Exo III Céramique et ultrasons 4 pts

2006 National
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EXERCICE III : CERAMIQUE ET ULTRASONS (4 points)
1. Emission et propagation de l'onde ultrasonore produite par une céramique piézoélectrique
1.1 Propagation des ondes ultrasonores
1.1.1. Entre les points A et B on a deux périodes sur
5 divisions avec un balayage de 10 µs / div
donc :
2 T = 5  1010-6
 T = 2,510-5 s
La fréquence de la tension observée à l'oscilloscope
1
est f =
T
1
f=
= 4,0104 Hz = 40 kHz.
2, 5  10 5
1.1.2. La fréquence f de la tension visualisée à l'oscilloscope est identique à la fréquence fu des ultrasons
(énoncé) donc : fu = 4,0104 Hz
Remarque: la fréquence fu = 40 kHz est supérieure à 20 kHz. Il s'agit donc bien d'ondes ultrasonores.
1.1.3. La longueur d'onde  des ultrasons est alors:
vair = .fu
v air
fu
340
=
= 8,510-3 m = 8,5 mm
4, 0.10 4
=
1.2. Résonance de la céramique émettrice
1.2.1. A la résonance, la fréquence f de la tension
sinusoïdale excitatrice est égale à la fréquence de
résonance fr de la céramique.
Amplitude de vibration de la céramique
1.2.2. La céramique est soumise à des oscillations
forcées dont la fréquence est imposée par la tension
excitatrice.
A la résonance, l'amplitude des oscillations de
vibration de la céramique est maximale.
Loin de la fréquence de résonance l'amplitude des
oscillations de vibration de la céramique diminue
fortement.
0
fr
f
2. Oscillations libres dans un circuit RLC série
2.1.
Les oscillations sont amorties, donc le régime d'oscillations libres obtenu est un régime pseudopériodique.
2.2.
La présence d'une résistance totale R non nulle dans le circuit dissipe de l'énergie, par effet Joule ,
sous forme de chaleur.
2.3.
On peut éviter cet amortissement en utilisant un dispositif qui fournit au circuit l'énergie
évacuée par transfert thermique.
2.4.
Affirmation 1: Faux. Si on augmente trop la valeur de R (au-dessus d'une résistance critique RC),
on n'observe plus d'oscillations électriques mais une tension uc(t) qui décroît en tendant vers 0
sans osciller (régime apériodique).
Affirmation 2: Faux: la valeur de la pseudo-période (voisine de la période propre d'un circuit LC
si l'amortissement n'est "pas trop grand") est indépendante de la charge initiale du condensateur.
Elle ne dépend que des valeurs de C et L. ( T0 = 2. L.C ).
2.5 Détermination de la capacité du condensateur
2.5.1. Compte tenu des conventions sur le schéma ci-contre on a:
dq
i(t) =
et
q(t) = C . uC(t)
dt
d  C.uC 
duC
donc: i(t) =
=C.
car C est une constante
dt
dt
duC
i(t) = C .
dt
La loi d'additivité des tensions donne:
uC(t) + uL(t) = 0
(1)
L'amortissement étant faible, on considère la bobine comme étant idéale donc uL(t) = L.
uL(t) = L.
di
.
dt
d²uC
d  duC 
= L.C.
C.


dt 
dt 
dt²
On reporte dans (1): uC(t) + L.C.
finalement:
d²uC
=0
dt²
d²uC
1
+
uC(t) = 0
dt²
L.C
qui est bien l'équation demandée.
 2 
2.5.2. La solution de l'équation différentielle est: uC(t) = U0. cos 
t
 T0 
 2 
 2 
duC
donc:
= –   .U0. sin  t 
dt
 T0 
 T0 
2
2
2
 2 
 2 
 2 
d²uC
d²uC  2 
et
= –   . U0. cos 
+   . uC(t) = 0
t  = –   . uC(t) qu'on peut écrire
dt²
dt²
 T0 
 T0 
 T0 
 T0 
d²uC
1
En identifiant avec l'équation différentielle:
+
uC(t) = 0
dt²
L.C
2
 2 
1
Il vient:
 
L.C  T0 
T0² = 4.².L.C
Finalement: T0 = 2. . L.C
1
1
2.5.2. On a: f0 =

T0 2 L.C
1
4.².L.C = 2
f0
C=
A.N: C =
1
4.².f02.L
1
= 1,610–8 F = 1610–9 F = 16 nF
4²  ( 40  103 )²  1, 0  103