Modèle mathématique. - Collège Les Grands Champs
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3ème Fiche méthode : Comment démontrer en géométrie Comment démontrer que … … un quadrilatère est un parallélogramme Propriétés … un quadrilatère est un losange … un quadrilatère est un rectangle … un quadrilatère est un carré … un triangle est isocèle … un triangle est équilatéral … un triangle est rectangle Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu alors c’est un parallélogramme. Si deux vecteurs sont égaux alors ils définissent un parallélogramme. Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors c’est un losange. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu et qui sont perpendiculaires alors c’est un losange. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors c’est un losange. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors c’est un losange. Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu et sont de même longueur alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors c’est un rectangle. Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle droit alors c’est un carré. Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu , sont perpendiculaires et sont de même longueur alors c’est un carré. Si un losange a un angle droit alors c’est un carré. Si un losange a deux diagonales de même longueur alors c’est un carré. Si un rectangle a deux côtés consécutifs égaux alors c’est un carré. Si un triangle a deux côtés de même mesure alors c’est un triangle isocèle. Si un triangle a deux angles égaux alors c’est un triangle isocèle. Si deux droites remarquables (médiane, médiatrice, bissectrice ou hauteur) sont confondues alors c’et un triangle isocèle. Si les trois côtés du triangle ont même longueur alors c’est un triangle équilatéral. Si deux angles du triangle mesurent 60° alors c’est un triangle équilatéral. Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors c’est un triangle équilatéral. Voir deux droites perpendiculaires Comment démontrer que … … une droite est médiatrice Propriétés … deux droites sont parallèles … deux droites sont perpendiculaires (triangle rectangle) … un point est le milieu d’un segment Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce segment. Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment. Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite alors elles sont parallèles entre elles. Si deux droites forment avec une droite sécante des angles correspondants (alternes internes ou alternes externes) de même mesure alors ces deux droites sont parallèles. Si deux droites ont le même coefficient directeur alors elles sont parallèles. Dans un triangle, si une droite passant par les milieux de deux côtés alors elle est parallèle au troisième côté. La réciproque du théorème de Thalès. Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Si une droite est médiatrice ou hauteur alors elle est perpendiculaire au segment. Si les deux droites sont les diagonales d’un losange ou d’un carré alors elles sont perpendiculaires. Si un point A est sur le cercle de diamètre [BC], distinct de B et de C, alors le triangle ABC est rectangle en A. La réciproque du théorème de Pythagore. Si un point est l’intersection d’un segment et de sa médiatrice alors il est le milieu du segment. Dans un triangle, si un point est l’intersection d’un côté et de la médiane relative à ce côté alors il est le milieu de ce côté. Dans un triangle isocèle (équilatéral), si un point est l’intersection de la base et d’une droite remarquable (hauteur, médiatrice, médiane ou bissectrice) relative à ce côté alors il est le milieu de ce côté. Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième côté en son milieu. Si un point est le centre d’une symétrie alors il est le milieu du segment joignant un point et son image. Comment calculer … … une longueur Propriétés … la mesure d’un angle La longueur cherchée est la somme ou la différence de deux longueurs. La longueur cherchée est la moitié ou le double d’une longueur connue (voir milieu). Penser à utiliser toutes les propriétés des figures particulières (cercle triangle, parallélogramme, losange, rectangle ou carré). Penser à utiliser les propriétés des droites remarquables (médiane, médiatrice ou bissectrice). Les transformations du plan conservent les longueurs. Le théorème de Pythagore. Le théorème de Thalès. La trigonométrie dans un triangle rectangle (cosinus, sinus ou tangente). Dans un triangle, la somme des angles mesurent 180°. Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure. Si deux angles sont alternes- internes, alternes-externes ou correspondants et que les droites sont parallèles alors ils ont la même mesure. Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même mesure. Les transformations du plan conservent la mesure des angles. La trigonométrie dans un triangle rectangle (cosinus, sinus ou tangente).
