Leçon 1- Nombres entiers. Diviseurs- Multiples

IES « CORONA DE ARAGÓN » 2º ESO Mathématiques 1
Leçon 1- Nombres entiers. Diviseurs- Multiples
VOCABULAIRE
Abscisse
Addition
Nombre relatif
Grandeur
Soustraction
Produit
Multiplication
Division
Quotient
Parenthèse
Diviseurs
Multiples
Nombres premiers
10 est divisible par 5
Caractères de divisibilité
Diviseurs communs
Le plus grand commun diviseur PGCD
Le plus petit commun multiple PPCM
Décomposition en facteurs premiers
Tous les diviseurs d’un nombre naturel
Dépense
Outil
Enlever
Ajouter
Abcisa
Suma
Número entero (positivo o negativo)
Magnitud
Resta
Producto
Multiplicación
División
cociente
El paréntesis
Divisores
Múltiplos
Números primos
10 es divisible entre 5
Criterios de divisibilidad
Divisores comunes
Máximo común divisor
Mínimo común múltiplo
Descomposición en factores primos
Todos los divisores de un número
Gasto
Herramienta
Quitar (en el sentido de restar)
Sumar, añadir
La division euclidienne (recherche)
a) Transforme en minutes.
2h 15 min =
5h 12 min =
7h 35min =
15h 15 min =
27h 58 min =
b) Transforme en heures et minutes (mentalement ou avec la calculatrice)
78 min =…. 1235 min = ….
134 min = …. 3645 min = ….
243 min = ……. 783 min = …..
357 min = …. 851 min = ….

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675 min = …. 971 min = ….
c) Écris les différents calculs qui te permettent de transformer 971 minutes en heures et
minutes.
Écris une égalité semblable à celle proposée mais sans utiliser les unités.
971 min = 16 h 11 min 971 = ……………
d) Dans chaque cas, complète la première égalité, puis transforme-la sans utiliser les
unités.
133 min = ……….h ………min 133 =
180 min = ……….h ………min 180 =
215 min = ……….h ………min 215 =
250 min = ……….h ………min 250 =
719 min = ……….h ………min 719 =
e) Complète le tableau en utilisant des nombres naturels.
dividende
diviseur
quotient
reste
égalité
72
5
14
2
72=5.14+2
109
25
137
9
202
20
120
17
En désignant le dividende par a, le diviseur par b, le quotient par q et le reste par r,
trouve une égalité reliant ces quatre nombres
D= d·c+r
d
r
c
d
D
Lorsque a est un multiple de b et de reste dans la division euclidienne de a par b est
nul, on dit que a est divisible par b.
Exemple: 18= 6 x 3 18 est un multiple de 6
18 est divisible par 6
6 est un diviseur de 18
Un nombre entier est divisible par 2 s’il termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
Un nombre entier est divisible par 5 s’il termine par 0 ou 5.
Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Un nombre entier est divisible par 11 si la différence entre la somme des chiffres de
rang pair et la somme des chiffres de rang impair est un multiple de 11.
Outils pour le calcul de nombres relatifs
1. Notation simplifiées de l’addition et de la soustraction
Pour passer aux notations simplifiées dans une suite d’additions et soustractions :

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On garde le signe intérieur pour les parenthèses précédées de signe +
Exemple : +(-5) = -5 ; +(+5) =+5
On change le signe intérieur pour les parenthèses précédées de signe –
Exemple : -(-5) = +5 ; -(+5) =-5
2. Règle de calcule pour l’addition et la soustraction.
Pour faire la somme de deux nombres relatifs on les écrit d’abord en forme simplifiée et
après :
Si les nombres, dans leur forme simplifiée, ont le même signe on fait la somme
des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.
(+3)+(+7) = +3+7 = +10
(-4)+(-6) = -4-6 = -10
Si les nombres, dans leur forme simplifiée, n’ont pas le même signe on fait la
différence des parties numériques et on ajoute le signe du plus grand d’entre eux
au résultat.
(+6)+(-4) =+6-4 = +2
(+6)+(-8) =+6-8 = -2
Pour faire la soustraction de deux nombres relatifs on les écrit d’abord en forme
simplifiée et après :
Si les nombres, dans leur forme simplifiée, ont le même signe on fait la somme
des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.
(+3)-(-7) = +3+7 = +10
(-4)-(+6) = -4-6 = -10
Si les nombres, dans leur forme simplifiée, n’ont pas le même signe on fait la
différence des parties numériques et on ajoute ce signe au résultat.
(+6)-(+4) =+6-4 = +2
(+6)-(+8) =+6-8 = -2
3. Règle des signes pour les produits et les quotients
Le produit de deux nombres positifs est un nombre positif.
(+4)·(+5) = 4·5 = +20
Le produit de deux nombres négatifs est un nombre positif.
(-4)·(-5) = +20
Le produit d’un nombre positif par un nombre négatif est un nombre négatif.
(-4)·(+5) = -20
(+4)·(-5) = +20
Le quotient de deux nombres positifs est un nombre positif.
8
5
40 
Le quotient de deux nombres négatifs est un nombre positif.
8
5
40 
Le quotient d’un nombre positif et d’un nombre négatif est un nombre négatif.
8
5
40 
où bien
8
5
40 

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4. Règles de calcul avec parenthèses
a. On effectue d’abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses
les plus intérieures.
(9 + (5-6+1))· (4-9) = (9+0)· (-5) = (+9) · (-5) = -45
b. Dans une expression sans parenthèses on effectue les multiplications et les divisions
avant que les sommes et les soustractions.
5 + 5·3 – 2 – 5·6 + 7·8 = 5+15-2-30+56 = -10-2-30+56 = -12-30+56 = -42+56 = 14
c. Dans une expression sans parenthèses où on n’a que des addictions et des
soustractions, on effectue les calculs de la gauche à la droite.
5-15-2-30+56 = -10-2-30+56 = -12-30+56 = -42+56 = 14
d. Lorsqu’on a un quotient où le numérateur (ou le dénominateur) ont la forme d’une
expression, on procède comme si ce numérateur était écrit entre parenthèses.
375 )85(·3)215(9
=
32 )3·(3139
=
194
=
1
13
= -13
e. Pour remplacer une multiplication « compliquée » pour une multiplication « simple »
selon les valeurs concernées.
7·(6+2) = 7· 6 + 7·2 = 42+14 = 56 7·(6-2) = 7· 6 – 7·2 = 42-14 = 28
K · (a+b) = (k · a) + (k · b ) et K · (a-b) = (k · a) - (k · b )
5. Puissance des nombres entiers relatifs
Les nombres relatifs sont l’ensemble des nombres positifs et négatifs. Nous avons déjà
étudié la puissance des nombres entiers positifs.
Rappelons :
La répétition d’un même facteur devrait normalement s’exprimer comme une
puissance : l’écriture 5 x 5 concentrée en « 52 » devrait se lire « 5 exposant 2 » ou « 5
puissance 2 » alors qu’on dira plus volontiers « le carré de 5 » ou encore « 5 au carré »
pour 52 .
Mais il faut faire attention
(-3)2 moins trois au carré
-32 moins, trois puissance deux
Puissance avec une base positifs
25)(5
)(exp2
base
osant
Par convention
)0(1
0 aaveca
Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (5) répétés 2 fois (l´exposant) :
5552
On lit : a2 « a carré » ou « a au carré »

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a3 « a cube » ou « a au cube »
an « a exposant n » ou « a puissance n »
PROPRIÉTÉS DES PUISSANCES
a. Puissance d’un Produit: est égale au produit de la puissance des facteurs.
b. (a . b)n = an . bn (a . b)5=a5 . b5 (3 . 8)4=34 . 84
c. Puissance d’une Division: est égale à la division des puissances.
d. (a : b)n = an : bn (a : b)5=a5 : b5 (3 : 8)4=34 : 84
e. Puissance d’autre puissance: est une puissance avec la même base et qui a par
exposant le produit des exposants.
mn
m
naaaaa   ; 1535
3
5
f. L’addition et la soustraction n´ont pas de propriétés. Exemple :
g. (4+3)2
42 + 32 puisque (4+3)2 = 72 = 49 et 42+32 = 16+9 = 25
h. (4-3)2
42 - 32 puisque (4-3)2 = 12 = 1 et 42-32 = 16-9 = 7
i. e) Le produit de deux puissances de la même base est une puissance qui a la
même base et dont l’exposant est égal à la somme des exposants.
mnmn aaaaaa   ; 2323
j. f) La division de puissances avec la même basse est une puissance avec la
même basse et l’exposant est égal à l’exposant du numérateur moins l´exposant
du dénominateur.
mn
m
na
a
a
a
a
a  ;
28
2
8
Puissance avec une base négatif
255·5)(5
)(exp2
 base
osant
Par convention
)0(1
0 aaveca
Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (-5) répétés 2 fois (l´exposant) :
255552
125555)(5
)(exp3
 base
osant
Une puissance est un produit de facteurs égaux à la base (-5) répétés 3 fois (l´exposant) :
12555553
En résumé :