III. Résolution de l`équation différentielle par la méthode d`Euler

FICHE T.P.
ETUDE DE LA CHUTE VERTICALE DE SOLIDES
Objectifs.
Etudier l’enregistrement du mouvement de chute d’une sphère dans l’air et dans un liquide,.
Tracer la courbe v = f(t) : déterminer la vitesse limite, reconnaître le régime initial, le régime permanent, et déterminer le temps
caractéristique de passage de l’un à l’autre.
Vérifier les résultats expérimentaux par une méthode de calcul analytique, utiliser un tableur.
I. Etude de la chute libre :
1. Utilisation d’un logiciel pour tracer la courbe v = f(t).
 Chargement du clip : Ouvrir le logiciel Aviméca dans les logiciels de physique. Dans la barre de
menu, choisir Fichiers puis ouvrir un clip vidéo puis sélectionner le fichier libre4.avi dans le
répertoire : L:\Tpphysic\3_Terminales\physique\chutes\ . Puis cliquer sur ouvrir. Le Clip se charge,
vous pouvez le visualiser à l’aide du bouton jouer le clip
en vert.
 Etalonnage : Dans la barre de menu sélectionner Clip puis Adapter puis OK. Choisir l’onglet
Etalonnage et cocher origine et sens, puis choisir un repère dont l’axe vertical est dirigé vers le bas puis
placer votre curseur à l’origine choisie ensemble( ce choix est-il important ?). Toujours dans l’onglet
Etalonnage, indiquer à l’ordinateur l’échelle du phénomène filmé. Pour cela, cocher échelles identiques
puis indiquer la distance entre les deux traits (1.50m) puis placer votre curseur sur le premier trait.
Sélectionner 2° point et placer votre curseur sur le 2° trait.
 Mesures : Sélectionner l’onglet mesures. A l’aide du viseur, sélectionner chacune des positions de la
balle puis cliquer sur chacune. Attention, soyez très méticuleux Le tableau de mesures (x,y) se remplit
automatiquement.
 Exportation des mesures vers un tableur : Vous allez à présent exporter ces mesures vers EXCEL.
Pour cela, sélectionner dans la barre de menu Fichiers puis mesures puis copier dans le presse papier
puis le tableau puis OK. Lancer EXCEL dans bureautique puis ouvrir le fichier chute.xls qui se trouve
dans L:\Tpphysic\3_Terminales\physique\chutes\ . Sélectionner la feuille chute libre. Placer le curseur
sur la première cellule en haut à gauche. Puis dans Edition sélectionner Coller.
 Tracé de la courbe V=f(t) : Vous allez à présent exploiter ces résultats. Compléter la colonne D de
manière à obtenir les valeurs de la vitesse. Tracer V=f(t), pour cela sélectionner les données puis lancer
l’assistant graphique. Le type de graphique est nuage de points reliés par une courbe lissée.
2. Exploitation de la courbe.
Quelle est l’allure de la courbe ? Sélectionner la courbe obtenue puis clic droit puis ajouter une courbe de
tendance. Choisir le type qui vous semble le mieux adapté et dans l’onglet options cocher afficher
l’équation sur le graphique. Que peut-on dire de l’accélération au cours de ce mouvement ? Imprimer la
courbe obtenue.
3. Etude théorique du mouvement de chute.
Faire le bilan des forces exercées sur la sphère. On négligera ici l’action de l’air.
Faire un schéma avec toutes les forces. Appliquer la deuxième loi de Newton et en déduire la relation
théorique entre v et t. Comparer avec les résultats expérimentaux. en déduire une nouvelle unité pour g.
II. Etude de la chute verticale avec frottement :
1. Utilisation d’un logiciel pour tracer la courbe v = f(t).
 Chargement du clip : Ouvrir le logiciel Aviméca. Dans la barre de menu, choisir Fichiers puis ouvrir
un clip
vidéo puis sélectionner le fichier acier1.avi dans le répertoire :
L:\Tpphysic\3_Terminales\physique\chutes\ . Puis cliquer sur ouvrir.
 Etalonnage : Choisir l’onglet Etalonnage et sélectionner origine et sens, puis choisir un repère dont
l’axe vertical est dirigé vers le bas puis placer votre curseur à l’origine choisie. Toujours dans l’onglet
Etalonnage, indiquer à l’ordinateur l’échelle du phénomène filmé, la règle visible sur la vidéo mesure
1.03m.
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
Mesures : Sélectionner l’onglet mesures. Changer l’origine des dates pour que la bille soit lâchée à t=0.
A l’aide du viseur, sélectionner chacune des positions de la balle puis cliquer sur chacune. Attention,
soyez très méticuleux. Le tableau de mesures (x,y) se remplit automatiquement.
 Exportation des mesures vers un tableur : Vous allez à présent exporter ces mesures vers EXCEL.
Pour cela, sélectionner dans la barre de menu Fichiers puis mesures puis copier dans le presse papier
puis le tableau puis OK. Lancer EXCEL puis ouvrir le fichier chute.xls . Sélectionner la feuille acier.
Placer le curseur sur la première cellule en haut à gauche. Puis dans Edition sélectionner Coller.
 Tracé de la courbe V=f(t) : Vous allez à présent exploiter ces résultats. Compléter la colonne D de
manière à obtenir les valeurs de la vitesse. La courbe V=f(t) doit ce tracée automatiquement.
Sélectionner le graphique et imprimez-le.
2. Exploitation de la courbe.
Quelle sont les différentes parties de cette courbe ? Quelles sont les fonctions mathématiques aux quelles
elles vous font penser ?
Tracer les tangentes à cette courbe à l’origine et lorsque la vitesse devient constante. En déduire la vitesse
limite. quelle est l’évolution de l’accélération ?
Déterminer le temps caractéristique de ce mouvement qui est l’abscisse du point d’intersection de ces deux
tangentes.
3. Etude théorique du mouvement de chute.
Faire le bilan des forces exercées sur la sphère et donner leurs caractéristiques.
Faire un schéma avec toutes les forces.
dV
Ecrire la deuxième loi de Newton. En déduire une relation entre
et V, équation différentielle du
dt
mouvement.
dV
Montrer qu’elle est de la forme :
 a 0  a1 * V n
dt
Donner l’expression de la vitesse limite Vl (lorsque la vitesse ne varie plus).
dV
Vn
 a 0(1  n ) .
En déduire la nouvelle expression de l’équation différentielle :
dt
Vl
Calculer a0 et déterminer Vl expérimentalement.
Données :
bille d’acier
masse = 60,7 g,
diamètre = 2,45 cm ;
dV
 f(V) Cette équation est une équation différentielle du premier degré à coefficients
On notera
dt
constants. Sa solution est une fonction du temps V = h ( t ).
III. Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler
1. Détermination de la relation entre V1, V2 et f(V).
Donner l’expression de Vi+1 en fonction du temps.
2. Calcul des valeurs.
Indiquer dans les cases oranges les valeurs de delta t , de la vitesse limite et de a0.
Les colonnes H, I, J, K se calculent automatiquement car leurs formules étaient renseignées. Vérifier que les
formules rentrées correspondent bien à vos calculs.
3. Comparaison des résultats.
Visualiser les courbes tracées qui correspondent aux trois modèles possibles dans ce cas là pour la force
frottement. Lequel vous semble le mieux adapté dans ce cas ?
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Document de travail “professeur”
Physique ~ Tronc commun
Classe de Terminale S
FICHE T.P. ETUDE DE LA CHUTE VERTICALE DE SOLIDES
Professeur
I) Chute libre :
La balle n’est soumise qu’à son poids donc la 2° loi de Newton donne :
ma=mg d’où a=g d’où V=gt
Expérimentalement, on obtient une équation du type : V= 9.97*t-0.026
6
y = 9,9751x - 0,0265
5
4
Série1
3
Linéaire
(Série1)
2
1
0
0
0,2
0,4
0,6
-1
II) Chute avec frottement :

On étudie dans le repère (O, j ) , fixe par rapport à la Terre supposée référentiel Galiléen, le
mouvement du centre d’inertie G d’une sphère en chute verticale dans un fluide.


P  mg  mgk
Bilan des forces :
le poids


4
A    R3  g
j
La poussée d’Archimède
3


F  kV n j
La force de frottement
   

On applique le théorème du centre d’inertie
ΣF  P  A  F  ma




4
mg j +(  R 3 g j )+(-kVn j )= ma
3
4
dV
mg  R 3 g -kVn= ma = m
3
dt
4 3 

R  

dV
3

  k Vn
 g 1
d’où l’équation différentielle
dt
m  m





4 3 

R  

dV
3

 et a1= k
après calcul on obtient une relation de la forme (1)
= a0 –a1V avec a0= g 1 
m
dt
m 





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Document de travail “professeur”
Physique ~ Tronc commun
Classe de Terminale S
a0
dV
=0 donc pour Vl=
a1
dt
n
 V  
dV
D’où (1) devient
 a01    
dt
  Vl  
On obtient la vitesse limite pour
a0= 9.8(1-4/3*3.14*1.225*10-2*1000/(60.7*10-3))=9.4 SI
Vl=1.75 SI
2°) Résolution de l’équation différentielle par la méthode d’Euler.
Dans H5 on met 0, dans H6 on met la formule =H5+Δt, on recopie cette formule vers le bas une
centaine de fois, pour Δt prendre 0.004s.
Dans I5 on met 0 qui représente la vitesse initiale, dans I6 on met la formule
= Δt.a0(1 –I5/Vl) + I5, on recopie cette formule vers le bas une centaine de fois.
C’est à dire $I$1*$K$1*(1-I5/$I$2)+I5, le dollar signifiant une référence absolue.
Dans J5 on met 0 qui représente la vitesse initiale, dans I6 on met la formule
= Δt.a0(1 –J5^2/Vl^2) + J5, on recopie cette formule vers le bas une centaine de fois.
C’est à dire $I$1*$K$1*(1-J6^2/$I$2^2)+J6, le dollar signifiant une référence absolue.
Dans K5 on met 0 qui représente la vitesse initiale, dans K6 on met la formule
= Δt.a0(1 –K5^1.4/Vl^1.4) + J5, on recopie cette formule vers le bas une centaine de fois.
C’est à dire $I$1*$K$1*(1-K6^1.4/$I$2^1.4)+K6, le dollar signifiant une référence absolue.
Les trois courbes d’Euler sont proches de la courbe expérimentale mais la plus proche est Euler1.4. Le
frottement est donc ici de la forme kV1.4.
2
1,5
1
expérience
Euler
euler2
Euler1.4
0,5
0
0
0,2
0,4
0,6
- 2/2 -
0,8
1