Exo III Céramique et ultrasons 4 pts

2006 National EXERCICE III : CERAMIQUE ET ULTRASONS (4 points)
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1. Emission et propagation de l'onde ultrasonore produite par une céramique piézoélectrique
1.1 Propagation des ondes ultrasonores
1.1.1. Entre les points A et B on a deux périodes sur
5 divisions avec un balayage de 10 µs / div
donc :
2 T = 5  1010-6  T = 2,510-5 s
La fréquence de la tension observée à l'oscilloscope
est f =
1
T
f =
5
1
2 5 10 ,
= 4,0104 Hz = 40 kHz.
1.1.2. La fréquence f de la tension visualisée à l'oscilloscope est identique à la fréquence fu des ultrasons
(énoncé) donc : fu = 4,0104 Hz
Remarque: la fréquence fu = 40 kHz est supérieure à 20 kHz. Il s'agit donc bien d'ondes ultrasonores.
1.1.3. La longueur d'onde  des ultrasons est alors: vair = .fu
 =
air
u
vf
 =
4
340
4 0 10,.
= 8,510-3 m = 8,5 mm
1.2. Résonance de la céramique émettrice
1.2.1. A la résonance, la fréquence f de la tension
sinusoïdale excitatrice est égale à la fréquence de
résonance fr de la céramique.
1.2.2. La céramique est soumise à des oscillations
forcées dont la fréquence est imposée par la tension
excitatrice.
A la résonance, l'amplitude des oscillations de
vibration de la céramique est maximale.
Loin de la fréquence de résonance l'amplitude des
oscillations de vibration de la céramique diminue
fortement.
Amplitude de vibration de la céramique
f
fr
0

2. Oscillations libres dans un circuit RLC série
2.1. Les oscillations sont amorties, donc le régime d'oscillations libres obtenu est un régime pseudo-
périodique.
2.2. La présence d'une résistance totale R non nulle dans le circuit dissipe de l'énergie, par effet Joule ,
sous forme de chaleur.
2.3. On peut éviter cet amortissement en utilisant un dispositif qui fournit au circuit l'énergie
évacuée par transfert thermique.
2.4. Affirmation 1: Faux. Si on augmente trop la valeur de R (au-dessus d'une résistance critique RC),
on n'observe plus d'oscillations électriques mais une tension uc(t) qui décroît en tendant vers 0
sans osciller (régime apériodique).
Affirmation 2: Faux: la valeur de la pseudo-période (voisine de la période propre d'un circuit LC
si l'amortissement n'est "pas trop grand") est indépendante de la charge initiale du condensateur.
Elle ne dépend que des valeurs de C et L. ( T0 = 2.
L.C
).
2.5 Détermination de la capacité du condensateur
2.5.1. Compte tenu des conventions sur le schéma ci-contre on a:
i(t) =
dq
dt
et q(t) = C . uC(t)
donc: i(t) =
C
d C.u
dt
= C .
C
du
dt
car C est une constante
i(t) = C .
C
du
dt
La loi d'additivité des tensions donne: uC(t) + uL(t) = 0 (1)
L'amortissement étant faible, on considère la bobine comme étant idéale donc uL(t) = L.
di
dt
.
uL(t) = L.
C
du
dC.
dt dt
= L.C.
C
d²u
dt²
On reporte dans (1): uC(t) + L.C.
C
d²u
dt²
= 0
finalement:
C
d²u
dt²
+
1
L.C
uC(t) = 0 qui est bien l'équation demandée.
2.5.2. La solution de l'équation différentielle est: uC(t) = U0.
0
2
cos t
T
donc:
C
du
dt
= –
0
2
T
.U0.
0
2
sin t
T
et
C
d²u
dt²
= –
2
0
2
T
. U0.
0
2
cos t
T
= –
2
0
2
T
. uC(t) qu'on peut écrire
C
d²u
dt²
+
2
0
2
T
. uC(t) = 0
En identifiant avec l'équation différentielle:
C
d²u
dt²
+
1
L.C
uC(t) = 0

Il vient:
2
0
12
L.C T
T0² = 4.².L.C
Finalement: T0 = 2. .
L.C
2.5.2. On a: f0 =
0
11
2
TL.C
4.².L.C =
2
0
1
f
C =
2
0
1
4. ².f .L
A.N: C =
33
1
4 40 10 1 0 10     ² ( )² ,
= 1,610–8 F = 1610–9 F = 16 nF