Toutes les probabilités demandées seront données sous leur forme exacte, puis sous leur forme approchée décimale arrondie à 102 près. On considère deux variables aléatoires T1 et T2 prenant pour valeurs les durées de vie en heures de deux composants de types A et B. T1 suit une loi exponentielle de paramètre T2 suit une loi exponentielle de paramètre 1 = 0,0011 2 = 0,0008. On supposera que les pannes des différents composants sont indépendantes les unes des autres. 1) Quelle est la probabilité qu’un composant de type A soit encore en état de marche après 1000h de fonctionnement ? Même question pour un composant de type B. 2) Déterminer à partir de combien d’heures 70% des composants de type A auront eu leur première défaillance. 3) Pour essayer d’améliorer la fiabilité, on associe deux composants de type A en parallèle : quelle est la probabilité qu’un tel système connaisse sa première panne avant 1000h de fonctionnement ? 4) On constitue un système associant en série un composant de type A et un composant de type B. Quelle est la probabilité que ce système fonctionne encore au-delà de 1000h ? Exercice II 1) Soit R1 (respectivement R2 ) la fonction de fiabilité associée à la variable T1 (respectivement associée à T2 ). On a donc : R1 t =P T1 t e 1t e 0,0011t . On a aussi : R2 t =P T2 t e 2t e 0,0008 t . La probabilité qu'un composant de type A soit encore en état de marche après 1000 heures est donnée par : P T1 1000 e 0,00111000 e 1,1 0,33 valeur arrondie à 102 près. On a aussi pour un composant de type B : P T2 1000 e 0,0008 1000 e 0,8 0, 45 valeur arrondie à 102 près. 2) Le nombre d’heures, t, à partir duquel 70% des composants de type A ont leur première défaillance correspond au nombre d’heures, t, pour lequel 30 % des composants de type A n’ont pas encore de défaillance. On recherche donc t, tel que : 3 R1 t =0,3 e0,0011t 0,3 t ln10 ln3 1094,5 0,0011 2 1 valeur décimale arrondie à 10 près. 70 % des composants de type A ont leur première défaillance à partir, approximativement, de la 1095 ème heure. 3) Pour un montage en parallèle de plusieurs composants, la fonction de défaillance est le produit des fonctions de défaillance. Notons F la fonction de défaillance du système en parallèle constitué de deux composants de type A : F t 1 R1 t 1 e 0,0011t 2 2 . La probabilité que ce système connaise sa première panne avant 100 heures de fonctionnement est donnée par : F 1000 1 e 0,00111000 4) 1 e1,1 2 2 0, 45 valeur décimale arrondie à 102 près. 2,5 La fonction de fiabilité d’un montage en série est le produit des fonctions de fiabilité des composants de ce montage. Pour le système associant en série un composant de type A et un composant de type B, la fonction de fiabilité est donc donnée par : R t R1 t R2 t e 0,0011t e 0,0008 t e 0,0019 t . La probabilité que ce système en série fonctionne encore au-delà de 1000 heures est donnée par : R 1000 e 0,0019 1000 e 1,9 0,15 valeur décimale arrondie à 102 près. 2,5