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Fonctions d’une variable
I Introduction
I. 1 Variables, constantes
I. 2 Fonction
II Caractérisation des fonctions rencontrées en
économie
II. 1 Domaine de définition économique
II. 2 Fonctions rencontrées en économie
III Opérations sur les fonctions : le cas particulier de la
Composition de fonctions
IV Propriétés
IV. 1 Limites, Continuité
IV. 2 Sens de variation
IV. 3 Taux de variation
V Dérivées
V. 1 Définition de la dérivée
V. 2 Fonctions dérivées
V. 3 Interprétation géométrique
V. 4 La dérivée en économie
V. 5 Dérivation d’une fonction composée
VI Applications de la notion de dérivée
VI. 1 Croissance et signe de la dérivée
VI. 2 Existence d’un extremum
VI. 3 Élasticité
VI. 4 Application à l’étude des fonctions

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I. Introduction
Dans le langage courant, le mot fonction est fréquemment
employé : fonction publique, fonction digestive, quitter ses
fonctions, etc.
En mathématiques, en Sciences Physiques ou en
Economie, les grandeurs mesurées ne sont pas seulement
envisagées du point de vue de leur mesure directe, mais de
leur dépendance vis à vis d’autres grandeurs. Cette
dépendance conduit à la notion de fonction.

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Exemple I.1:
Le salaire d’une vendeuse comporte une partie fixe de 1 500 €
et une partie proportionnelle de taux 2% au Chiffre d’Affaires.
Soit S le salaire et x le montant du Chiffre d’Affaires.
S = 1 500 + 0,02 x
Le salaire S est fonction du chiffre d’affaires x.
Remarque I.1: du fait de leur signification, x et s sont positifs.
En utilisant des notations mathématiques classiques,
f : [0, + [→ [0, + [
x → S = f(x)

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L’ordonnée à l’origine est 1 500.
Le coefficient directeur de la droite est 0,02.

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Exemple I. 2 :
Le bénéfice d’une salle de cinéma résulte de la différence entre
les recettes, directement proportionnelles au nombre d’entrées
réalisées – si le tarif d’entrée est unique – et un coût
d’exploitation , fixe pour un film donné. On peut décrire cette
situation grâce à une fonction.
On appelle B le bénéfice, C le coût fixe d’exploitation pour le
film, p le prix de chaque billet vendu et n le nombre de billets
vendus.
B = p n – C
C et p sont des constantes du problème, n une variable.
Ainsi, la relation précédente indique que B est fonction de n et
on peut l’écrire B = f ( n ). Ainsi, on a modélisé le problème,
grâce à une fonction.
Remarque I. 2 : La fonction B = f( n ) est dans ce cas une
fonction linéaire. Elle a pour représentation graphique une
portion de droite, puisque n est toujours un entier positif.
Application numérique :