Modèle mathématique. - Collège Les Grands Champs

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3ème
Fiche méthode : Comment démontrer en géométrie
Comment démontrer que …
… un quadrilatère est un
parallélogramme
Propriétés
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… un quadrilatère est un losange
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… un quadrilatère est un rectangle
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… un quadrilatère est un carré
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… un triangle est isocèle
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… un triangle est équilatéral
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… un triangle est rectangle
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Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles deux à deux
alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même
longueur alors c’est un parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu alors
c’est un parallélogramme.
Si deux vecteurs sont égaux alors ils définissent un
parallélogramme.
Si un quadrilatère a ses quatre côtés de même longueur alors
c’est un losange.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu et qui
sont perpendiculaires alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs égaux alors
c’est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors
c’est un losange.
Si un quadrilatère a trois angles droits alors c’est un rectangle.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu et sont
de même longueur alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur alors
c’est un rectangle.
Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur et un angle
droit alors c’est un carré.
Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont même milieu , sont
perpendiculaires et sont de même longueur alors c’est un carré.
Si un losange a un angle droit alors c’est un carré.
Si un losange a deux diagonales de même longueur alors c’est
un carré.
Si un rectangle a deux côtés consécutifs égaux alors c’est un
carré.
Si un triangle a deux côtés de même mesure alors c’est un
triangle isocèle.
Si un triangle a deux angles égaux alors c’est un triangle isocèle.
Si deux droites remarquables (médiane, médiatrice, bissectrice
ou hauteur) sont confondues alors c’et un triangle isocèle.
Si les trois côtés du triangle ont même longueur alors c’est un
triangle équilatéral.
Si deux angles du triangle mesurent 60° alors c’est un triangle
équilatéral.
Si un triangle isocèle a un angle de 60° alors c’est un triangle
équilatéral.
Voir deux droites perpendiculaires
Comment démontrer que …
… une droite est médiatrice
Propriétés
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… deux droites sont parallèles
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… deux droites sont
perpendiculaires
(triangle rectangle)
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… un point est le milieu d’un
segment
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Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son
milieu alors c’est la médiatrice de ce segment.
Si une droite passe par deux points équidistants des extrémités
d’un segment alors c’est la médiatrice de ce segment.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième droite alors
elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième
droite alors elles sont parallèles entre elles.
Si deux droites forment avec une droite sécante des angles
correspondants (alternes internes ou alternes externes) de même
mesure alors ces deux droites sont parallèles.
Si deux droites ont le même coefficient directeur alors elles sont
parallèles.
Dans un triangle, si une droite passant par les milieux de deux
côtés alors elle est parallèle au troisième côté.
La réciproque du théorème de Thalès.
Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire
à l’une est perpendiculaire à l’autre.
Si une droite est médiatrice ou hauteur alors elle est
perpendiculaire au segment.
Si les deux droites sont les diagonales d’un losange ou d’un
carré alors elles sont perpendiculaires.
Si un point A est sur le cercle de diamètre [BC], distinct de B et
de C, alors le triangle ABC est rectangle en A.
La réciproque du théorème de Pythagore.
Si un point est l’intersection d’un segment et de sa médiatrice
alors il est le milieu du segment.
Dans un triangle, si un point est l’intersection d’un côté et de la
médiane relative à ce côté alors il est le milieu de ce côté.
Dans un triangle isocèle (équilatéral), si un point est
l’intersection de la base et d’une droite remarquable (hauteur,
médiatrice, médiane ou bissectrice) relative à ce côté alors il est
le milieu de ce côté.
Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté et
est parallèle à un deuxième côté alors elle coupe le troisième
côté en son milieu.
Si un point est le centre d’une symétrie alors il est le milieu du
segment joignant un point et son image.
Comment calculer …
… une longueur
Propriétés
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… la mesure d’un angle
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La longueur cherchée est la somme ou la différence de deux
longueurs.
La longueur cherchée est la moitié ou le double d’une longueur
connue (voir milieu).
Penser à utiliser toutes les propriétés des figures particulières
(cercle triangle, parallélogramme, losange, rectangle ou carré).
Penser à utiliser les propriétés des droites remarquables
(médiane, médiatrice ou bissectrice).
Les transformations du plan conservent les longueurs.
Le théorème de Pythagore.
Le théorème de Thalès.
La trigonométrie dans un triangle rectangle (cosinus, sinus ou
tangente).
Dans un triangle, la somme des angles mesurent 180°.
Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même
mesure.
Si deux angles sont alternes- internes, alternes-externes ou
correspondants et que les droites sont parallèles alors ils ont la
même mesure.
Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils ont la même
mesure.
Les transformations du plan conservent la mesure des angles.
La trigonométrie dans un triangle rectangle (cosinus, sinus ou
tangente).
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