y = y + m (x -x), où m = xi yi – nxy
xi2 – nx 2
x est la moyenne des xi et y est la moyenne des yi.
13. Pour trouver le zéro d’une fonction f(x) dont la dérivée est connue, on peut utiliser
la méthode itérative de Newton-Raphson. Il s’agit de calculer :
xk+1 = xk – f(xk) / f '(xk).
Cette méthode parvient au même algorithme de recherche de la racine carrée d’un
nombre. Trouver la racine carrée de a revient à trouver un zéro pour f(x) = x2 – a.
Cette méthode généralise donc le calcul de la racine nième. Écrire un programme
calculant la racine nième d’un nombre à virgule flottante. Les valeurs de a et de n
sont saisies au clavier.
14. Notre objectif est d’effectuer une approximation de la fonction f(x) = ax, a > 0
constante connue, au moyen de la série convergente :
S(x) = 1 + (x ln a) / 1! + (x ln a)2 / 2! + … + (x ln a)N / N!
Pour toute valeur de x, cette série est telle que S(x) tend vers ax, quand N tend
vers l’infini.
Les points particuliers suivants doivent être pris en compte afin d’effectuer une
approximation correcte :
- Précision de l’approximation :
Étant donné que le terme (x ln a)N / N! tend vers zéro quand N tend vers l’infini,
l’approximation est d’autant meilleure qu’un plus grand nombre de termes est
calculé. Les termes de la série devront être calculés jusqu’à ce que (x ln a)N / N!
soit inférieur à un nombre arbitrairement petit « epsilon », indiqué en paramètre,
qui fixera la précision de l’approximation.
- Convergence de la série :
Bien que toujours convergente, la série converge beaucoup plus lentement lorsque
x est négatif (dans ce cas, les termes de la série sont de signe alterné). Afin
d’éviter cet inconvénient, on utilisera le fait que a-x = 1 / ax, et on n’effectuera
l’approximation que pour x ≥ 0.
- Calcul efficace du Nième terme de la série :