Corrigé

3°7
Correction du devoir surveillé de mathématiques numéro 1
Exercice 1 :
1- On cherche le PGCD de 45 et 75.
45 = 9  5 = 3  3  5
75 = 3  25 = 3  5  5
Le PGCD de 45 et 75 est 3  5, c’est à dire 15.
On cherche le PGCD de 3640 et 1365.
Pour cela, on choisit d’appliquer l’algorithme d’Euclide.
3640 – 1365 = 2275
2275 – 1365 = 910
1365 – 910 = 455
910 – 455 = 455
455 est donc le PGCD de 3640 et 1365.
2- On sait que le PGCD de 3640 et de 1365 est 455 d’après la question précédente.
D’après le cours, il suffit de simplifier une fraction par le PGCD du numérateur et du dénominateur pour
la rendre irréductible.
3640
1365 = 8455
3455 = 8
3 On obtient 8 3 qui est en effet une fraction irréductible.
Exercice 2 :
On cherche un nombre à trois chiffres dont le chiffre des dizaines est 5. Il sera donc de la forme _5_ .
Pour qu’il soit le plus grand possible, on met un 9 au chiffre des centaines. Notre nombre devient donc de
la forme 95_. On cherche à déterminer le chiffre des unités.
Il faut encore que notre nombre soit divisible par 9. On cherche un chiffre C tel que 9+5+C soit un
multiple de 9 (car un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le composent est un multiple
de 9). 9, 8, 7, 6 et 5 ne conviennent pas (je pars du plus grand pour avoir le plus grand nombre possible)
mais C=4 convient. Le nombre cherché peut donc être 954.
Il reste à vérifier que 954 est divisible par 2. C’est le cas, car c’est un nombre pair.
Donc 954 est le plus grand nombre à trois chiffres dont le chiffre des dizaines est 5 qui soit divisible par 9
et 2.
Exercice 3 :
15 = 5  3 20 = 5  2  2
Le PGCD de 15 et 20 est donc 5. 15 et 20 sont donc deux nombres dont le PGCD est 5.
Exercice 4 : A = 7
5 + 1 10 = 14 10 + 1 10 = 15 10 = 35
25 = 3
2
B = 12
35  7 24 = 127
3524 = 3227 75322 = 1
5
C = 22
15 : 11 6 = 22 15  6 11 = 226
1511 = 11223 3511 = 22
5 = 4 5
Exercice 5 :
1- Nombre d’élèves qui étudient l’anglais : 25  64
100 = 64 4 = 16
Dans cette classe, il y a 16 élèves qui étudient l’anglais.
2- Il reste donc 25 – 16 soit 9 élèves qui étudient l’allemand sans l’anglais. Sachant que 9 élèves étudient
les deux langues, ça nous fait 9+9, soit 18 élèves qui étudient l’allemand.
3- 18 et 16 ne sont pas premiers entre eux car ils sont tous les deux divisibles par 2, et donc leur PGCD
n’est pas 1.