Modèle mathématique. - Collège Les Grands Champs

3ème Fiche méthode : Comment démontrer en géométrie
Comment démontrer que …
Propriétés
… un quadrilatère est un
parallélogramme
 Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux
alors c’est un parallélogramme.
 Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même
longueur alors c’est un parallélogramme.
 Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu alors
c’est un parallélogramme.
 Si deux vecteurs sont égaux alors ils définissent un
parallélogramme.
… un quadrilatère est un losange
 Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors
c’est un losange.
 Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu et qui
sont perpendiculaires alors c’est un losange.
 Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors
c’est un losange.
 Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors
c’est un losange.
… un quadrilatère est un rectangle
 Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle.
 Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu et sont
de même longueur alors c’est un rectangle.
 Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.
 Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors
c’est un rectangle.
… un quadrilatère est un carré
 Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle
droit alors c’est un carré.
 Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu , sont
perpendiculaires et sont de même longueur alors c’est un carré.
 Si un losange a un angle droit alors c’est un carré.
 Si un losange a deux diagonales de même longueur alors c’est
un carré.
 Si un rectangle a deux côtés consécutifs égaux alors c’est un
carré.
… un triangle est isocèle
 Si un triangle a deux côtés de même mesure alors c’est un
triangle isocèle.
 Si un triangle a deux angles égaux alors c’est un triangle isocèle.
 Si deux droites remarquables (médiane, médiatrice, bissectrice
ou hauteur) sont confondues alors c’et un triangle isocèle.
… un triangle est équilatéral
 Si les trois côtés du triangle ont même longueur alors c’est un
triangle équilatéral.
 Si deux angles du triangle mesurent 60° alors c’est un triangle
équilatéral.
 Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors c’est un triangle
équilatéral.
… un triangle est rectangle
 Voir deux droites perpendiculaires

Comment démontrer que …
Propriétés
… une droite est médiatrice
 Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son
milieu alors c’est la médiatrice de ce segment.
 Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités
d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
… deux droites sont parallèles
 Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors
elles sont parallèles entre elles.
 Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième
droite alors elles sont parallèles entre elles.
 Si deux droites forment avec une droite sécante des angles
correspondants (alternes internes ou alternes externes) de même
mesure alors ces deux droites sont parallèles.
 Si deux droites ont le même coefficient directeur alors elles sont
parallèles.
 Dans un triangle, si une droite passant par les milieux de deux
côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
 La réciproque du théorème de Thalès.
… deux droites sont
perpendiculaires
(triangle rectangle)
 Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire
à l’une est perpendiculaire à l’autre.
 Si une droite est médiatrice ou hauteur alors elle est
perpendiculaire au segment.
 Si les deux droites sont les diagonales d’un losange ou d’un
carré alors elles sont perpendiculaires.
 Si un point A est sur le cercle de diamètre [BC], distinct de B et
de C, alors le triangle ABC est rectangle en A.
 La réciproque du théorème de Pythagore.
… un point est le milieu d’un
segment
 Si un point est l’intersection d’un segment et de sa médiatrice
alors il est le milieu du segment.
 Dans un triangle, si un point est l’intersection d’un côté et de la
médiane relative à ce côté alors il est le milieu de ce côté.
 Dans un triangle isocèle (équilatéral), si un point est
l’intersection de la base et d’une droite remarquable (hauteur,
médiatrice, médiane ou bissectrice) relative à ce côté alors il est
le milieu de ce côté.
 Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et
est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième
côté en son milieu.
 Si un point est le centre d’une symétrie alors il est le milieu du
segment joignant un point et son image.

Comment calculer …
Propriétés
… une longueur
 La longueur cherchée est la somme ou la différence de deux
longueurs.
 La longueur cherchée est la moitié ou le double d’une longueur
connue (voir milieu).
 Penser à utiliser toutes les propriétés des figures particulières
(cercle triangle, parallélogramme, losange, rectangle ou carré).
 Penser à utiliser les propriétés des droites remarquables
(médiane, médiatrice ou bissectrice).
 Les transformations du plan conservent les longueurs.
 Le théorème de Pythagore.
 Le théorème de Thalès.
 La trigonométrie dans un triangle rectangle (cosinus, sinus ou
tangente).
… la mesure d’un angle
 Dans un triangle, la somme des angles mesurent 180°.
 Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même
mesure.
 Si deux angles sont alternes- internes, alternes-externes ou
correspondants et que les droites sont parallèles alors ils ont la
même mesure.
 Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même
mesure.
 Les transformations du plan conservent la mesure des angles.
 La trigonométrie dans un triangle rectangle (cosinus, sinus ou
tangente).