Rappels de probabilités

Rappels de probabilités
Probabilités conditionnelles
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1. Expérience aléatoire :
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît toutes les issues possibles mais
dont on ne peut pas prévoir le résultat .
Exemples :
- jeux de hasard : lancer de pièce, de dé, loto
- élections
- transmission d’un caractère génétique
D DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Lorsqu’on procède à une telle expérience, l’ensemble de tous les résultats possibles s’appelle
univers et est noté .
Chacun des résultats possibles est appelé issue ou éventualité. S’il y a n issues, elles seront
notées
1
,
2
, ….
n
.
Exemples :
- Pour un lancer de dés,
6.....2;1
.
- Sexe d’un enfant à la naissance :
garçonfille;
2. Loi de probabilité :
2.1. Définition d’une loi de porbabilité sur un univers : ____
Définition empirique :Définir une loi de probabilité sur un univers , c’est donner pour
chacune des issues de sa probabilité (« ses chances ») de réalisation.
Certains jeux de hasard présentent une symétrie qui permet de définir la probabilité de
chacune des issues . Par exemple, lors du lancer d’un dé, chaque n° a une probabilité de sortie
de
6
1
. Lors d’un lancer de pièce, chaque face a une probabilité de sortie de
2
1
.
Dans d’autres expériences aléatoires, ce sont des résultats statistiques préalablement établis
qui serviront à définit une loi de probabilité . Par exemple, en France, pour 100 naissances il
y a 51 garçons et 49 filles. On estimera alors naturellement que
51,0)( Gp
et que
49,0)( Fp
.
Définition mathématique : Quels que soient les critères qui ont amené à la définition de lois
de probabilité, elles doivent vérifier un petit nombre de propriétés. Ce sont ces
caractéristiques qui servent à définir le modèle mathématique de loi de probabilité :

D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Une loi de probabilité sur un univers est une fonction p dont l’ensemble de départ est et
l’ensemble d’arrivée  et qui vérifie :
1. Pour tout ,
)(0 p
2.
1)(  p
2.2. Equiprobabilité : ____
D DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Lorsque toutes les issues ont la même probabilité, on dit qu’il y a équiprobabilité.
Exemple :
- Le jeu de pile ou face avec une pièce équilibrée ( ce qui n’est pas le cas de la pièce
de 1 euro qui est favorable au côté pile !)
- Le tirage d’une carte dans un jeu de cartes .
- La prévision du sexe d’un enfant à la naissance ne se modélise pas par une loi
d’équiprobabilité.
Conséquence : Si p est une loi d’équiprobabilité définie sur un univers et que
ncard 
, alors pour tout ,
n
p1 )( 
.
3. Notion d’évènement :
3.1. Définition d’un évènement : ____
D DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Toute partie A de est appelée événement
Si une issue appartient à A, on dit que est une issue favorable à A.
Exemples :
- On lance un dé. On appelle A l’événement : « le n° obtenu est pair ». Alors
6;4;2A
.
- On lance trois fois une pièce. On appelle B l’événement « on a obtenu au moins
deux piles ». Alors
)(;)(;)(;)( PPPFPPPFPPPFB 
.
Cas particuliers :
- Si
A
, on dit que A est un événement certain.
- Si
A
, on dit que A est un événement impossible.
Exemples :
On lance deux dés.

L’événement : « la somme obtenue est inférieure à 13 » est un événement certain.
L’événement : « la somme obtenue est égale à 1 » est un événement impossible.
3.2. Opérations sur les évènements : __________
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
A et B sont deux évènements d’un même univers .
L’événement
BA
est l’ensemble des issues de qui appartiennent à l’un au moins des
évènements A et B.
L’événement
BA
est l’ensemble des issues de qui appartiennent à la fois à A et à B.
Lorsque
 BA
, on dit que A et B sont incompatibles.
Exemple :
On lance un dé. On appelle A l’événement « le n° obtenu est pair » et B l’événement
« le n° obtenu est multiple de 3 ». Alors
6;4;3;2 BA
et
6 BA
.
Soit C l’événement « le n° obtenu est multiple de 5 ». Alors A et B sont incompatibles.
D DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
On appelle événement contraire de A l’événement constitué de toutes les issues qui
n’appartiennent pas à A. L’événement contraire de A est noté
A
.
Exemple :
On lance une pièce trois fois. On appelle A l’événement : « on a obtenu au moins une
fois face ». Alors l’événement contraire de A est l’événement « on n’a obtenu aucune
fois face ».
D DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Une suite
1
B
,
2
B
,…,
n
B
d’évènements de constituent une partition de si :
1. Pour tout entier
ni ;....;2;1
,
i
B
.
2.
 n BBB ......
21
.
3. Pour tous entiers i et j appartenant à
n;...;2;1
, si
ji 
alors
 ji BB
.
Exemple :
On lance une pièce trois fois. On appelle
0
B
,
1
B
,
2
B
et
3
B
les évènements « on
n’obtient aucune fois face », « on obtient une fois face », « on obtient deux fois face » et
« on obtient trois fois face ». Alors
0
B
,
1
B
,
2
B
et
3
B
forment une partition de .

3.3. Probabilité d’un évènement : ____
D
DE EF FI IN NI IT TI IO ON N
Soit A un événement quelconque de . Alors
)(Ap
est la somme des probabilités des issues
qui appartiennent à A :
ApAp
)()(
.
Exemple :
On lance deux dés et on regarde la somme obtenue.
12;.....;3;2
.
La loi de probabilité de cette expérience est donnée par le tableau suivant :
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
)( p
36
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
Soit A l’événement « la somme obtenue est un nombre premier ». Alors
11;7;5;3;2A
et
12
5
36
15
)11()7()5()3()2()(  pppppAp
.
Conséquence : Lorsqu’il s’agit d’une loi d’équiprobabilité,
issuesdtotalnombre Aàfavorablesissuesdnombre card
cardA
Ap '
'
)( 
.
Démonstration :
AA card
cardA
n
cardA
n
pAp
11
)()(
.
Exemples :
1. On lance une pièce trois fois. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux
piles ?
Il y a quatre issues favorables à cet événement sont (PPP), (PPF), (PFP) et (FPP) et le
nombre total d’issues est
823
. Donc la probabilité de cet événement est
2
1
.
2. On tire successivement et sans remise deux cartes d’un jeu de 52 cartes. Quelle est
la probabilité de l’événement A : « les deux cartes tirées sont des cœurs ».
1213cardA
et
5152card
. Donc
17
1
5152 1213
)(  Ap
.
P
PR RO OP PR RI IE ET TE E
Soient A et B deux évènements quelconques de . Alors :
1.
1)(0  Ap
2.
)(1)( ApAp 
3. Si A est un événement certain, alors
1)( Ap
4. Si A est un événement impossible, alors
0)( Ap
5. Si A et B sont incompatibles alors
)()()( BpApBAp 
6. Si A et B sont compatibles alors
)()()()( BApBpApBAp 