LA LOI DES GRANDS NOMBRES

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IREM DE STRASBOURG
GROUPE STATISTIQUES
LA LOI DES GRANDS NOMBRES
Un bon énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres ?
Dans le programme de 1ère S (colonne « commentaires ») :
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les
distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n
devient grand.
Dans le lexique du document d’accompagnement :
Si on choisit n éléments d’un ensemble fini E selon une loi de probabilité P, indépendamment
les uns des autres, alors la distribution des fréquences « tend » vers la loi de probabilité P
lorsque n tend vers l’infini.
Ian Stewart (dans Pour la Science)
« la fréquence d’un événement tend vers sa probabilité quand le nombre d’expériences
augmente indéfiniment »
Dans les manuels de première :
Transmath 1S :
« La fréquence moyenne d’apparition d’un résultat dans une répétition d’épreuves tend vers la
probabilité d’observer cette apparition dans une seule épreuve »
Hyperbole Nathan 1S:
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions
des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand
n devient grand.
Transmath 1ES :
(les notions sont présentées sur un exemple : le lancer d’un dé)
Loi des grands nombres
Notons Fn la fréquence de sortie du 1, par exemple, en n lancers.
Intuitivement, « plus le nombre n de lancers est grand, plus Fn se rapproche de la probabilité
1
théorique de l’événement 1 , c’est à dire . »
6
Cette propriété, présentée ici de manière intuitive, est appelée loi des grands nombres.
Elle peut permettre de contrôler si le modèle proposé a été bien choisi.
Parfois, on n’est pas en mesure de proposer un modèle a priori. C’est le cas, par exemple,
d’un dé pipé. La loi des grands nombres permet alors, a posteriori, de proposer un modèle : on
prend comme probabilité de chaque événement élémentaire un nombre vers lequel semble
« tendre » la fréquence de cet événement lorsque le nombre n d’expériences devient de plus
en plus grand.
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Hyperbole Nathan 1ES:
Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les
distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n
devient grand.
Déclic Hachette 1S :
On peut démontrer (et on admet ici) que, pour une expérience donnée, dans le modèle défini
par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n
se rapprochent de P quand n devient grand.
Bréal 1S et 1ES :
Mais surtout on a vu en seconde que pour n assez grand, f E  A a de fortes chances d’être
une valeur approchée de la proportion de boules correspondant à A dans l’urne de
modélisation, c’est à dire une valeur approchée de P(A).
Plus précisément, on peut démontrer les résultats suivants :
1
1
la probabilité que f E  A soit comprise entre P  A 
:
et P  A 
n
n
- dépasse 90% pour tout n ;
- dépasse 93% pour tout n supérieur à 25 ;
- dépasse 95% pour tout n supérieur à 530.
C’est d’ailleurs cette propriété qui permet d’estimer statistiquement les probabilités des
issues.
C’est aussi elle qui fournit le critère ultime pour juger de la validité d’une modélisation.
Avec dans la marge :
C’est une forme de ce qu’on appelle le théorème des grands nombres. L’intervalle
1
1 

; P  A 
 P  A 
 est l’intervalle de dispersion.
n
n

Dimathème 1S :
(énoncé expérimental)
Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des
résultats a1 ,....an , la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire ai  se
stabilise aux environs d’un nombre pi compris entre 0 et 1. Ce nombre peut être considéré
comme la probabilité de réalisation de l’événement ai  .
Belin 1S :
Propriété 7 (admise)
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Soit un ensemble  sur lequel on a défini une loi de probabilité P. Les fréquences des
éléments de  dans une suite de n expériences identiques tendent vers leur probabilité quand
n augmente indéfiniment.
Fractale 1S :
Propriété 2
La loi des grands nombres
Soit U un univers d’éventualités pour une expérience donnée,
U  e1 , e2 , e3 ,...en  ,
et une loi de probabilité p, qui fixe les conditions de réalisation de chaque éventualité :
p  ei   pi . Si on réalise k fois l’expérience, on obtient une distribution des fréquences de
réalisations de chaque éventualité f  ei   fi . La fréquence de ei se rapproche de pi quand k
devient grand.
Indice 1S
La loi « des grands nombres »
Propriété
Si on répète n fois la même expérience de manière indépendante dans les mêmes conditions,
et si n tend vers l’infini, la fréquence d’une issue tend vers une valeur théorique p, appelée
probabilité de cette issue.
On dit que la distribution des fréquences  f1 , f 2 , f3 ,... f n  tend vers la loi de probabilité
 p1, p2 , p3 ,... pn 
Questions et directions de réflexion autour de la loi des grands nombres :
le « cercle vicieux » est-il inévitable ?
conceptions erronées à propos de la loi des grands nombres :
la stabilisation des fréquences
pile ou face :
le nombre de piles se rapproche du nombre de faces lorsqu’on lance un grand
nombre de fois la pièce.
après 100 piles successifs le face devient plus probable
le retour à l’égalité des fréquences est-il certain si on poursuit à l’infini ?
le nombre de pile ne peut pas s’écarter de 1000000 du nombre de faces
les « longues » séries de résultats identiques sont très improbables
le nombre de coups où face est en tête devient proche du nombre de coup où
pile est en tête.
lancer un dé :
si on poursuit à l’infini, la probabilité de retrouver un même nombre
d’apparitions de chacune des faces est 1.
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