2 ) probabilite d`une intersection

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PROBABILITES
1 ) PROBABILITES CONDITIONNELLES
Définition
Soit A et B deux événements tels que P ( B )
0 .
On appelle « probabilité conditionnelle de A par rapport à B » ou « probabilité de A sachant B » le réel, noté
P ( A / B ) ou PB ( A ) défini par :
P ( A / B ) =
Error!
Exemple :
Un lycée a présenté 356 candidats au bac, dont 96 en série S. 256 élèves ont été admis à l’examen ; parmi eux 64 provenaient de la série S .
Un élève étant choisi au hasard parmi les candidats présentés par le lycée, on note A l’événement : « l’élève provient de la série S » et
B l’événement : « l’élève a été reçu au bac » .
Chaque élève a la même chance d’être choisi ; par équiprobabilité, on a donc :
P ( A ) =
Error!
, P ( B ) =
Error!
et P ( A B ) =
Error!
On en déduit que P ( A / B ) =
Error!
=
Error!
=
Error!
= 0,25
La probabilité que l’élève provienne de la série S sachant qu’il est reçu au bac, est donc égale à 0,25 .
On a aussi P ( B / A ) =
Error!
=
Error!
=
Error!
=
Error!
Ainsi la probabilité que l’élève soit reçu au bac sachant qu’il provient de la série S est
Error!
.
Remarques :
 Si A B , alors A B = A et P ( A / B ) =
Error!
 Si B A , alors A B = B et P ( A / B ) =
Error!
= 1
 On a A B B , donc 0 P ( A B ) P ( B ) et en divisant les trois membres de cette inégalité par le nombre strictement
positif P ( B ) , on obtient : 0
Error!
1 0 P ( A / B ) 1
 P (
Error!
/ B ) = 1 – P ( A / B )
La probabilité conditionnelle de A par rapport à B est une probabilité et possède donc toutes les propriétés des probabilités …
2 ) PROBABILITE D’UNE INTERSECTION
Formule des probabilités composées : P ( Ai ) = P ( A1) P ( A2/A1 ) ... P ( An / Ai )
Propriété
Soit A et B deux événements tels que P ( B )
0 et P ( A )
0 . On a :
P ( A
B ) = P ( A )
P ( B / A ) et P ( A
B ) = P ( B )
P ( A / B )
Ces égalités se déduisent de la définition
précédente.
Ces deux égalités se retiennent assez facilement : pour que l’événement A et B soit réalisé, il faut d’abord que l’événement A le soit, et sachant que
l’événement A est réalisé, il faut ensuite que l’événement B le soit aussi …
Exemple :
Une urne contient trois boules bleues et cinq rouges, indiscernables au toucher.
On tire au hasard une première boule de l'urne . Si elle est bleue, on la remet dans 1'ume et on rajoute une autre boule bleue ; si elle est rouge, on ne la
remet pas dans l'urne . On tire ensuite, au hasard, une seconde boule de l'urne.
On s'intéresse à la probabilité pour que les deux boules extraites soient bleues.
B 1 est l'événement : « la première boule extraite est bleue » ; B2 est l'événement : « la seconde boule extraite est bleue ».
L'événement « les deux boules extraites sont bleues » est alors B 1 B 2 .
On a P ( B 1 B 2 ) = P ( B 2 / B 1 ) P ( B 1 )
Les boules ont la même chance d’être tirées ; par équiprobabilité, on a donc : P ( B 1 ) =
Error!
B 1 étant réalisé, on rajoute une boule bleue, si bien qu'au moment du second tirage il y a 4 boules bleues sur 9 boules dans l'urne. Ce qui permet
d'écrire P ( B 2 / B 1 ) =
Error!
On en déduit : P ( B 1 B 2 ) =
Error!
Error!
=
Error!
. La probabilité que les deux boules extraites soient bleues est donc égale à
Error!
3 ) EVENEMENTS INDEPENDANTS
Deux événements A et B de probabilités non nulles sont dits indépendants si le fait que l’un d’entre eux soit réalisé ou non n’influe pas
la probabilité que l’autre soit réalisé, c'est à dire :
si P ( A / B ) = P ( A ) ou si P ( B / A ) = P ( B )
En utilisant la propriété précédente, on constate que l’indépendance de A et B se traduit par la relation P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
Définition
Soit A et B deux événements de probabilités non nulles.
A et B sont dits indépendants s’ils vérifient l’une des trois conditions équivalentes suivantes :
 P ( A / B ) = P ( A )
 P ( B / A ) = P ( B )
 P ( A
B ) = P ( A )
P ( B )
Exemple :
Une urne contient quatre boules bleues numérotées b1 , b1 , b2 et b3 , et six boules rouges numérotées r1 , r1 , r1 , r2 , r3 et r4 .
On suppose toutes ces boules indiscernables au toucher, et on en tire une au hasard.
On considère les événements :
En général :
P ( A / B )
P ( B / A )
n
i=1
n - 1
i=1

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B : « la boule tirée est bleue » ; R : « la boule tirée est rouge » ; Q : « la boule tirée porte le numéro 4 » ; U : « la boule tirée porte le numéro 1 ».
Les boules ont la même chance d’être tirées ; par équiprobabilité, on a donc :
P ( U ) =
Error!
=
Error!
; P ( B ) =
Error!
=
Error!
et P ( B U ) =
Error!
=
Error!
On a : P ( B U ) = P ( B ) P ( U )
Les événements B et U sont donc indépendants . Ce résultat s'explique en remarquant que la proportion des boules bleues portant le numéro 1 parmi
les boules portant le numéro 1 est la même que celle des boules bleues parmi les boules de l’urne.
On a aussi P( Q ) =
Error!
, P ( B ) =
Error!
et P ( Q B ) = 0
On a : P( B Q ) P ( B ) P ( Q )
Les événements B et Q ne sont donc pas indépendants .
Remarque :
Ne pas confondre événements incompatibles et événements indépendants.
Deux événements A et B sont incompatibles si et seulement si A B = . On a alors : P ( A B ) = P ( A ) + P ( B )
Dans l'exemple précédent, les événements B et U sont indépendants, mais non incompatibles ; les événements B et Q sont incompatibles
et non indépendants.
4 ) FORMULE DES PROBABILITES TOTALES
 est l’univers des événements élémentaires d’une expérience aléatoire. A1 , A2 , … , An désignent des événements de  .
Définition
Dire que A1 , A2 , … , An réalisent une partition de l’univers  , signifie que :
 les événements A1 , A2 , … , An sont deux à deux disjoints
 A1
A2
…
An = 
Tout événement B est alors la réunion disjointe des événements B A1 , B A2, … , B An
On a donc P ( B ) = P ( B A1 ) + P ( B A2 ) + … + P ( B An )
De plus pour tout i tel que 1 i n , on a P ( B Ai ) = P ( B / Ai ) P ( Ai )
Propriété : Formule des probabilités totales
Dans les conditions précédentes on a :
P ( B ) = P ( B
A1 ) + P ( B
A2 ) + … + P ( B
A n )
P ( B ) = P ( B / A1 )
P ( A1 ) + P ( B / A2 )
P ( A2 ) + … + P ( B / An )
P ( An )
La deuxième formule permet de calculer la
probabilité d’un événement B dans le cas
( fréquent ) où l’on connaît les probabilités
P ( Ai ) d’une famille d’événements Ai constituant
une partition de l’univers , ainsi que les
probabilités conditionnelles de l’événement B par
rapport à chaque événement Ai .
Exemple :
Un test d’une maladie est effectué sur la totalité d’une population.
Une étude statistique établit que 70 % de la population réagit négativement au test ( événement N ) , 20 % réagit faiblement au test ( événement F ) et
10 % réagit fortement au test ( événement R ) .
La probabilité pour une personne de cette population d’être atteinte de la maladie ( événement M ) est :
 0,9 lorsque le test est fortement positif
 0,6 lorsque le test est faiblement positif
 0,05 lorsque le test est négatif
Par hypothèse, on a donc :
P ( R ) = 0,1 , P ( F ) = 0,2 , P ( N ) = 0,7 , P ( M / R ) = 0,9 , P ( M / F ) = 0,6 et P ( M / N ) = 0,05
Les événements R , F et N constituent une partition de la population.
D’après la formule des probabilités totales, on en déduit que :
P ( M ) = P ( M / R ) P ( R ) + P ( M / F ) P ( F ) + P ( M / N ) P ( N ) = 0,9 0,1 + 0,6 0,2 + 0,05 0,7 = 0,245
La probabilité pour qu’une personne de cette population soit atteinte de la maladie est donc égale à 0,245
5 ) REGLES DE CONSTRUCTION D’UN ARBRE PONDERE ( ou arbre de probabilités )
Pour déterminer des probabilités, on peut être amené à construire des arbres dont
les branches sont affectées de probabilités.
 Un arbre pondéré se construit et se lit de gauche à droite.
L’origine de l'arbre est la racine de l'arbre.
 Les traits partant de la racine sont appelés branches primaires de l'arbre.
Elles mènent à des nœuds.
Les branches joignant deux nœuds sont dites secondaires.
 Tout chemin menant de la racine à un nœud est appelé trajet.
Règles
R
F
N
M
M
M
M
M
M
RACINE
NOEUD
BRANCHE PRIMAIRE
BRANCHE SECONDAIRE
TRAJET
A1
A2
A3
A4
B

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1. Les événements qui se trouvent aux extrémités des branches primaires forment une partition de l'univers  .
2. Le poids d'une branche primaire est la probabilité de l'événement qui se trouve à son extrémité.
3. Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'événement qui se trouve à son extrémité sachant que le trajet menant à
son origine a été réalisé.
Le poids ou la probabilité d'un trajet est le produit des poids des branches le constituant. ( probabilités composées )
4. La probabilité d'un événement associé à plusieurs trajets complets est la somme des probabilités de ces trajets. ( On retrouve la formule des
probabilités totales … )
Remarques :
 La somme des poids des branches primaires vaut 1. ( d’après la règle 1 )
 La somme des poids des branches secondaires issues d'un même nœud vaut 1. ( car PA est une probabilité … )
Exemple :
Une urne contient trois boules bleues et deux boules rouges.
On tire successivement et sans remise trois boules de l’urne.
L’expérience aléatoire peut être décrite par l’arbre pondéré suivant :
 La probabilité que la troisième boule soit rouge sachant
que les deux premières étaient bleues est
Error!
. ( règle 3 )
 La probabilité de l’événement ( B , B , B ) est
Error!
( règle 4 )
 Soit A l’événement : « tirer une seule boule rouge » .
A est associé aux trajets ( R , B , B ) , ( B , R , B ) et ( B , B , R ) . On a :
P ( A ) = P ( R , B , B ) + P ( B , R , B ) + P ( B , B , R ) =
Error!
+
Error!
+
Error!
( règle 5 )
Remarques :
 Pour des expériences indépendantes, la probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat.
 Au chapitre suivant, nous développerons, le cas d'expériences, constituées d'une succession de p expériences identiques et indépendantes.
6 ) INDEPENDANCE DE DEUX VARIABLES ALEATOIRES
Définition
Soit X et Y deux variables aléatoires sur  . On note X() = { x1 ; x2 ; ... ; xk } et Y() = { y1 ; y2 ; ... ; yn } .
On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, si pour tout i
{1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j
{1 ; 2 ; ... ; n}
les événements ( X = x i) et ( Y = yj ) sont indépendants.
Propriété
Soit X et Y deux variables aléatoires sur  . On note X() = { x1 ; x2 ; ... ; xk } et Y() = { y1 ; y2 ; ... ; yn } .
X et Y sont indépendantes si, et seulement si, pour tout i
{1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j
{1 ; 2 ; ... ; n}
P ( ( X = xi )
( Y = yj ) ) = P ( X = xi )
P ( Y = yj )
Remarque :
Dire que deux variables aléatoires sont indépendantes revient à dire que la valeur de l'une n'influe pas sur les probabilités de réalisation de l'autre.
B
R
B
R
B
R
B
R
B
R
B
R
B
R
( A , B , R ) = A1
B2
R3 ….