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Niveau : seconde Moment : phase de justification
Titre : Propriété de Pythagore et triangles semblables. Auteur : N.Néron
Thème : Géométrie plane.
1. Objectifs : Démontrer un résultat de cours (propriété très connue) en partant de
connaissances nouvelles.
2. Place dans l’année : après les triangles semblables.
3. Modalités : travail individuel – 8 jours
4. Différentiation : non
5. Modalités de correction : classe entière avec éventuellement une reprise en A.I.
6. Prolongements : réinvestir les travaux sur les quotients avec la démonstration de la propriété
de Thalès par les aires.
7. Commentaires pédagogiques : les questions qui posent le plus de difficultés ne sont pas
celles qui portent sur l’écriture des égalités de rapports dans les triangles semblables. La
question 3 (travail sur les quotients) et la question 4 (application de la proportionnalité)
peuvent donc sembler plus problématiques aux élèves.

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Niveau : seconde A remettre le :
Titre : Propriété de Pythagore et triangles semblables. Auteur : N.Néron
ABC est un triangle rectangle en A. H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.
1. a. Démontrer que les triangles ABC et ABH sont des triangles semblables.
b. En déduire que BH =
AB²
BC
2. Démontrer de même que CH =
AC²
BC
3. Démontrer que
aire(AHC)
AC²
=
aire(AHB)
AB²
=
aire(ABC)
BC²
4. Démontrer ainsi la propriété de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A.
Correction
1.
a. Considérons les triangles ABC et ABH. Ces deux triangles ont l’angle
·
ABC
en commun (les
points B, H, C étant alignés) et
· ·
BAC AHB=
= 90°. ABC et ABH ont deux angles
respectivement de même mesure, ils sont donc semblables.
b. Les triangles ABC et ABH étant semblables, les mesures des côtés homologues
(AB, AC, BC) et (HB, AH, BA) sont proportionnelles et
AB BC
BH BA
=
soit
HB.BC = AB² et BH =
AB²
BC
2. De même
a. Considérons les triangles ABC et ACH. Ces deux triangles ont l’angle
·
ACB
en commun (les
points B, H, C étant alignés) et
· ·
BAC AHC=
= 90°. ABC et ACH ont deux angles
respectivement de même mesure, ils sont donc semblables.
b. Les triangles ABC et ACH étant semblables, les mesures des côtés homologues

(AB, AC, BC) et (HA, CH, CA) sont proportionnelles et
AC BC
CH CA
=
soit HC.BC = AC²
et CH =
AC²
BC
3. Aire (AHC) =
1
2
AH.HC =
1
2
AH.
AC²
BC
Donc
aire(AHC)
AC²
=
1
2
AH
BC
Aire (AHB) =
1
2
AH.HB =
1
2
AH.
AB²
BC
Donc
aire(AHB)
AB²
=
1
2
AH
BC
Aire(ABC) =
1
2
AH.BC soit
aire(ACB)
CB²
=
1
2
AH.BC
BC²
=
1
2
AH
BC
On en déduit
aire(AHC)
AC²
=
aire(AHB)
AB²
=
aire(ABC)
BC²
=
1
2
AH
BC
= k
4. Aire(ABC) = aire(ABH) + aire (AHC) donc k. BC² = k. AB² + k. AC ² et k
¹
0
Donc BC² = AB² + AC² : ce qu’affirme la propriété de Pythagore