Devoir surveillé N°6.

PCSI.
Physique.
Devoir surveillé N°6.
Il est rappelé que votre copie est destinée à être lue et corrigée. En conséquence, une présentation claire et lisible est
recommandée. Il en sera tenu compte dans la notation.
Les questions sont numérotées. Les réponses à ces questions devront être données sous forme littérale la plus
simplifiée possible, encadrées, avant toute application numérique. Toute réponse non justifiée sera considérée comme
fausse.
Toutes les applications numériques seront effectuées dans le système international d’unités. Il ne sera pas tenu
compte des applications numériques ne comportant pas d’indications d’unités.
Il est choisi de représenter les vecteurs en caractères gras, non surmontés de flèches. Ainsi le vecteur
AB. La valeur du vecteur AB est écrite AB.
AB sera écrit
Problème 1. Navette spatiale. Mise sur orbite d'un satellite. ( Extraits Mines-Ponts 97 ).
Le repérage de la position d’un mobile (navire ou aéronef en vol) relativement à des repères fixes
utilise et utilisera de façon croissante des satellites de radiopositionnement, comme ceux du système
GPS (Global Positioning System) élaboré par la NASA. On étudie quelques aspects de la mécanique
des lancements de ces satellites, depuis le véhicule que constitue la navette spatiale. Le lancer d'un
satellite depuis cette navette se fait en trois étapes successives: la navette est d'abord mise en
orbite circulaire, au moyen de fusées auxiliaires; à partir de cette orbite circulaire, la navette éjecte le
satellite qui gagne progressivement une altitude plus élevée; enfin, une fois parvenu à son altitude
définitive, le satellite s'y stabilise au moyen d'un dispositif de freinage.
Dans l'ensemble de cette partie, la Terre est assimilée à un astre à symétrie sphérique, de rayon
R de centre C fixe à l'origine 0 des coordonnées d'un référentiel galiléen (G). On appelle g o
l'accélération de la pesanteur au niveau du sol, et T la période de révolution propre de la Terre
autour de l'axe des pôles. La navette spatiale et le satellite qu’elle emporte sont assimilés à deux
points matériels notés respectivement A et P.
Pour les applications numériques, on prendra R = 6 400 km, go = 9,80 m.s-2 et T = 86 164 s.
A. Lancement de la navette spatiale.
La navette spatiale et son satellite sont solidaires. Avec l'équipage et la charge utile, l'ensemble
est assimilé à un point matériel unique de masse M. Le tout est en orbite circulaire d'altitude h et de
rayon
r = R + h.
1. Déterminer, dans (G) et en fonction des constantes M, R et go, la vitesse v(r), la vitesse
angulaire o(r) et l'énergie mécanique E(r) de l'ensemble.
2. Application numérique : déterminer l'altitude H qu'il faut atteindre pour obtenir la période de
rotation de 12 heures, qui est celle des satellites du système GPS.
Avant le lancement, la fusée était placée sur un pas de tir situé à la latitude  (la latitude  d'un
point P de la surface de la Terre est l'angle formé par le segment CP avec sa projection sur le plan
équatorial).
3. Déterminer la variation d'énergie mécanique entre le lancement (avant la mise en route des
fusées) et l'arrivée sur orbite circulaire, en fonction de r, R, M, go,  et T.
4. Commenter le choix de  permettant, avec des moteurs donnés, la mise en orbite la plus
favorable possible.
5. Application numérique : l'orbite à atteindre est située à l'altitude de 300 km. Calculer
l'économie d'énergie réalisée par unité de masse du système lancé, lors du passage du
pas de tir d'Edwards (Californie, 1 = 34°50’ N) à celui de Cape Canaveral (Floride, 2 =
28°30’ N). A titre documentaire, un gramme d'essence fournit, typiquement, 40 kJ dans un
moteur à explosion.
B. Le satellite dans la soute de la navette; lancement.
La navette spatiale ayant atteint l'orbite décrite en A (circulaire de rayon r, parcourue à la vitesse
uniforme v(r) ), le satellite qu’elle contient dans la soute est alors libéré de ses fixations afin de le
préparer au lancement. On dit alors que le satellite est en impesanteur dans la soute.
L'ensemble de l'étude est réalisé dans le référentiel (N), lié à la navette et qui tourne avec elle
autour de la Terre par rapport à (G). On appelle A le centre de ce référentiel, confondu alors avec le
centre de masse de la navette spatiale. On utilisera dans ce référentiel les axes liés à la base
orthonormée (er, e, ez), où er est radial et e colinéaire à la trajectoire circulaire de la navette.
Enfin, le satellite sera assimilé à un point matériel P de masse m repéré par AP = x er + y e + z ez
ou par CP = r er + AP.
6. Quelles sont les forces qui s'exercent, dans (N), sur le point matériel P?
On donnera leurs expressions vectorielles respectives en fonction de m, go, r, ez, CP, R, T
et de la vitesse v’ de P relative au référentiel (N).
7. Montrer que ces forces, soit ne travaillent pas dans (N), soit y dérivent d'une énergie
potentielle Ep dont on donnera l'expression en fonction de m, go, R, r, CP = CPet z
seulement.
8. Le calcul au premier ordre significatif du développement autour de A montre que cette
énergie potentielle se met sous la forme approchée ci-après :
mo2
te
E p (x , y, z)  C 
(3 x 2  z 2 )
2
Retrouver l’expression de o en fonction de go, R, r et cela en considérant un point de l’axe
Az.
9. Etablir les équations du mouvement de P dans (N) en utilisant la relation fondamentale de
la dynamique et l’expression de Ep donnée à la question 8.
Etablir l'analogie électromagnétique formelle possible à ce stade, en précisant ce qui
correspond respectivement aux champs E et B.
Que peut-on dire de la stabilité de la (ou des) position(s) d’équilibre de la fusée.
Problème 2.Mesure du nombre d’Avogadro. (Extraits Centrale-Supélec 97).
Les parties A et B sont indépendantes.
A. On rappelle que dans les gaz monoatomiques comme l’argon, le coefficient de diffusion D
s'exprime
uniquement en fonction du libre parcours moyen l* et de la vitesse quadratique moyenne u.
1. Par analyse dimensionnelle, retrouver l’expression de D à un facteur multiplicatif près dont
on admettra qu’il est de l’ordre de l’unité.
2. On rappelle l’expression de l’énergie interne molaire d’un gaz parfait monoatomique en
fonction de la température T et de la constante des gaz parfaits R = 8,31 J.K -1.mol-1 :
3
U  RT .
2
Calculer la vitesse quadratique moyenne u dans l’argon ( M = 40 g/mol ) à T = 300 K sous
p = 1 bar.
Sachant que le coefficient d’autodiffusion vaut dans ces conditions D = 3,0.10 -5m2.s-1,
calculer le libre parcours moyen l*.
3. On assimile les atomes d’argon à des sphères dures de rayon r. Etablir l’expression de l*
en fonction de M, r, du nombre d’Avogadro NA et de la masse volumique  = 1,6 kg.m-3 de
l’argon.
4. L’étude des isothermes de l’argon permet d’accéder à la mesure du covolume b = 4.10-5
m3.mol-1 qui intervient dans l’équation d’état modèle de Van der Waals pour une mole :
a
(p  2 )(V  b)  RT
V
Rappeler la signification concrète de b.
Déduire de la mesure de b et de celle de l* une estimation de la valeur de r et de celle du
nombre d’Avogadro NA. Commenter.
B. On se propose maintenant de déterminer le coefficient de diffusion d’un gaz en utilisant un
modèle microscopique plutôt qu’une analyse dimensionnelle. Pour cela, les hypothèses suivantes
sont posées :
 Les vecteurs vitesses vi des molécules du gaz diffusé ont tous la même norme u, égale à la
vitesse quadratique moyenne.
 Dans tout échantillon du système, les vecteurs vitesses vi des molécules du gaz diffusé se
répartissent pour un sixième des molécules dans chacune des six directions.
 Les molécules du gaz diffusé ont entre deux chocs un mouvement rectiligne uniforme dans
l’une des six directions.
 Les chocs ont lieu aux mêmes instants pour toutes les molécules.
5. On considère une surface élémentaire dS perpendiculaire à l’axe Ox. Déterminer le
nombre N* de molécules qui franchissent dS pendant la durée t*, durée moyenne entre
n
deux chocs en fonction de l* libre parcours moyen, u, dS, t* et
où n désigne la densité
x
df
particulaire des particules diffusées. On rappelle : f (x  h )  f (x )  h ( ) .
dx
6. Déterminer le nombre N de molécules traversant dS pendant la durée dt supérieure à t*
mais inférieure à la durée caractéristique de variation des grandeurs macroscopiques telles
que la densité particulaire n.
7. Exprimer N en fonction de dS, dt et j densité de flux de particules diffusées.
n
8. Déterminer l’expression de j en fonction de l*, u et
.
x
9. Rappeler la loi de Fick. En déduire l’expression du coefficient de diffusion D en fonction de
l* et u.
Problème 3. Etude d'un filtre passe haut du premier ordre.
1. Filtre passif théorique.
1.1. La tension Ve est une tension sinusoïdale de fréquence f. Déterminer la fonction de
transfert du réseau schématisé sur la figure 1.
1.2. Tracer le diagramme de Bode de ce filtre en fonction de log x, avec x = /o et o = 1 /RC.
1.3. Justifier la conclusion suivante : Si le diagramme de Bode d'un filtre présente une pente de
20 dB par décade et un déphasage de ± /2, le montage est dérivateur.
1.4. Donner un montage utilisant un AO (amplificateur opérationnel) monté en suiveur,
permettant d'observer sans déformation Vs.
2. Montage dérivateur avec AO idéal.
L’AO fonctionne en régime linéaire et est supposé idéal. Montrer que ce montage réalise une
dérivation du signal d'entrée.
3. Etude du montage avec AO réel.
On modélise l'AO réel par le schéma suivant: en particulier le comportement de l'AO en sortie est
modélisé par un générateur de tension idéal de valeur .
On réalise le montage de droite ci-dessus.
3.1. Calculer la fonction de transfert : H 
Vs
Ve
avec un amplificateur AO réel caractérisé par :
 = o / ( 1 + jf/fo ).
On définit : la fréquence de coupure à gain nul f 1 = ofo et f2 = 1/ 2 RC.
3.2. En admettant que R >> R’, f2 >> fo et o >> 1, montrer que H se met sous la forme:
Ajx
f
f
1
H
avec f c2  f1f 2 , x  , A  - c , Q 
jx
R'
1
fc
f2
fc (
 )
1  x2
Rf 2 f1
Q
3.3. Application numérique: f1 = 1 MHz, R = 10 k , C = 100 nF, R’ = 50 . Calculer fc, Q et
A.
3.4. Donner l'allure du diagramme de Bode en amplitude: GdB = 20 log H en fonction de log x.
3.5. Interpréter le fait que le montage n'est pas dérivateur aux fréquences voisines de 10 kHz.
3.6. Le signal d'entrée est un signal triangulaire symétrique de fréquence f = 100 Hz. On
constate que le signal de sortie n’est pas tout à fait un signal créneau mais qu’il s’y
superpose des ondulations de fréquence voisine de 10kHz.
Justifier ces observations à partir du diagramme de Bode et de la décomposition de Fourier
d'un signal triangulaire.