Anneaux

I Généralités
A) Définition
Soit A un ensemble muni de deux lois notées + et .
On dit que
),,( A
est un anneaux lorsque :
),(  A
est un groupe commutatif.
est associative et distributive sur +
 Il y a dans A un élément neutre pour
Si de plus est commutative, on dit que
),,( A
est un anneau commutatif.
Remarque, notations :
D’après les résultats généraux sur les lois de composition interne, si
),,( A
est un
anneau, il ne possède qu’un seul élément neutre pour +, il est noté
A
0
et est appelé le
zéro de A, et il ne possède qu’un seul élément neutre pour , il est noté
A
1
et est appelé
l’élément unité de A.
A moins que l’anneau A ne soit réduit au singleton
A
0
, on a
AA 10 
.
En effet, si on a
AA 10 
alors, pour tout
Ax
, on a :
xxxxxxxxx AAAAAAAA  11)11()00(01
De
xxx 
on tire, selon la règle de régularité des éléments du groupe
),( A
,
que
A
x0
.
B) Règles de calcul
Soit
),,( A
un anneau, et a, b, c, d des éléments quelconques de A. On a :
AAA aa 000 
(on dit que
A
0
est absorbant)
En effet,
AAAAA aaaa 00)00(0 
.
D’où, par régularité des éléments dans le groupe
),( A
,
AA
a00 
.
De même de l’autre côté.
bababa  )()()(
En effet :
AA
abbabaab 00))(()( 
D’où
)()( abba 
. De même pour l’autre égalité.
 Développement des produits de sommes
bdbcadacdcba  ))((
(attention à l’ordre dans les produits)
Immédiat en appliquant deux fois la distributivité.
 Pour
Nn
, on définit
n
a
par
A
a1
0
et
aaan nn  1 ,N
.
Alors
pnpn aaapn  
,),( 2 N
(immédiat par associativité de ).
Et
nppn aapn  )(,),( 2
N
(mais attention :
abababab n...)( 
, n’est pas nécessairement commutative)
 Dans le groupe
),( A
, on a toujours la définition et les propriétés pour
an.
(
Zn
), et de plus :
).().().( bnaabnban 
(qu’on peu noter
nab
)
En effet, pour
Nn
, on le montre aisément par récurrence, en utilisant la
distributivité de sur +, puis pour
pn 
avec
Np
, on a :
))(())(()())(())(( bpabapabpbapbap 
d’après les règles
précédentes.
D’où
).().().( bnaabnban 
selon la règle
)()( xpxp 
.
C) Deux identités remarquables
Anneaux

Dans tout anneau
),,( A
, a et b étant deux éléments de Aqui commutent, on a,
pour tout
Nn
:
n
p
pnpp
n
nbaCba 0
)(
(formule du binôme)
1
0
1
)( n
p
pnpnn bababa
(avec
1n
)
Démonstration :
- Pour la formule du binôme, on peut reprendre la démonstration faite dans
l’anneau
),,( R
, étant donné qu’elle n’utilise que les règles de calculs dans un anneau
et le fait que a et b commutent.
- Pour la seconde :
nn
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
n
p
pnp
ba
baba
abbaba
bbaba
babbaababa
) variablesde changement(
commutent) et (
vité)distributi(
vité)distributi()(
1
01
1
0
1
0
1
1
0
1
1
0
11
1
0
1
1
0
1
1
0
1
D) Exemples d’anneaux
),,( Z
,
),,( Q
,
),,( R
,
),,( C
pour les lois usuelles sont des anneaux.
E étant un ensemble, et
),,( A
un anneau, en définissant les lois + et sur
),( AEF
par :
Pour
),(, AEgf F
,
)()(: xgxfxgf  
,
)()(: xgxfxfg 
, on vérifie
immédiatement que
),),,(( AEF
est un anneau, commutatif si A l’est.
En particulier :
- En prenant pour
),,( A
l’anneau
),,( R
, et en prenant toujours E un ensemble
quelconque :
),( REF
, muni des lois « naturelles » + et d’addition et de multiplication de
fonctions est un anneau commutatif.
Et si on prend
NE
, on obtient :
),( RNF
, c'est-à-dire l’ensemble des suites réelles indexées par N (noté aussi
N
R
), muni des lois naturelles d’addition et de multiplication de suites, est un anneau
commutatif.
- Et de même en prenant pour
),,( A
l’anneau
),,( C
,
),),,(( CEF
est un
anneau commutatif, et en particulier
),,( 
N
C
est un anneau commutatif.
II Sous anneaux
Définition :
Soit
),,( A
un anneau, et soit B une partie de A.

On dit que B est un sous anneau de A lorsque :
 B est stable par + et .
BxBx
B
A
)(,
1
Proposition :
Soit
),,( A
un anneau, et soit B une partie de A. Si B est un sous anneau de
),,( A
,
alors + et constituent des lois de composition internes sur B, et
),,( B
est un anneau,
commutatif si A l’est.
Exemples :
- Z, Q, R sont des sous anneaux de
),,( C
.
- L’ensemble des suites réelles convergentes (et indexées par N) constitue un sous
anneau de
),,( 
N
R
.
III Morphismes d’anneaux
Définition :
Soient
),,( A
et
),,( B
deux anneaux.
Un morphisme d’anneaux de A vers B est une application
BA :
telle que :
BA
yxyxAyx
yxyxAyx
1)1()3(
)()()(,),()2(
)()()(,),()1(
2
2
Remarque :
Un morphisme d’anneau de
),,( A
vers
),,( B
est en particulier un morphisme de
groupes de
),( A
vers
),( B
, on a donc nécessairement
BA 0)0( 
.
En revanche, la condition (3) ne doit pas être oubliée car elle ne résulte pas de (1) et (2).
Exemple :
L’application
uu lim
constitue un morphisme de l’anneau des suites réelles
convergentes indexées par N, muni des lois naturelles + et vers l’anneau
),,( R
.
Définition :
De même que dans les groupes, on définit pour un morphisme de
),,( A
vers
),,( B
l’image de par
)(),(Im AAxx
et le noyau de par
B
xAx 0)(,ker 
(c’est le noyau du morphisme de groupes correspondant)
Ici encore,
Im
et
ker
sont des sous anneaux respectivement de
),,( B
et
),,( A
(la démonstration est quasiment la même que pour les groupes)
Proposition :
Si est un morphisme d’anneaux de
),,( A
vers
),,( B
, et si
'A
est un sous anneau
de A, alors
)'(A
est un sous anneau de B.
Démonstration :
Evident en considérant
'/
Im A
Proposition, définition :
Si est un morphisme d’anneaux de
),,( A
vers
),,( B
, et si est bijectif, alors
1
est un morphisme d’anneaux bijectif de
),,( B
vers
),,( A
. On dit alors que est un
isomorphisme d’anneaux.
Démonstration :
Se baser toujours sur les morphismes de groupes.

IV Compléments
A) Eléments inversibles
Définition :
Soit A un anneau non réduit à
0
.
Un élément x de A est inversible lorsqu’il existe
Ax'
tel que
A
xxxx 1'' 
.
Proposition, définition :
Si x est inversible, alors il existe un unique
Ax'
tel que
A
xxxx 1'' 
. On
l’appelle l’inverse de x, et on le note
1
x
.
Proposition :
L’ensemble
*A
des éléments inversibles de A forme un groupe pour .
Démonstration :
- Pour tous
*, Ayx 
,
*Axy
. En effet :
A
xyxyxxyy 1
1111  
, donc
*Axy
et
111
)(  xyxy
- est associative.
-
*1 A
A
et est neutre pour
- Si
*Ax
, alors évidemment
*
1Ax 
et est symétrique de x pour .
B) Anneau intègre
Soit
),,( A
un anneau quelconque.
Il est faux en général que, pour
Aba ,
:
AAA baab 0ou 00 
.
Un élément a tel qu’il existe
A
b0
de sorte que
A
ab 0
s’appelle un diviseur de
A
0
(
A
0
est donc un diviseur de
A
0
, puisque on a même pour tout
A
b0
,
AAb00 
)
Définition :
Soit
),,( A
un anneau. On dit que A est intègre lorsque :
(1) A n’est pas réduit à
0
.
(2) A est commutatif.
(3) A n’admet pas de diviseur de
A
0
autre que
A
0
, c'est-à-dire :
AAA yxxyAyx 0ou 00,, 
.
Exemples :
Z est intègre.
),( RRF
ne l’est pas.
Attention :
Dans un anneau où il y a des diviseurs de
A
0
autres que
A
0
(c'est-à-dire non
intègre), les éléments non nuls de A ne sont pas toujours réguliers pour x :
En effet :
AA cbaacabacab 0)(0 
Ce qui peut arriver même si
A
a0
et
A
cb 0
.