livret proba stat et progressions

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FORMATION NOUVEAUX PROGRAMMES de TERMINALE
Journées novembre 2012
Les statistiques inférentielles enseignées au Lycée
Seconde
Première
Terminale
Problématique : On s’intéresse à un caractère d’une population que l’on ne peut pas recenser et on sonde cette population à l’aide
d’un échantillon.
Deux grandeurs entrent en jeu :
 La proportion pour la population et la fréquence observée dans l’échantillon.
Deux questions :
 Connaissant la proportion pour la population (p), peut-on prévoir la fréquence observée dans l’échantillon (f) ?
= Notion d’intervalle de fluctuation
 Réciproquement, peut-on déduire de la fréquence observée dans l’échantillon (f) la proportion pour la
population (p) ?
= Notion d’intervalle de confiance
Avec le modèle probabiliste, on peut parvenir à répondre à ces deux questions sous certaines conditions au lycée :
 Il faut que l’échantillon soit constitué en prélevant les individus au hasard et avec remise ou que le tirage soit assimilable à
un tirage avec remise (le rapport entre la taille de l’échantillon et la taille de la population doit être inférieur à 1%)
 Il faut que la taille n de l’échantillon soit assez grande (plus de 25 en seconde ou plus de 30 en terminale.)
 Il faut que la proportion de la population ne soit pas marginale (entre 20% et 80% en seconde, que nf ≥5 et n(1-f) ≥5 en
terminale).
Qu’est-ce que la fluctuation de l’échantillonnage ?
L’échantillonnage (étude statistique de la distribution des fréquences observées dans l’ensemble des échantillons de même taille)
permet de constater la fluctuation des fréquences et trouver une loi qui modélise cette fluctuation.
Seconde
Première
Terminale
En réalisant plusieurs simulations sur des
échantillons de même taille n, on observe une
variation de la fréquence des individus
possédant le caractère étudié. On peut aussi
observer que ces fréquences sont distribuées
dans une sorte d’intervalle qui les contient
presque toutes (intervalle de fluctuation).
En réalisant de nouvelles simulations, pour
des valeurs de n de plus en plus grandes, on
observe que cet intervalle qui contient
presque toutes les valeurs est de moins en
moins large : On constate que la fluctuation
des fréquences diminue quand n augmente.
On considère que l’on peut
modéliser l’étude du caractère
de proportion p sur un
échantillon de taille n par n
répétitions d’une expérience
aléatoire pour laquelle on
observe le nombre
d’individus présentant ce
caractère.
On s’intéresse alors à la
variable aléatoire Xn qui
associe à chaque échantillon,
le nombre d’individus de
l’échantillon de taille n qui
possèdent le caractère.
La variable aléatoire Xn suit
une loi binomiale B(n ; p).
Si on s’intéresse aux
fréquences, c’est à dire à la
variable aléatoire Fn = Xn/n,
qui présente la même
distribution de probabilités
que Xn, on constate que leur
distribution se stabilise quand
la taille de l’échantillon
grandit.
On veut pouvoir passer du caractère discret de
la loi binomiale de première à une loi continue.
Pour cela on observe que si on centre et réduit la
loi binomiale Xn, en posant :
(1 )
n
nX np
Znp p
on obtient une loi Zn de moyenne 0, d’écart type
1.
Par un passage à l’histogramme, et en respectant
le fait que l’aire des rectangles doit être égale à
la probabilité, on observe que lorsque n devient
grand, la fonction de répartition de Zn tend vers
la fonction de répartition de la variable aléatoire
Z qui suit la loi normale N(0 ;1) dont la
fonction densité est f définie par :
²
2
1
() 2
x
f x e
C’est le théorème de Moivre-Laplace.
En conclusion, la loi de probabilité de Z est
donnée par : P(a ≤ Z ≤ b) qui est l’aire sous la
courbe Cf entre a et b.
Qu’est-ce que l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% ?
Seconde
Première
Terminale
Si 0,2 ≤ p ≤ 0,8, on admet que la fréquence
observée dans un échantillon de taille n (n ≥
25), a une probabilité voisine de 95% d’être
comprise entre
1
pn
et
1
pn
.
On s’en convainc en simulant des
expériences.
En calculant les probabilités
cumulées de la loi binomiale
(calculatrice ou tableur), on
détermine le plus petit entier
a tel que P(Xn ≤ a) > 0,025, et
le plus petit entier b tel que
P(Xn ≤ b) ≥ 0,975.
L’intervalle [a ; b] contient
alors au moins 95% des
fréquences observées.
Attention !
Dans le cas où np ≥ 5 et n(1 – p) ≥ 5, et n ≥ 30
c’est-à dire p
 n
;
n5
1
5
1
, on peut
approcher la loi binomiale par la loi normale et
définir l’intervalle asymptotique au seuil de 1-
α comme l’intervalle I tel que :
I
n
X
Pn
nlim
≃1- α

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 p n’est pas le centre de
l’intervalle.
 Il n’y a aucune contrainte
sur n et p
Si Z est une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite, quel que soit α de ]0 ; 1[, il existe un unique réel u tel que :
P(-uα ≤ Z ≤ u
α
) = 1-α.
u
α
est l’unique antécédent de 1-α/2 par la fonction de répartition qui est continue et strictement croissante. (T.V.I)
Pour α = 0,05, la loi nous donne uα ≈1,96, et on a P(-1,96 ≤ Z ≤ 1,96) ≃95%
En revenant à la variable aléatoire Fn = Xn/n, on peut alors dire que la fréquence observée dans l’échantillon de taille n (n ≥
30) a une probabilité d’environ 95%, d’être comprise entre
(1 )
1,96 pp pn
et
(1 )
1,96 pp pn
.
Quelles sont les prises de décision possibles à partir de l’intervalle de fluctuation ?
Au lycée, l’intervalle de fluctuation va permettre une initiation aux tests d’hypothèses dans un cadre simplifié : la prise de
décision en situation de risque. Le seuil de risque est en général fixé à 5%, c’est-à-dire α = 5%. La proportion p du caractère
étudié est supposée connue.
Le protocole suit les étapes suivantes :
 Déterminer l’intervalle de fluctuation associé à ce risque pour une taille n.
 Observer la fréquence f du caractère étudié dans un échantillon de taille n.
 Appliquer la règle de décision concernant une hypothèse formulée en langage naturel (réviser la machine,
fermer l’usine, ets...) :
Règle de décision :
'.
'.
si f I alors l hypothèse est acceptée
si f I alors l hypothèse est rejetée
Si l’écart entre valeur observée f et valeur attendue p est trop important pour être attribué aux fluctuations d'échantillonnage,
l'hypothèse doit être rejetée. Le seuil de risque choisi au départ est celui de rejeter l’hypothèse à tord lorsque les fluctuations
d'échantillonnage sont seules en cause.
Cette règle de décision peut permettre d’effectuer plusieurs types de test :
Test d’une conformité :
On cherche à vérifier si un échantillon suit la même loi que celle suivie par les échantillons issus de la population dans laquelle le
caractère étudié est dans une proportion p. On teste l’hypothèse « l’échantillon est issu d’une population où le caractère est dans
une proportion p ».
Test d’homogénéité : On compare les valeurs observées sur au moins deux échantillons pour évaluer si elles suivent la même loi.
On teste l’hypothèse : « les deux échantillons appartiennent à la même population ».
Le travail mathématique consiste à calculer l’intervalle de fluctuation connaissant p, n et la marge d’erreur que l’on se donne.
Seconde
Première
Terminale
On utilise la formule en vérifiant que les
conditions d’application sont vérifiées pour
calculer l’intervalle.
On définit la variable
aléatoire, on identifie la loi
binomiale puis on utilise
l’algorithme et les TICE pour
déterminer l’intervalle.
On approche la loi binomiale avec la loi
normale et on calcule l’intervalle avec la
formule.
Qu’est-ce que l’intervalle de confiance pour une proportion ?
Quel que soit α dans ]0 ; 1[ , l’intervalle de confiance d’une proportion p au seuil de 1-α est un intervalle aléatoire contenant p
avec une probabilité la plus proche possible de 1-α.
Cet intervalle, pour une fréquence f, observée sur un échantillon, donne une fourchette de valeurs pour estimer la proportion p
dans la population mère.
On cherche un intervalle [Fn-ε ; Fn+ε ] susceptible de contenir p, c’est à dire que P(p [Fn-ε ; Fn+ε ] ) = 1- α.
Seconde
Première
Terminale
Au seuil de 95% , on a :
Fn
11
[ ; ]pp
nn
ce qui est équivalent à
p
 n
F;
n
Fnn 11
L’intervalle
 n
F;
n
Fnn 11
est appelé
intervalle de confiance pour un niveau de
confiance de 0,95.
Pour une valeur observée f,
 n
f;
n
f11
est
une fourchette de sondage pour un niveau de
confiance de 0,95 sous les conditions n  25
et 0,2  f 0,8.
Dans ces conditions, f est une estimation de
p pour une précision de 1/
n
et un niveau de
confiance de 0,95.
Pas d’intervalle de confiance
dans le programme de
première !
C’est le même que celui de seconde !
mais sous les conditions :
sous les conditions
n  30 et nf  5 et n(1-f)  5

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Le travail mathématique consiste à :
 Estimer à l’aide d’un intervalle une proportion inconnue d’une population en observant un échantillon.
 Déterminer la taille d’un échantillon pour obtenir une estimation avec une erreur donnée.

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Progression Terminale S – 2012/2013
R
Re em ma ar rq qu ue e i im mp po or rt ta an nt te e : : c ce ec ci i n n’ ’e es st t p pa as s u un ne e p pr ré éc co on ni is sa at ti io on n m ma ai is s s se eu ul le em me en nt t u un n e ex xe em mp pl le e q qu ui i m me et t e en n r re el la at ti io on n l l’ ’u ut ti il li is sa at ti io on n
d
de es s T TI IC CE E e et t l l’ ’a al lg go or ri it th hm mi iq qu ue e a av ve ec c l le es s d di iv ve er rs se es s p pa ar rt ti ie es s d du u p pr ro og gr ra am mm me e e et t p pe eu ut t d do on nn ne er r a au us ss si i u un ne e i id dé ée e d de e l l’ ’i im mp po or rt ta an nc ce e à à
a
ac cc co or rd de er r a au ux x d di iv ve er rs se es s p pa ar rt ti ie es s. . D Di iv ve er rs se es s a au ut tr re es s o or rg ga an ni is sa at ti io on ns s s so on nt t p po os ss si ib bl le es s. .
Chapitre
Objectifs
Démonstrations
étudiées
spécifiquement
TICE
Algorithmes
Remise en route
1 semaine
Fonctions, équations, inéquations, limites
intuitives et suites.
Algobox : trouver
un rang n à partir
duquel un>100
Raisonnement
par récurrence
1 semaine
Tableur :
conjecture d’une
propriété à
démontrer par
récurrence
Fonction exp
2 semaines
Dérivée. Propriétés algébriques
Notation
ex
Variations, limites et représentation graphique
Démontrer unicité y tel
que y’ = y et y(0) = 1
Limites
Xcas : étude d’un
sujet du type Bac
en vérifiant les
calculs avecXCas
Nbres complexes
Forme algébrique
2 semaines
Introduction historique. Forme algébrique
Calculs algébriques (+ – × ÷). Conjugué
Équations de degré 2 à coefficients réels.
Affixe d'un point, d'un vecteur, du milieu
Etude d’une
transformation
z’=(az+b)/(cz+d)
avec GéoGébra
Fonction ln
2 semaines
Introduire la fonction ln à partir de l’équation
fonctionnelle.
Propriétés algébriques
Variation, limites et représentation graphique
Évocation de la fonction log
Xcas ou algobox
pour étude suite
associée
Probabilités
conditionnelles
2 semaines
Arbres pondérés
Probabilités conditionnelles
Événements indépendants
Formule des proba totales (vocabulaire non
attendu – un arbre peu constituer une preuve))
Démontrer que si deux
événements A et B sont
indépendants, alors il
en est de même pour A
et B.
Simulation
d' une marche
aléatoire
Fonctions
sin et cos
2 semaines
Dérivées
Parité et périodicité
Représentation graphique
Lien avec le cercle trigonométrique
Nbres complexes
Forme trigo
2 semaines
Forme trigonométrique
Transformation forme algébriq  forme trigo
Forme exponentielle
Formules trigo d'addition et de duplication
Etude d’un sujet
u type Bac avec
GéoGébra
Compléments sur
les fonctions
3 semaines
Limites
Continuité sur un intervalle
Théorème des valeurs intermédiaires
Théorème de la bijection (vocabulaire non
attendu) (extension aux intervalles ouverts et semi
ouverts)
Etude d’une
fonction avec
paramètre
(Géogébra)
ex :
() nx
n
f x x e
(sujet bac2011)
Recherche des
solutions de
f(x)= k
Intégration
2 semaines
Intégrale d'une fct continue et positive
Notation
Primitive d'une fct continue
Primitives des fonctions usuelles
Tte fct continue sur un intervalle fermé admet
des primitives
Pas d'intégration par parties
Principe de
démonstration du
théorème dans le cas
où f est continue et
positive
Vérifications de
calculs de
primitives avec
Xcas
Encadrement
d'une intégrale
pour une fct
continue et
positive
Espace affine et
plan
2 semaines
Positions relatives de droites et de plans
Établir l'orthogonalité d'une droite et d'un
plan
Utiliser les coordonnées
Théorème du toit
Geogebra 3D

5
Compléments sur
les suites
2 semaines
Limites
limite éventuelle d'une suite géométrique
Convergence monotone
Théorème de
comparaison
Toute suite croissante
majorée a pour limite
+∞
Algobox pour
trouver des
valeurs
approchées de
alpha
Rang à partir
duquel un est
supérieur à A.
Des activités
algo sont
menées dans le
cadre de suites
récurrentes
Variables
aléatoires
2 semaines
Loi binomiale (rappel de 1ere)
Loi à densité sur un intervalle
Loi à densité uniforme+espérance
Loi exponentielle+ espérance + calcul de
proba
Loi normale centrée réduite
Théorème de Moivre Laplace (admis)
Loi normale
Espérance de la loi
exponentielle
Utiliser le tableur
ou une
calculatrice pour
calculer une
proba avec une
loi normale
Simulation de loi
binomiale avec
algobox
Espace et plan
2 semaines
Produit scalaire dans l'espace
Déterminer si un vecteur est normal à un plan.
Déterminer une équation cartésienne d’un
plan connaissant un point et un vecteur
normal.
Caractérisation vectorielle de deux droites
orthogonales ; notion de plans
perpendiculaires.
Déterminer un vecteur normal à un plan défini
par une équation cartésienne.
Choisir la forme la plus adaptée entre
équation cartésienne et représentation
paramétrique pour :
- déterminer l’intersection d’une droite et
d’un plan ;
- étudier la position relative de deux plans.
Caractériser les points
d’un plan de l’espace
par une relation
ax+by+cz+d=0
avec a , b , c trois
nombres réels non tous
nuls.
Démontrer qu’une
droite est orthogonale à
toute droite d’un plan
si et seulement si elle
est orthogonale à deux
droites sécantes de ce
plan.
Geogebra 3D
Échantillonnage
2 semaines
Connaître l’intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de 95 % .
Estimer par intervalle une proportion
inconnue à partir d’un échantillon.
Déterminer une taille d’échantillon suffisante
pour obtenir, avec une précision donnée, une
estimation d’une proportion au niveau de
confiance 0,95.
Expression d'un
intervalle de
fluctuation au seuil de
1-α de la variable
Fn=Xn
n
si la variable
aléatoire
Xn
suit la loi
B (n, p).