Nombres et Calculs

Chapitre 1 :Nombres et Calculs
I Vocabulaire :
{1; 2; 3; 8; -25} est un ensemble
On écrit 3 {1; 2; 3; 8; -25} et on lit « 3 appartient à l’ensemble{1; 2; 3; 8; -25} »
On écrit 56 {1; 2; 3; 8; -25} et on lit « 56 n’appartient pas à l’ensemble{1; 2; 3; 8; -25} »
On écrit {1; 2} {1; 2; 3; 8; -25} et on lit « l’ensemble {1; 2} est inclus dans l’ensemble {1;
2; 3; 8; -25}
II Les ensembles de nombres :
a) Les entiers
Def : N désigne l’ensemble des entiers naturels. N ={0;1 ;2 ;3 ;4;…}
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs. Z ={…;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;…}
Exemples : 3 N ; Et 3,5 N
On a N Z
b) Les décimaux
Def : D désigne l’ensemble des nombres qui sont le quotient d’un entier par 10k où k est un
entier naturel.
Rq : En d’autres termes un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule
avec une partie décimale qui a un nombre fini de chiffres non nuls
Exemples : 3.52 est un nombre décimal ; Les entiers sont des décimaux par conséquent on a
Z D
c) Les rationnels
Def : Un nombre rationnel est un quotient a/b avec a et b des entiers relatifs (b≠0). Q est
l’ensemble des rationnels.
Exemples : 3/2 ; -5/4 sont des rationnels.
Tous les décimaux sont rationnels ; 3,52= 352/100
Par contre il existe des rationnels non décimaux comme 1/3
Par conséquent on a D Q
d) Les réels
Def : Les rationnels et les irrationnels constituent l’ensemble des réels noté R.
R est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
,2
sont des irrationnels. On a Q R

e) Représentation de ces ensembles
III Calculs dans R :
a) Egalités remarquables
Propriété : Soient a et b deux réels
(a+b)2 =a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =a2- 2ab + b2
(a-b)(a+b)=a2-b2
On peut juste remarquer que les identités remarquables que l’on a étudiées au collège sont
aussi valables pour tout réel.
On peut donner des exemples en remplaçant a ou b par des radicaux, des irrationnels…
b) Racines carrées
Def : Soit a un nombre réel positif. On note
a
l’unique nombre réel positif dont le carré
est égal à a.
Exemples :
749 
car 72=49
Remarque : On a vu que
414.12 
en effet en utilisant la définition 1.4142 2
Propriétés : Soient a et b des réels positifs
i)
0a
et
0a
signifie que a=0
ii)
aa 
2
iii)
aa 
2
iv)
baab 
v) Si de plus b>0
b
a
b
a
N
Z
D
Q
R

c) Puissances
Def : Soit a un réel quelconque. Pour n entier et
2n
aaan 
n est appelé l’exposant de an.
Rq : a0=1 et a1=a
Propriétés : Soient a et b des réels non nuls et n et p des entiers relatifs.
i)
pnpn aaa 
iv)
pn
p
naa 
ii)
pn
p
na
a
a
v)
nn
nbaab 
iii)
n
na
a1
vi)
n
n
n
b
a
b
a
d) Ecriture scientifique d’un nombre décimale
Def : La notation scientifique d’un nombre décimal positif est son écriture sous la forme
p
a10
avec
Zp 
et a est un décimal tel que
101 a
Exemple :
2
105,6065,0 
3
1005,400405,0 
e) Ecriture d’un réel sans radical au dénominateur
Méthodes pour écrire les nombres suivant sans radical au dénominateur :
b
a
on le multiplie par
b
b
cb
a
on le multiplie par
cb
cb
cb
a
on le multiplie par
cb
cb
Exemples d’applications :
Exprimer sans radical au dénominateur les nombres suivants :
332
3
32
3
3
3
2
3
22
4353
15
353
15
15
15
3
15
3
2
2
n facteurs

2232
23
2232
23
23
23
2
23
222 
IV Opérations dans l’ensemble des rationnels :
Rq : Dans le tableau suivant on considère que les dénominateurs sont non nuls.
Signes -
b
a
b
a
ba
et
b
a
b
a
Simplification
b
a
bk ak 
si
0k
Egalité
d
c
b
a
se traduit par
cdad 
Addition
dba d
b
d
a
bdbcad d
c
b
a
Multiplication
b
ka
b
a
k
et
bd
ac
d
c
b
a
Division
a
b
b
a
1
et
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
Exemples d’applications :
a)
3
1
2
3
1
2
b)
5
2
3
15
2
6
c)
15
27
21
16
4
3
d)
3
4
5
2
6
5
4
3
2
V Valeurs approchées d’un nombre réel :
a) Arrondi et troncature
Def : (Troncature) On supprime les décimales qui suivent.

Def : (Arrondi) On conserve la décimale si la suivante est 0, 1, 2, 3, 4 ; et on ajoute 1 si la
suivante est 5, 6, 7, 8, 9
A l’aide de ces définitions compléter le tableau suivant : (On pourra s’aider de la calculatrice)
Nombres
4,2586714
...4285714,6
7
45 
..4142135,12 
..141592,3
Troncature à 2
chiffres
4,25
6,42
1,14
3,14
Troncature à 5
chiffres
4,25867
6,42857
1,41421
3,14159
Arrondi à 10-2
4,26
6,43
1,41
3,14
Arrondi à 10-5
4,25867
6,42857
1,41421
3,14159
b) Ordre de grandeur
Def : L’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur approchée (Arrondie) de ce nombre de la
forme
n
b10
ou
n
b10
où
Zn
et b est un entier tq
101 b
Exemples :
3 537 655 son ordre de grandeur est
6
104
3 137 655 son ordre de grandeur est
6
103
5
1030
son ordre de grandeur est
6
103
0,067 son ordre de grandeur est
2
107
6
10011,0 
son ordre de grandeur est
8
101
Rq : Pour obtenir l’ordre de grandeur d’un nombre dont on connaît l’écriture scientifique il
suffit d’arrondir le décimal à l’entier le plus proche.
Ex : Ecriture scientifique d’un nombre :
6
102357,2 
L’ordre de grandeur de ce nombre est :
6
102
VI Nombres premiers :
1) Définition et premiers exemples :
Def : Un entier naturel est premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
0 est-il premier ?
1 est-il premier ?
2 est-il premier ?
Y’a-t-il d’autres nombres premiers pairs ? Si non pourquoi ?