Les Figures isométriques

Cours de mathématiques : les figures isométriques
3ème techniques Rensonnet Céline 2006
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Les Figures isométriques
1. Les figures isométriques
1.1. Activité
Dix petits magiciens.
Le propre d’un magicien est de pouvoir, au moyen de sa baguette magique,
effectuer divers tours.
Il est même, dit-on , capable de se téléporter.
Si, sur cette page chacun des magicien devenait mobile, quels sont ceux qu’il
serait possible de superposer parfaitement.
Pour superposer un magicien à un autre, un mouvement doit être effectué.
Ces mouvements vont sans doute te rappeler certaines transformations que tu
as vues auparavant. Tente de les retrouver et de les nommer. (Au besoin,
combines-en plusieurs).

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1.2. Définition
Deux figures superposables sont dites isométriques. Elles sont l’image l’une de
l’autre par une isométrie ou une suite d’isométries.
Une isométrie est une transformation du plan (car elle donne une et une seule
image à chaque point du plan) qui conserve les distances et qui ne déforme pas
la figure (elle reste applicable sur son image après découpage)
1.3. Vocabulaire
1.3.1. Exemple :
Les quadrilatères ABCD et MNPQ sont isométriques
[AB] et [MN] sont des côtés homologues
[BC] et [NP] sont des côtés homologues
[CD] et [PQ] sont des côtés homologues
[DA] et [QM] sont des côtés homologues
 et M sont des angles homologues
B et N sont des angles homologues
C et P sont des angles homologues
D et Q sont des angles homologues
 et M sont des sommets homologues
B et N sont des sommets homologues
C et P sont des sommets homologues
D et Q sont des sommets homologues
Lors de la superposition parfaite de deux figures isométriques, on appelle :
Côtés homologues, les côtés qui se superposent ;
Angles homologues, les angles qui se superposent ;
Sommets homologues, les sommets qui se superposent.

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1.4. Les sorte s d’isométries
Une isométrie est une symétrie orthogonale
une symétrie centrale
une translation
une rotation
ou une composée de ces transformations.
Il y a deux groupes d’isométrie :
Soit un glissement de la figure dans le plan : on parle alors de
déplacement. Les rotations, les symétries centrales, les translations
et la composé de plusieurs d’entre elles sont des déplacements.
Soit une sortie du plan de la figure afin de la renverser, suivie d’un
glissement de la figure dans le plan : on parle alors de
retournement. Les symétries orthogonales ou les composés de la
symétrie orthogonale et d’un déplacement sont des retournements.
1.5. Propriétés
Toute isométrie transforme :
- un point en un point.
- une demi-droite en une demi-droite.
- une droite en une droite.
- deux droites parallèles en deux droites parallèles.
- deux droites sécantes en deux droites sécantes.
- deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires.
- un segment en un segment de même longueur.
- le milieu d’un segment en le milieu de l’image de ce même
segment.
- un angle en un angle de même amplitude.
- un cercle en un cercle de même rayon.

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1.6. Exercices
1.6.1. Dans chaque cas suivant, la figure A est transformée en la figure B.
Cette transformation est-elle une isométrie ?
1.6.2. Dans chaque cas, complète la figure B pour qu’elle soit isométrique
de la figure A.
1.6.3. Réponds et justifie.
 Deux quadrilatères dont tous les côtés mesurent 3 cm sont-ils
isométriques ?
 Deux parallélogrammes de même base et de même hauteur
sont – ils isométriques ?
 Deux cercles de même rayon sont-ils isométriques ?

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2. Les triangles isométriques
2.1. Activité
a) Dans chacune des situations suivantes, tente de construire un triangle
isométrique au triangle KLM d’après des renseignements demandés par
certains élèves et les réponses données par le professeur :
Renseignement demandé par
Réponses du professeur
(les longueurs sont en cm à 0,1 près par défaut)
Julien : les amplitudes de deux angles
|K| = 45° et |L| = 30°
Yves : les longueurs de deux côtés
|KL| = 7 et |LM| = 5,1
Camille : les longueurs des trois côtés
|KL| = 7, |LM| = 5,1 et |MK| = 3,6
Yann : les longueurs de deux côtés et
l’amplitude de l’angle compris entre
ces deux côtés.
|KL| = 7, |LM| = 5,1 et |L| = 30°
Louise : les longueurs de deux côtés et
l’amplitude d’un angle non compris
entre ces deux côtés.
|KL| = 7, |LM| = 5,1 et |K| = 45°
Sophie : la longueur d’un côté et
l’amplitude des deux angles adjacents à
ce côté.
|KL| = 7, |L| = 30° et |K| = 45°
Quentin : la longueur d’un côté et les
amplitudes de l’angle opposé à ce côté
et d’un angle adjacent à ce côté.
|KL| = 7, |L| = 30° et |M| = 105°
b) Conclus la démarche précédente énonçant les cas pour lesquels tu as pu
construire un triangle isométrique au triangle KLM caché.