Activité

Cours
F ONCTIONS - Généralités
I – Image et antécédent(s)
Définition
Une fonction est un procédé qui à un nombre x appartenant à un ensemble D associe un nombre y.
f
On note :
x
y
f :x
ou encore
y
ou encore
y = f(x)
On dit que y est l’image de x par la fonction f et que x est un antécédent de y par la fonction f
Comment calculer l’image d’un nombre x par f ?
Calculer, lorsque c’est possible, l’image d’un réel x par une fonction f, c’est calculer f (x )
Exemple 1
3 x
Soit la fonction f définie par f ( x)   , autrement dit : f : x
x
3
3 x

x 3
Calculer l’image de 3 par f, puis celle de 1.
Que pensez-vous de l’image de 0 ?
Comment déterminer les antécédents éventuels d’un nombre y par f ?
Résoudre l’équation f (x ) = y où l’inconnue est x.
Exemple 2
2
Soit la fonction f définie par f ( x)  x  2 .
Déterminer les antécédents éventuels de 11 par f , puis ceux de 1.
II – Tableau de valeurs d’une fonction
Pour une fonction f, donnée on peut établir un tableau de valeurs.
Dans ce tableau, la première ligne contient des nombres réels x, et la seconde ligne contient leurs images
respectives y= f (x)
Exemple 3
3
2
Soit la fonction f définie par f ( x)  x  x
Compléter le tableau de valeurs suivants :
x
-2
-1
0
1
1
2
2
f(x)
III – Ensemble de définition
Définition
Pour une fonction f donnée, l’ensemble de tous les nombres réels qui ont une image calculable par
cette fonction est appelé ensemble de définition de la fonction f, que l’on notera D f
Exemple 4
2
Soit la fonction f définie par f ( x)  3x et la fonction g définie par g ( x) 
4
.
2x  3
Déterminer D f et D g.
 On dira aussi que … … …
est une valeur interdite pour la fonction g
IV – Courbe représentative d’une fonction
Définition
Dans un repère du plan, l’ensemble des points M ( x, f (x) ) forme la courbe représentative de la
fonction f , souvent notée C f .
Exemple 5
5x
.
x 1
a) Compléter le tableau de valeurs suivant ( On donnera des valeurs approchées à 101 près ) :
Soit la fonction f définie par f ( x) 
x
-3
-2, 5
-2
2
-1, 5
-1
-0, 5
0
0, 5
1
1, 5
f(x)
INFOS TI82 :
1. On définit la fonction dans le menu f(x) : Y1 = 5X /(X² + 1)
2. On définit les valeurs du tableau dans le menu déf table :
 DébTable= -3 (puisque le tableau débute à la valeur -4)
 PasTable= 0.5 (puisque dans le tableau on augmente « de 0.5 en 0.5 »)
3. On va consulter le tableau de valeurs dans le menu table.
b) Tracer la courbe représentative de f.
2
V – Comment lire une image ou un antécédent à partir d’une courbe ?
Comment lire l’image d’un nombre x par f ?
On place x sur l’axe des abscisses. On se déplace verticalement pour rencontrer C f
On lit f (x ) sur l’axe des ordonnées
Déterminer graphiquement
l’image de 1 par f :
Comment lire les antécédents éventuels d’un nombre y par f ?
On trace une droite horizontale passant par cette valeur ;
On repère les points d’intersection avec C f ;
On lit verticalement les abscisses x des points trouvés.
Déterminer graphiquement
les antécédents de 1 par f :
Exo
F ONCTIONS - Généralités
A compléter…
RAPPEL : On appelle ensemble de définition d’une fonction f
l’ensemble des valeurs pour lesquelles le calcul de f(x) est possible.
EXERCICE F.1
f
a. On considère la fonction définie par : x
Error!
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par f ? 0 ; 2 ; -3 ; 3.
g
b. On considère la fonction définie par : x
x–3
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par g ? 0 ; 2 ; -3 ; 4.
h
c. On considère la fonction définie par : x
Error!
Parmi les valeurs suivantes, laquelle/lesquelles n’a/ont pas d’image par h ? 5 ; -6 ; 9 ; 7.
d. Donner pour chaque fonction, et sous la forme d’un intervalle ou d’une réunion d’intervalles,
son ensemble de définition :
Df =
Dg =
Dh =
EXERCICE F.2
Associer chaque fonction à son ensemble de définition :
f:x
Error!


[5 ; +[
g:x
(x – 5)²


]- ; -5[  ]-5 ; +[
h:x
Error!


]- ;+[
k:x
x–5


]5 ; +[
l:x
Error!


]- ; 5[  ]5 ; +[
m:x
Error!


]- ; - 5[  ]- 5 ; 5[ ] 5 ; +[
A compléter…
EXERCICE F.3
Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f :
f:x
Df =
Error! + 3
f:x
Df =
Error!
f:x
Df =
Error!
f:x
Df =
Error!
f:x
Df =
2x + 1
f:x
Df =
Error!
f:x
Df =
Error!
f:x
Df =
Error!
EXERCICE F.4
M est un point situé sur un rayon du disque de centre O et de rayon 5 cm. On pose x = OM ( en cm ).
f est la fonction qui, à chaque nombre x, associe le périmètre du cercle de centre O et de rayon OM.
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f
EXERCICE F.5
Voici le tableau de valeurs d’une fonction f :
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
4
3
2
-1
-3
-4
-3
-4
0
a. Quelle est l’image de -3 ?
b. Quel est l’antécédent de -1 ?
c. Quel nombre a pour image 2 ?
d. Quels sont les deux nombres qui ont la même image ?
EXERCICE F.6
Voici le tableau de valeurs d’une fonction f : x
x² – 2x – 1
x
0
0,2
0,5
0,8
1
1,2
1,5
1,6
1,8
f(x)
-1
-1,36
-1,75
-1,96
-2
-1,96
-1,75
-1,64
-1,36
1°) Compléter les égalités :
f(0,5) = ……
f(……) = -1,64
f(1,2) = ……
f(……) = -2
f(1,5) = ……
f(……) = -1,36
2°) Résoudre f (x) = 1.
3°) 1 possède t’il un antécédent par f ?
EXERCICE F.7
On considère la fonction définie par f : x
Error!. Calculer les images de 2 ; -1 ; Error! ; Error!.
EXERCICE F.8
On considère la fonction définie par f : x
x – Error!
Compléter le tableau de valeurs de f à l’aide de la calculatrice (on arrondira au centième quand c’est nécessaire) :
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
INFOS TI82 :
1. On définit la fonction dans le menu f(x) : Y1 = X – 1/(X + 1)
2. On définit les valeurs du tableau dans le menu déf table :
 DébTable= -4 (puisque le tableau débute à la valeur -4)
 PasTable= 1 (puisque dans le tableau on augmente « de 1 en 1 »)
3. On va consulter le tableau de valeurs dans le menu table.
De la même façon, dresser le tableau des valeurs de la fonction g : x
x
0,95
0,96
0,97
0,98
0,99
3x² - 7x + 4
1
1,01
1,02
1,03
g(x)
EXERCICE F.9
Soit f la fonction définie sur [-3 ; 5] par f ( x)  x 2  x  6
On donne ci-contre la courbe représentative C f de f.
1°) Déterminer graphiquement :
 f (0) : ………………………………………………………
 L’image de 3 par f : ………………………………………
 Les éventuels antécédents de 4 par f : …………………
 Les éventuels antécédents de 10 par f : …………………
 Les éventuels antécédents de 6 par f : …………………
 L’ordonnée du point de C f d’abscisse 5 : ……….…..…
 Les solutions de l’équation f ( x )  3 : ………………..…
1
2°) Déterminer algébriquement l’image de
par f
2
3°) Montrer que, pour tout x de [-3 ; 5], f ( x)  ( x  3)( x  2)
4°) Déterminer algébriquement les antécédents de 0 par f
EXERCICE F.10
Dans chaque cas, déterminer l’ensemble de définition de la fonction f dont on donne la courbe :
1
1
1
Df =
EXERCICE F.11
1
1
Df =
1
Df =
Les courbes suivantes peuvent elles représenter une fonction ?


;j
O

;j

O
;i

;j

O
;i
;j

O
;i

;i
EXERCICE F.12
La courbe ci-contre représente la fonction f
a. Compléter les phrases suivantes :
- L’image de 1 est ……..
- L’antécédent de -3 est …..…
- L’image de …..… est 4.
- Un antécédent de ......... est 4.
b. Compléter les égalités :
f(-3) = ……
f(……) = 3

;j
O 
;i
f(0) = ……
f(……) = -4
c. Compléter le tableau de valeurs
x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
f(x)
EXERCICE F.13
On considère la fonction f définie par :
f:x
Error!
a. Compléter le tableau de valeurs (en utilisant la machine) :
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
b. Construire la courbe représentative de f ci-contre.

;j
c. La courbe ci-dessous correspond-elle au tableau ?
O

;i
5
6