nombres parfaits - Colegio Francia

NOMBRES PREMIERS
FICHE 10
Définition
On dit qu'un entier naturel p est premier s'il possède exactement deux diviseurs positifs (1 et
lui-même).
Un entier naturel non premier est dit composé.
Exemples : 0 et 1 ne sont donc pas premiers. 2 est le plus petit nombre premier. C'est le seul
qui est pair. Les suivants sont : 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
Théorème
Soit a  1 un entier naturel.
 a admet un diviseur premier ;
 Si a n'est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que : 2  p  a .
Démonstration
Supposons que a ne soit pas premier.
a doit admettre un diviseur positif autre que 1 et a : soit p le plus petit diviseur positif de a
autre que 1. On a donc : 2  p  a . p est premier car s'il avait un diviseur positif d autre que 1
et p, il diviserait a et on aurait : 2  d  p  a et p ne serait pas le plus petit diviseur positif
de a autre que 1.
De plus, p divisant a il existe p  diviseur de a tel que 2  p  p  et pp   a d'où :
p 2  pp  a et donc 2  p  a .
Pour tester si un entier naturel a  1 est premier, il suffit donc de tester qu'il n'a pas de
diviseur premier p tel que : 2  p  a .
Crible d'Eratosthène
Il s'agit d'une méthode permettant de trouver tous les nombres premiers compris entre 2 et n
(entier naturel donné)
On entoure le premier nombre 2 (il est premier) puis on raye tous ses multiples.
On entoure le premier nombre non barré (3 donc) puis on raye tous ses multiples.
On continue... A chaque étape, on entoure le premier nombre non barré puis on raye tous ses
multiples. Dès que le premier nombre non barré a dépassé n , on peut entourer de confiance
tous les entiers non encore barrés : ils sont tous premiers.
Théorème
Il existe une infinité de nombres premiers.
Démonstration par l'absurde (due à Euclide)
Supposons qu'il n'existe qu'un nombre fini de nombres premiers, le plus grand de tous les
nombres premiers étant noté P.
Considérons l'entier N  2  3  5  7 11 P  1. (produit de tous les nombres premiers
plus un)
D'après le théorème précédent N admettrait un diviseur premier p. p diviserait N et p diviserait
le produit 2  3  5  7 11 P , donc p diviserait leur différence qui vaudrait 1. Ceci est
impossible.
Il y a donc une infinité de nombres premiers.
Ex 10.1 Indiquer pour chacun des nombres suivants s'il est premier :
481 ; 483 ; 485 ; 487.
Ex 10.2 Pour quelles valeurs du nombre entier n le nombre suivant est-il premier ?
n 2  8n  15
n 2  4n  3
Ex 10.3 Pour quelles valeurs des nombres entiers naturels n et m le nombre
2n 2  5nm  3m 2 est-il premier ?
Ex 10.4 Factoriser n 4  4 . Pour quelles valeurs entières de n n 4  4 est-il premier ?
Ex 10.5 Trouver 1 000 entiers naturels consécutifs, tous composés.
Deux nombres premiers sont dits jumeaux si leur différence est égale à 2.
Ex 10.6 Vérifier que 1607 et 1609 sont des nombres premiers jumeaux.
Les nombres 1 159 142 985 1 159 142 985  2 2304  1 sont deux nombres premiers jumeaux de
703 chiffres (découverts en 1979). On ne sait toujours pas s'il existe une infinité de nombres
premiers jumeaux.
Ex 10.7 Vérifier que n 2  n  41 est premier pour n  0,1, 2, ,39 .