Les Figures isométriques

Les Figures isométriques
1. Les figures isométriques
1.1.
Activité
Dix petits magiciens.
Le propre d’un magicien est de pouvoir, au moyen de sa baguette magique,
effectuer divers tours.
Il est même, dit-on , capable de se téléporter.
Si, sur cette page chacun des magicien devenait mobile, quels sont ceux qu’il
serait possible de superposer parfaitement.
Pour superposer un magicien à un autre, un mouvement doit être effectué.
Ces mouvements vont sans doute te rappeler certaines transformations que tu
as vues auparavant. Tente de les retrouver et de les nommer. (Au besoin,
combines-en plusieurs).
Cours de mathématiques : les figures isométriques
3ème techniques
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1.2.
Définition
Deux figures superposables sont dites isométriques. Elles sont l’image l’une de
l’autre par une isométrie ou une suite d’isométries.
Une isométrie est une transformation du plan (car elle donne une et une seule
image à chaque point du plan) qui conserve les distances et qui ne déforme pas
la figure (elle reste applicable sur son image après découpage)
1.3.
Vocabulaire
1.3.1. Exemple :
Les quadrilatères ABCD et MNPQ sont isométriques
[AB] et [MN] sont des côtés homologues
[BC] et [NP] sont des côtés homologues
[CD] et [PQ] sont des côtés homologues
[DA] et [QM] sont des côtés homologues
 et M sont des angles homologues
B et N sont des angles homologues
C et P sont des angles homologues
D et Q sont des angles homologues
 et M sont des sommets homologues
B et N sont des sommets homologues
C et P sont des sommets homologues
D et Q sont des sommets homologues
Lors de la superposition parfaite de deux figures isométriques, on appelle :
Côtés homologues, les côtés qui se superposent ;
Angles homologues, les angles qui se superposent ;
Sommets homologues, les sommets qui se superposent.
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1.4.
Les sorte s d’isométries
Une isométrie est une symétrie orthogonale
une symétrie centrale
une translation
une rotation
ou une composée de ces transformations.
Il y a deux groupes d’isométrie :
Soit un glissement de la figure dans le plan : on parle alors de
déplacement. Les rotations, les symétries centrales, les translations
et la composé de plusieurs d’entre elles sont des déplacements.
Soit une sortie du plan de la figure afin de la renverser, suivie d’un
glissement de la figure dans le plan : on parle alors de
retournement. Les symétries orthogonales ou les composés de la
symétrie orthogonale et d’un déplacement sont des retournements.
1.5.
Propriétés
Toute isométrie transforme :
- un point en un point.
- une demi-droite en une demi-droite.
- une droite en une droite.
- deux droites parallèles en deux droites parallèles.
- deux droites sécantes en deux droites sécantes.
- deux droites perpendiculaires en deux droites perpendiculaires.
- un segment en un segment de même longueur.
- le milieu d’un segment en le milieu de l’image de ce même
segment.
- un angle en un angle de même amplitude.
- un cercle en un cercle de même rayon.
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1.6.
Exercices
1.6.1. Dans chaque cas suivant, la figure A est transformée en la figure B.
Cette transformation est-elle une isométrie ?
1.6.2. Dans chaque cas, complète la figure B pour qu’elle soit isométrique
de la figure A.
1.6.3. Réponds et justifie.
 Deux quadrilatères dont tous les côtés mesurent 3 cm sont-ils
isométriques ?
 Deux parallélogrammes de même base et de même hauteur
sont – ils isométriques ?
 Deux cercles de même rayon sont-ils isométriques ?
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2. Les triangles isométriques
2.1.
Activité
a) Dans chacune des situations suivantes, tente de construire un triangle
isométrique au triangle KLM d’après des renseignements demandés par
certains élèves et les réponses données par le professeur :
Renseignement demandé par
Réponses du professeur
(les longueurs sont en cm à 0,1 près par défaut)
Julien : les amplitudes de deux angles
|K| = 45° et |L| = 30°
Yves : les longueurs de deux côtés
|KL| = 7 et |LM| = 5,1
Camille : les longueurs des trois côtés
|KL| = 7, |LM| = 5,1 et |MK| = 3,6
Yann : les longueurs de deux côtés et
l’amplitude de l’angle compris entre
ces deux côtés.
|KL| = 7, |LM| = 5,1 et |L| = 30°
Louise : les longueurs de deux côtés et
l’amplitude d’un angle non compris
entre ces deux côtés.
|KL| = 7, |LM| = 5,1 et |K| = 45°
Sophie : la longueur d’un côté et
l’amplitude des deux angles adjacents à
ce côté.
|KL| = 7, |L| = 30° et |K| = 45°
Quentin : la longueur d’un côté et les
amplitudes de l’angle opposé à ce côté
et d’un angle adjacent à ce côté.
|KL| = 7, |L| = 30° et |M| = 105°
b) Conclus la démarche précédente énonçant les cas pour lesquels tu as pu
construire un triangle isométrique au triangle KLM caché.
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2.2.
Définition
Deux triangles sont isométriques lorsqu’ils sont l’image l’un de l’autre par une
isométrie.
2.3.
Notation
Si les triangles ABC et DEF sont isométriques, on écrira, en ayant soin de noter
les sommets homologues dans le même ordre :
ABC iso
DEF
On déduira que :
Les côtés homologues ont même longueur :
…………………………………………………………
Les angles homologues ont même amplitude :
…………………………………………………………
Si deux triangles sont isométriques, alors ils ont leurs côtés homologues de
même longueur et leurs angles homologues de même amplitude.
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2.4.
Cas d’isométries
Il n’est pas toujours simple de déterminer l’isométrie qui applique un triangle sur un autre.
On utilise alors les critères suivants que nous accepterons sans démonstration.
2.4.1. Triangles quelconques
2.4.1.1. 1er Cas :
Deux triangles sont isométriques si et seulement si ils ont deux angles
homologues de même amplitude adjacents à un côté de même longueur. (ACA)
2.4.1.2. 2ème cas :
Deux triangles sont isométriques si et seulement si ils ont un angle de même
amplitude compris entre deux côtés homologues de même longueur. (CAC)
2.4.1.3. 3ème cas :
Deux triangles sont isométriques si et seulement si ils ont trois côtés
respectivement de même longueur. (CCC)
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2.4.2. Triangle rectangle
2.4.2.1. 1er cas :
Deux triangles rectangles sont isométriques si et seulement si ils ont
l’hypoténuse de même longueur et un angle aigu de même amplitude.
2.4.3. 2e cas :
Deux triangles rectangles sont isométriques si et seulement si ils ont
l’hypoténuse de même longueur et un côté de l’angle droit de même longueur.
2.5.
Utilisation des triangles isométriques
L’utilisation des triangles isométriques permet de démontrer :
- l'égalité des longueurs de deux segments.
- l'égalité des amplitudes de deux angles.
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2.6.
Exercices
2.6.1. Les énoncés suivants sont-ils vrais ?
Si oui, cite le critère d’isométrie des triangles qui le justifie.
Si non, construis deux triangles non isométriques répondant aux
conditions énoncées.
Deux triangles sont isométriques :
- S’ils ont trois angles ayant même amplitude deux à
deux ;
- S’ils sont rectangles et que les côtés de l’angle droit ont
deux à deux la même longueur ;
- S’ils sont un angle de même amplitude et deux côtés de
même longueur deux à deux, l’un de ces côtés étant
l’opposé de l’angle.
2.6.2. Construis, si possible, un triangle A’B’C’ isométrique au triangle
ABC en utilisant les données suivantes :
|AB| = 7cm ; |BC| = 5cm ; |AC| = 6cm;
|AB| = 7cm ; A = 100°; C = 45°;
|AB| = 7cm ; | BC| = 5cm ; B = 75°
A = 90° ; B = 40° ; C = 50°
2.6.3. Construis, à l’aide de la règle non graduée et du compas, un triangle
isométrique au triangle ci-dessous.
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2.6.4. Dans les figures suivantes, cite des couples de triangles distincts et
isométriques. Indique chaque fois un cas d’isométrie, non identique,
qui lie ces triangles.
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3. RAPPELS
La symétrie centrale de centre O (S o) est la transformation du plan telle que :
Si A distinct de O, alors A et A’ sont symétriques par rapport au point O, appelé
centre de symétrie, si et seulement si le point O est le milieu du segment [AA’]
Si A et O sont confondus, alors A = A’ = O
Dans toute symétrie centrale, seul le centre est un point fixe.
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La symétrie orthogonale d’axe x (S x) est la transformation du plan telle que :
Si A n’est pas un point de la droite x, alors A et A’ sont symétriques par rapport
à la droite x, appelée axe de symétrie, si et seulement si la droite x et
médiatrice du segment [AA’].
Si A est un point de la droite x, alors A = A’
Dans toute symétrie orthogonale,
seuls les points de l’axe sont fixes.
La translation de vecteur AA’ (tAA’) est la transformation du plan telle que :
Si A distinct de A’, alors B’ est le translaté de B par la translation de vecteur
AA’, si et seulement si AA’ et BB’ sont parallèles, de même sens et de même
longueur.
Si A et A’ sont confondus, alors tous les points sont fixes.
Dans une translation quelconque, aucun point n’est fixe.
Dans la translation identique, tous les points sont fixes.
La rotation de centre C et d’angle orienté XCY (r C, XCY) est la transformation du
plan telle que :
Si XCY est non nul, alors A’ est l’image de A par la rotation de centre C et
d’angle orienté XCY, si et seulement si ACA = XCY et |CA| = |CA’|.
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Si XCY est nul, alors tous les points sont fixes
Dans une rotation quelconque, seul le centre est fixe.
Dans la rotation identique, tous les points sont fixes.
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