b) Entiers relatifs
… ;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;… sont les n. (ils sont négatifs, positifs ou nuls)
L’ensemble de ces nombres est noté Z. Ce symbole vient du mot allemand « die Zahl » qui signifie nombre.
Tous les entiers naturels sont des entiers relatifs. On dit que « IN est inclus dans Z » : IN  Z
c) Nombres décimaux
L’ensemble des décimaux est l’ensemble des nombres positifs ou négatifs à virgule ayant une partie décimale finie : -3,89  ID ;
-5,2  ID.
Cet ensemble est noté ID.
Tous les entiers relatifs sont des nombres décimaux car 2 = 2,00 ; 0 = 0,00 ; -4 = 4,00. On dit que « Z est inclus dans ID » :
IN  ZID.
d) Nombres rationnels
Les nombres rationnels sont les quotients
a
b
où a est un entier relatif et b un entier relatif non nul.
l’écriture
a
b
est appelée écriture fractionnaire. Par exemple 7  Q ;
5
2
 Q ;
1
3
 Q ; 3,8  Q car
3,8 =
38
10
l’ensemble de ces nombres est noté Q (comme quotient)
Tous les nombres décimaux sont des nombres rationnels . On dit que « ID est inclus dans Q » : IN  ZID  Q
e) Les autres nombres : nombres réels
Ils existent des nombres qui n’appartiennent à aucun des ensembles que nous venons de voir.
On démontre par exemple que 2  Q ;
3
2
 Q ;   Q
Ces nombres sont appelés nombres irrationnels (i.e « qui ne sont pas rationnels »).
Ils appartiennent avec tous les nombres précédents à l ‘ensemble des nombres réels qui est noté IR (comme
réel).
L’ensemble des nombres réels est aussi l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée. (c’est à dire
munie d’un repère (O ;I)). Cette droite, qui représente alors IR est appelée droite des réels ou droite numérique.
M O I
-5 -2 0
1
2
1
2
2 3  3,8 5
abscisse du point M zéro est le seul nombre à la
dans le repère (O ;I) fois positif et négatif

Tous les rationnels sont des réels. On dit que « Q est inclus dans IR » : IN  Z  ID  Q  IR
f) Représentation par ensembles
IR
Q
ID 3,8
Z
-1 -7
IN 0 1
2
1
3
-1,2 -27 9 105 53
6
2
- 3
5
- 9
 10-2
5
7
13
19
Remarques :
- Dans les exercices « soit x un nombre quelconque » sera désormais remplacé par : « soit x IR » ou « soit x un nombre
réel »
- Le signe * placé en haut à droite de la lettre désignant un ensemble de nombres, prive celui-ci de zéro.
ainsi IR* désigne les réels non nuls.
- Le signe + ou - placé en haut à droite de la lettre désignant un ensemble de nombre, prive celui-ci des nombres négatifs
positifs
ainsi IR+ désigne l’ensemble des réels positifs (avec zéro)
IR– désigne l ‘ensemble des réels négatifs (avec zéro)
II .NOMBRES PREMIERS
a) Diviseur d’un nombre entier naturel
Soit a  IN, b  IN* : on dit que b est un diviseur de a s’il existe un entier naturel k tel que a = kb
ex : 12 = 4  3 = 1  12 = 6  2
4, 3, 1, 12, 6 et 2 sont des diviseurs de 12
par contre 5 n’est pas un diviseur de 12 car 12  5  IN
b) Définition
Un nombre entier naturel est dit premier s’il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
ex : 12 n’est pas premier
5 est premier
Les premiers nombres premiers :
2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13 ;17 ;19 ;…….
(voir crible d’Eratosthène cahier d’exercices)
Remarques
1 n’est pas premier car il n’a qu’un seul diviseur : 1
2 est le seul nombre premier pair
Il y a une infinité de nombre premier

c) Décomposition en produit de facteurs premiers
Théorème :
tout entier naturel non premier se décompose en produit de facteurs premiers
ex : 28 = 2  14 = 2  2  7 = 22  7 C’est trouver tous les diviseurs premiers d’un nombre.
28 2
14 2
7 7
1
60 = 2  30 = 2  2  15 = 2  2  3  5 = 22  3  5
60 2
30 2
15 3
5 5
1
d) Critères de divisibilité
Un nombre est divisible
par 2 si le nombre se termine par un chiffre pair : 0, 2, 4, 6, 8
par 3 si la somme des chiffres du nombres est divisible par 3
par 5 si le nombre se termine par 0 ou 5
par 9 si la somme des chiffres du nombre est divisible par 9
e) Application
1. Simplifier des fractions
84
60 2237 22357 5
fraction irréductible
2. Simplifier des racines carrées
2100
=
223557
=
223527
=
2252
37
=
25
 237
=
2521
=
10 21
3. Calculer le PGCD de deux nombres entiers naturels
pgcd( 36 ; 120) = ?
36 2 120 2
18 2 60 2
9 3 30 2 pgcd ( 36 ; 120) = 2  2  3 = 12
3 3 15 3
1 5 5
1

III. CALCUL NUMERIQUE
a) Fractions : Signe, simplification, égalité, addition, multiplication.
b) Puissances : Définition, propriétés.
c) Racines carrées : Définition, propriétés.
d) Notation scientifique
La notation scientifique d’un nombre décima est de la forme
a10 p
où a est un nombre décimal compris entre 1 et
10 exclu (
1a10
) et p un nombre entier relatif.
Ex :
593,75,937102
0,051 5,1102
7300 7,3103
Remarques :
 Cette notation est souvent employée dans les sciences, car elle permet d’écrire plus simplement des quantités souvent
très grandes ou très petites,
 La calculatrice a les moyens d’entrer un nombre directement en notation scientifique.
e) valeur approchée
On appelle valeur approchée d’un nombre x à la précision e ou à e près tout nombre a tel que a – e  x  a + e
ex: 1,4 est une valeur approchée de 2 à 0,01 près (10-1 près)
car 1,4 – 0,1  2  1,4 + 0,1
1,4 = a 0,1 = e 2 = x
On considère le nombre
3,14159265359 ...
 Troncature à 6 décimales : 3,141592
 Valeur approchée à 10-2 près par défaut : 3,14
 Valeur approchée à 10-2 près par excès : 3,15
 Valeur arrondie à 10-2 près : 3,1416
 Valeur arrondie à 4 chiffres significatifs : 3,142
IV. TECHNIQUES DE RÉSOLUTION D’ÉQUATIONS
a) Développer, réduire, ordonner
Pourquoi ? Pour obtenir une expression plus simple.
Comment ? en utilisant la distributivité :
Pour tous nombres a, b et c, a(b + c) = ab + ac
Puis on réduit en regroupant les termes semblables et on ordonne suivant les puissances croissantes ou
décroissantes de
x
.
Ex :
f(x)x1
  2xx24
f(x)2x22xx3x24x4
f(x)3x26xx34
f(x) x33x26x4
b) Factoriser

Pourquoi ? Pour résoudre certaines équations, simplifier des écritures ou étudier le signe d’une expression.
Comment ? En utilisant 2 méthodes possibles :
 Reconnaître un produit remarquable
Ex :
f(x)9x212 x4
f(x)(3x2)2
 Reconnaître un facteur commun
Ex :
f(x)x(4 x8) (x2)2
f(x)4x(x2) (x2)2
f(x)(x2) 4 xx2
f(x)(x2)(5x2)
 Enchaîner les deux techniques
Ex :
f(x)(4 x29) (x5)(2x3)
f(x)(2x3)(2x3) (x5)(2x3)
f(x)(2x3) 2x3x5
f(x)(2x3)(3x8)
c) Vérifier une égalité A = B
3 méthodes :
 On part d’un des 2 membres, on le transforme pour obtenir l’autre membre.
Ex : Montrons que
(x3)21x26x8
x26x91x26x8
 On transforme séparément les membres A et B pour obtenir le même résultat C.
Ex :
A(x3)21x26x91x26x8
B(x4)( x2) x24x2x8x26x8
Donc A = B.
 On transforme la différence A – B pour obtenir 0.
Ex :
A(x3)21
B(x4)( x2)
AB(x3)21(x4)( x2)
ABx26x91(x24x2x8) x26x91x24x2x8
ABx2x26x6x880
d) Résoudre une équation
Résoudre dans IR une équation, c’est trouver tous les réels (s’il y en a) vérifiant l’égalité donnée.
Quatre équations de référence :
équation
Résolution
ax b0
(a0)
Une solution unique :
x  b
a
x2a
a0
: deux solutions
a
et -
a
a0
: pas de solution
a0
: une seule solution 0
équation
Résolution