Nombres et Calculs
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Chapitre 1 :Nombres et Calculs
I Vocabulaire :
{1; 2; 3; 8; -25} est un ensemble
On écrit 3 {1; 2; 3; 8; -25} et on lit « 3 appartient à l’ensemble{1; 2; 3; 8; -25} »
On écrit 56 {1; 2; 3; 8; -25} et on lit « 56 n’appartient pas à l’ensemble{1; 2; 3; 8; -25} »
On écrit {1; 2} {1; 2; 3; 8; -25} et on lit « l’ensemble {1; 2} est inclus dans l’ensemble {1;
2; 3; 8; -25}
II Les ensembles de nombres :
a) Les entiers
Def : N désigne l’ensemble des entiers naturels. N ={0;1 ;2 ;3 ;4;…}
Z désigne l’ensemble des entiers relatifs. Z ={…;-3 ;-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;3 ;…}
Exemples : 3 N ; Et 3,5 N
On a N Z
b) Les décimaux
Def : D désigne l’ensemble des nombres qui sont le quotient d’un entier par 10k où k est un
entier naturel.
Rq : En d’autres termes un nombre décimal peut s’écrire sous la forme d’un nombre à virgule
avec une partie décimale qui a un nombre fini de chiffres non nuls
Exemples : 3.52 est un nombre décimal ; Les entiers sont des décimaux par conséquent on a
ZD
c) Les rationnels
Def : Un nombre rationnel est un quotient a/b avec a et b des entiers relatifs (b≠0). Q est
l’ensemble des rationnels.
Exemples : 3/2 ; -5/4 sont des rationnels.
Tous les décimaux sont rationnels ; 3,52= 352/100
Par contre il existe des rationnels non décimaux comme 1/3
Par conséquent on a D Q
d) Les réels
Def : Les rationnels et les irrationnels constituent l’ensemble des réels noté R.
R est l’ensemble des abscisses des points d’une droite graduée.
2 , sont des irrationnels. On a Q R
e) Représentation de ces ensembles
R
Q
D
Z
N
III Calculs dans R :
a) Egalités remarquables
Propriété : Soient a et b deux réels
(a+b)2 =a2+ 2ab + b2
(a-b)2 =a2- 2ab + b2
(a-b)(a+b)=a2-b2
On peut juste remarquer que les identités remarquables que l’on a étudiées au collège sont
aussi valables pour tout réel.
On peut donner des exemples en remplaçant a ou b par des radicaux, des irrationnels…
b) Racines carrées
Def : Soit a un nombre réel positif. On note
est égal à a.
a l’unique nombre réel positif dont le carré
Exemples : 49 7 car 72=49
Remarque : On a vu que 2 1.414 en effet en utilisant la définition 1.4142 2
Propriétés : Soient a et b des réels positifs
i) a 0 et a 0 signifie que a=0
ii)
a
iii)
iv)
2
a
a2 a
ab a b
v) Si de plus b>0
a
b
a
b
c) Puissances
Def : Soit a un réel quelconque. Pour n entier et n 2 a n a a
n est appelé l’exposant de an.
n facteurs
Rq : a0=1 et a1=a
Propriétés : Soient a et b des réels non nuls et n et p des entiers relatifs.
n
p
n p
i) a a a
a n p
ab n
an bn
iv) a
an
n p
ii) p a
a
1
n
iii) a n
a
v)
n p
n
an
a
vi) n
b
b
d) Ecriture scientifique d’un nombre décimale
Def : La notation scientifique d’un nombre décimal positif est son écriture sous la forme
a 10 p avec p Z et a est un décimal tel que 1 a 10
Exemple : 0,065 6,5 10 2
0,00405 4,05 10 3
e) Ecriture d’un réel sans radical au dénominateur
Méthodes pour écrire les nombres suivant sans radical au dénominateur :
a
b
a
b
on le multiplie par
b
b c
on le multiplie par
b c
a
b c
on le multiplie par
b c
b c
b c
Exemples d’applications :
Exprimer sans radical au dénominateur les nombres suivants :
2
2
3
2 3
2 3
2
3
3
3
3
3
3
5 1
3
5 1
5 1
5 1
3 5 3
5
2
1
2
3 5 3
4
2
3 2
2
3 2
3 2
3 2
2 32 2
3 2
2
2
2 32 2
IV Opérations dans l’ensemble des rationnels :
Rq : Dans le tableau suivant on considère que les dénominateurs sont non nuls.
Signes -
a
a
a
a a
et
b
b
b
b b
Simplification
ka a
si k 0
k b b
Egalité
a c
se traduit par ad cd
b d
Addition
a b ab
d d
d
a c ad bc
b d
bd
k
Multiplication
a
1 b
a d ad
et b
a a
c b c bc
d
b
Division
Exemples d’applications :
1
2
2
6
3
5
a)
b)
1
1 2
2
3
3 5
a ka
a c ac
et
b b
b d bd
c)
3 16 27
4 21 15
V Valeurs approchées d’un nombre réel :
a) Arrondi et troncature
Def : (Troncature) On supprime les décimales qui suivent.
2 4
6
3 5
d)
2 4
5 3
Def : (Arrondi) On conserve la décimale si la suivante est 0, 1, 2, 3, 4 ; et on ajoute 1 si la
suivante est 5, 6, 7, 8, 9
A l’aide de ces définitions compléter le tableau suivant : (On pourra s’aider de la calculatrice)
4,2586714
45
6,4285714...
7
4,25
6,42
1,14
3,14
4,25867
6,42857
1,41421
3,14159
Arrondi à 10-2
4,26
6,43
1,41
3,14
Arrondi à 10-5
4,25867
6,42857
1,41421
3,14159
Nombres
Troncature à 2
chiffres
Troncature à 5
chiffres
2 1,4142135..
3,141592..
b) Ordre de grandeur
Def : L’ordre de grandeur d’un nombre est la valeur approchée (Arrondie) de ce nombre de la
forme b 10 n ou b 10 n où n Z et b est un entier tq 1 b 10
Exemples :
3 537 655 son ordre de grandeur est 4 10 6
3 137 655 son ordre de grandeur est 3 10 6
30 10 5 son ordre de grandeur est 3 10 6
0,067 son ordre de grandeur est 7 10 2
0,011 10 6 son ordre de grandeur est 1 10 8
Rq : Pour obtenir l’ordre de grandeur d’un nombre dont on connaît l’écriture scientifique il
suffit d’arrondir le décimal à l’entier le plus proche.
Ex : Ecriture scientifique d’un nombre : 2,2357 10 6
L’ordre de grandeur de ce nombre est : 2 10 6
VI Nombres premiers :
1) Définition et premiers exemples :
Def : Un entier naturel est premier s’il n’admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
0 est-il premier ?
1 est-il premier ?
2 est-il premier ?
Y’a-t-il d’autres nombres premiers pairs ? Si non pourquoi ?
2) Recherche des nombres premiers jusqu’à 100
On va utiliser le crible d’Erathostème :
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
3) Décomposition en produit de nombres premiers
Thm : Tout entier naturel supérieur ou égal à 2, est un nombre premier ou bien se décompose
de manière unique en produit de nombres premiers.
Ex : 10 2 5
39 3 13
2700 2 2 33 5 2
630 2 3 2 5 7
Exercice d’application :
Rendre une fraction irréductible.
Calculer le pgcd de deux nombres…
