Nombres entiers et nombres rationnels

CHAPITRE 4
Nombres entiers et nombres rationnels.
I-
Les ensembles.
a) Les entiers naturels.
Les entiers naturels sont :
- positifs ;
- avec une partie décimale nulle.
Exemples :
0 ; 1 ; 2 ; 17 ; 54 ; 87 ; 112 …
b) Les entiers relatifs.
Les entiers relatifs sont :
- positifs ou négatifs ;
- avec une partie décimale nulle.
Exemples :
0 ; 4 ; -7 ; -8 ; 10 ; -41 …
c) Les décimaux.
Les nombres décimaux sont :
- positifs ou négatifs ;
- avec ou sans virgule ;
- la partie décimale s’arrête.
Exemples :
0 ; 4 ; -7 ; -8 ; 10 ; -41 ; -8,24 ; 78,125 14 ; -4, 5 ;
mais
4
(car c’est 0,8)…
5
2
n’est pas un nombre décimal. Sa partie décimale est infinie !
3
1
d) Les rationnels.
Les nombres rationnels sont des nombres qui peuvent s’écrire sous forme de
fractions.
Exemples :
0
16
45
 0 ; -8 car   8 ; -4,5 car  4,5 ; 78,125 14 car
8
2
10
7812514
1
7

78
,
12514
; mais il y a en plus
;
…
100000
3
9
0 car
Toutes les fractions qui n’ont pas d’écriture décimale sont des
rationnels.
e) Les irrationnels.
Tous les nombres qui ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction (de
quotient) sont dits irrationnels :
;
2 ;
7
…

II-
Les diviseurs et nombres premiers entre eux.
Soient deux rationnels a et b .
On dit que a est un diviseur de b lorsque la division euclidienne de b par a est un
nombre entier.
Exemples :
2 est un diviseur de 14.
3 est un diviseur de 27.
2 n’est pas un diviseur de 17 !
5 n’est pas un diviseur de 92 !
Diviseur commun :
3 est un diviseur commun à 45 et ____.
12 est un diviseur commun à 144 et ____.
5 est un diviseur commun à ____ et ____.
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur
commun est 1.
Exemples :
3 et 5 sont premiers entre eux.
8 et 24 ne sont pas premiers entre eux.
2
III- PGCD et fractions irréductibles.
PGCD : Plus Grand Commun Diviseur.
Le PGCD est donc le plus grand des diviseurs communs à deux nombres.
Il y a deux méthodes pour le trouver.
a) Algorithme d’Euclide.
En 6°, la division euclidienne a été travaillée.
75
5
Cette division avec un quotient entier et le reste va être utilisée pour trouver le
PGCD.
Je chercher le PGCD de 3 465 et de 11 115.
L’algorithme d’Euclide est une succession de divisions euclidiennes dont les
résultats sont notés en ligne.
11 115 = 3 465 x 3 + 720
3 465 = 720 x 4
+ 585
720
= 585 x 1
+ 135
585
= 135 x 4
+ 45
135
= 45 x 3
+ 0
L’algorithme peut également se présenter sous forme d’un tableau.
Dividende
11 115
3645
720
585
135
Diviseur
3465
720
585
135
45
Dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est donné par le dernier
reste
720
585
135
45
0
reste non nul.
3
Dans cet exemple le PGCD de 11 115 et de 3 465 est ____.
On le note :
PGCD(11 115 ; 3 465) = _____
Cette notation doit être apprise et connue !
b) Algorithme des différences.
Algorithme des différences.
Je reprends l’exemple précédent : 11 115 et 3 465.
11115
3465
7650
4185
3465
720
2745
2025
720
1305
585
720
135
585
450
135
315
180
135
45
90
45
différence
3465
7650
7650
4185
4185
3465
720
3465
720
2745
2745
2025
2025
720
720
1305
1305
585
585
720
720
135
135
585
585
450
450
135
135
315
315
180
180
135
135
45
45
90
90
45
45
45
45
0
Je fais attention pour mes
calculs de différences à faire la
plus grande des valeurs moins la
plus petite !
Je remarque que cette méthode s’avère plus longue que l’algorithme d’Euclide. Et
ce sera souvent toujours le cas !
4