Composition 3-2009

COLLÈGE Blanche de castille
Composition 3-2009MATHÉMATIQUES
Durée : 2 heures.
Les calculatrices sont autorisées ainsi que les instruments usuels de dessin.
Présentation, orthographe et rédaction : 4 points. On veillera à bien numéroter les exercices.
Les 3 parties seront faites sur des feuilles séparées.
Les résultats seront à mettre en évidence.
Partie I : Activités numériques (12 points)
Exercice 1 :(/ 4)
1. On donne C = 8 – 2
et D = 8 + 2
a) Prouver que C  D est un nombre entier.
b) Prouver que C² est un nombre entier.
c) Le nombre C+D est-il un nombre rationnel ?
2. On donne : E = 2 45 –
20 – 3 80
Écrire E sous la forme a 5, où a est un nombre entier relatif.
Exercice 2 :(/ 5)
On considère l’expression E = (3x + 1)² – 16
1) Développer et réduire E.
2) Factoriser E.
3) Calculer E pour x = 2 3. Donner le résultat sous la forme a + b 3 où a et b sont des entiers relatifs.
4) Résoudre l’équation ( x – 1) (3 x + 5) = 0.
Exercice 3 :(/3)
QCM Écrire la bonne réponse (A, B ou C) sur votre copie. Aucune justification n’est attendue.
On considère la série de données suivantes :
2;
4;
5;
6;
7;
8;
9;
Réponses
A
1. Le nombre de valeurs
12
différentes est :
2. La moyenne de cette
9,5
série est :
3. La médiane de cette
9
série est :
4. L’étendue de cette
14
série est :
5. le premier quartile de
4
cette série est :
6. le troisième quartile
14
de cette série est :
10 ;
14 ;
14 ;
B
16 ;
17 ;
17 ;
18.
C
14
16
10
10,5
9,5
10
16
18
5
6
15
16
1/3
Partie II : Activités géométriques (12 points)
Exercice 1 : ( / 3 )
Dans un parc de jeux, une épreuve consiste à parcourir une certaine
distance entre deux arbres avec une tyrolienne (sorte de poulie qui
permet de glisser le long d’un câble).
La situation est schématisée dans un plan vertical par le triangle
rectangle ABC ci-dessous, où A et B désignent les points de fixation du
câble sur les arbres, le segment [AB] représentant le câble.
On sait que le câble mesure 75 m
de long, et qu’il fait un angle de
5° avec l’horizontale représentée
par le segment [BC] sur le
schéma
1. Calculer la distance BC séparant les deux arbres. Arrondir au cm près.
2. Sans utiliser le théorème de Pythagore, calculer AC. Donner la troncature au cm près.
Exercice 2 : ( / 3 )
Dire si les phrases suivantes sont vraies ou fausses .En cas de réponse fausse, corriger l’affirmation.
1. La section d’un cube par un plan parallèle à une arête peut être un carré
2. La section d’une pyramide à base triangulaire par un plan parallèle à la base est un triangle
3. Un cône de révolution de rayon 8 cm est coupé par un plan parallèle à la base passant par le milieu de sa
hauteur .Le rayon du cercle de section est 16 cm
4. Dans un agrandissement d’un cône de révolution de rapport 3/2 le volume est multiplié par 27/8
5. ABCD est un trapèze tel que (AB) est parallèle à (CD) .Les diagonales se coupent en O . Les triangles OAD
et OBC forment une configuration de Thalès
6. Les points P ,A et R de même que les points P,B et S sont alignés ,dans le même ordre et PA/PR = PB/PS
alors le triangle PAB est une réduction du triangle PRS
Exercice 3 : ( / 6 )
On considère le cône ci-contre de sommet S et dont la base est le disque
de rayon [OA].
Ce cône a pour hauteur SO = 8 cm et pour génératrice SA = 10 cm.
I est le point du segment [SO] tel que SI = 2 cm.
1. Démontrer que OA = 6 cm.
2. Prouver que la valeur exacte du volume V du cône st égale à 96
cm3. Donner la valeur arrondie au mm3 près.
3. Déterminer au degré près la mesure de l’angle
;ASO.
4. On coupe ce cône par un plan parallèle à sa base et passant par le point I. la section obtenue est un
disque de centre I qui est une réduction du disque de base.
a. Déterminer le rapport k de cette réduction.
b. On appelle V’ le volume du petit cône de sommet S et de base le disque de centre I.
Exprimer V’ en fonction de V, puis donner la valeur arrondie de V’ au mm3 près.
2/3
Partie III: Problème (12 points)
Les trois parties sont indépendantes.
1ère partie
La famille Y en vacances au bord de la mer veut s’offrir
une excursion en bateau, à l’île I.
La distance IH entre l’île et la côte supposée rectiligne est
6 000 m.
La distance de l’embarcadère E (lieu de départ du bateau) à
H est 3 200 m.
1) Calculer l’angle
;EIH (on donnera une valeur
arrondie au degré près).
2) Calculer la longueur EI en km du trajet effectué par le bateau.
3) La vitesse moyenne du bateau est de 24 km/h. calculer la durée du trajet en minutes.
2ème partie
Dans cette partie la vitesse moyenne du bateau est 24 km/h.
1) a) On appelle t la durée en minutes du trajet, exprimer en fonction de t, la distance d (en km ) parcourue
par le bateau.
b) La distance d est-elle fonction linéaire de t ? Si oui quel est le coefficient ?
2) On considère la fonction linéaire f : t Error! 0,4 t
a) Représenter graphiquement la fonction f pour des valeurs de t allant de 0 à 20.
b) Lire graphiquement :
• La durée d'un trajet de 6,8 km ?
• La distance parcourue par le bateau au bout de 10 min .
3ème partie
On appelle x le prix (en euros) d’un billet aller-retour pour un adulte. Les enfants de 12 ans bénéficient
d’une réduction de 40%.
1) Montrer que le prix payé par un enfant de moins de 12 ans s’écrit 0,6 x .
2) La famille Y est composée de 2 adultes et de 3 enfants âgés de 8, 10 et 17 ans.
Calculer en fonction de x le prix du trajet aller-retour pour cette famille.
3) Bonus : Cette famille dispose de 63 euros au maximum pour cette excursion.
Quelle est la valeur maximum du prix x pour qu’elle puisse s’offrir l’excursion ?
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COLLÈGE Blanche de castille
Composition 3-2009- CORRECTION
MATHÉMATIQUES
Numérique
Exercice 1) /4
1)
a) C = 8 - 2
D= 8 +
C xD= ( 8 - 2)( 8 + 2)
= ( 8)2 - ( 2 )2
= 8 -2 = 6
Donc CxD est un entier
b) C² =( 8 - 2 )²
= 8² - 2 8  2 + 2²
= 8 - 2  16 + 2
= 10 - 2  4
= 2 donc C² est un entier
2
c) C+D = ( 8 - 2 ) + ( 8 + 2)
= 2 8 donc C+D n’est pas un
rationnel, c’est un irrationnel.
2) E = 2 45 - 20 – 80
= 2  9 x 5 - 4 x 5 - 3 16 x 5
= 2 3  5 -2 5 -3 4 5
= 6 5 – 2 5 – 12 5
= -8 5
Exercice 2) / 5
E = (3 x +1 )² - 16
1) E = 9 x ² + 6 x +1 – 16
E = 9 x ² + 6 x - 15
4) ( x – 1 ) ( 3 x + 5 ) = 0 un produit de deux ou
plusieurs facteurs est nul si et seulement si l’un au
moins des facteurs est nul .L’équation est
équivalente à :
2) E = ( 3 x + 1 )² – 4 ²
ou
3 x + 5 = 0 soit
E = (3 x +1–4)(3 x +1+4) x –1=0
ou
3 x = -5
soit
x =1
E= (3 x –3)(3 x +5)
=
1
ou
=
Error!
x
x
E=3(x–1)(3x+5)
les solutions de l’équation ( x – 1 )( 3 x + 5 ) = 0
3) E = 9  ( 2 3 )² + 6  2 3 - 15 sont donc 1 et -Error!
E = 9  4  3 + 6  2 3 - 15
E = 108 -15 + 12 3
E = 93 + 12 3
Exercice 3) /3
Numéro
1
de la
question
Réponses A
2
3
4
5
6
C
B
B
C
C
Géométrie
Exercice 1) / 3
1)On considère le triangle ABC rectangle en C .
Cos
;ABC = Error!
d’où cos 5° = BC / 75 donc BC = 75 x cos 5°
BC  74.71 m
2) On considère le triangle ABC rectangle en C
Sin
;ABC = Error! d’où sin 5° = Error!
donc AC = 75 x sin 5°
AC  6.53 m
Exercice 2) / 3
Affirmations
Réponses
1
V
2
V
3
F
4
V
Exercice 3 : ( / 6 )
5. Dans le triangle SOA rectangle en O, on
5
F
6
F
6. Le volume V du cône est :
1/3 corr
applique le théorème de Pythagore :
V = Error! soit Error!
SA² = SO² + AO²
V = Error!
10² = 8² + AO²
V = 96  cm3
V  301,593 cm3
AO² = 100 -64
AO² = 36 donc AO = 6 cm.
3. Le triangle SOA étant rectangle en O,
cos
;ASO = Error!
cos
;ASO = Error!
Error!  37°
4. a) k = Error!,
k = Error!
k = Error!
b) V’ = V  k3
V’ = 96   Error!3
V’ = Error! soit Error! cm3
V’  4,712 cm3
2/3 corr
Partie III: Problème (12 points)
1ère partie
4) Le triangle EIH est rectangle en H,
tan
;EIH = Error!
tan
;EIH = Error!
5) Dans le triangle EIH rectangle en H, on applique le
théorème de Pythagore :
EI² = EH² + IH²
EI² = 3200² + 6000²
;EIH  28°
EI² = 46 240 000
EI = 6800 m.
6) La formule de la vitesse moyenne est v = d/t donc t = d/v , or d = 6800 m = 6,8 km
D’où t = 6,8/24 (h) soit 6800/24  60 min ; t = 17 min.
2ème partie
Dans cette partie la vitesse moyenne du bateau est 24 km/h.
1) a) d = vt pour exprimer la distance en km, où t est exprimée en minutes, il faut convertir la vitesse en
km/min.
or v = 24 km/h soit v = 24/60 km/min donc v = 0,4 km/min
donc d = 0,4t.
b) La distance d est fonction linéaire de t et son coefficient est 0,4.
2)a)
v
(km)
y
6,8
4
1
1
10
17
t (min)
x
b) par lecture graphique :
• La durée d'un trajet de 6,8 km : 17 min
• La distance parcourue par le bateau au bout de 10 min : 4 km
3ème partie
4) Une réduction de 40% revient à multiplier le prix initial par (1-40/100) soit 0,6 donc si x est le prix
d’un billet adulte alors le prix payé par un enfant est 0,6 x .
5) Prix payé par les 2 adultes : 2 x , les 2 enfants de moins de 12 ans paient 0,6 x  2 , celui de 17 ans
paient x , le total est de 3 x + 1,2 x soit 4,2 x .
6) la valeur maximum du prix x pour qu’elle puisse s’offrir l’excursion est 15 euros.
4,2 x < 63
x < 63/4,2
x < 15
3/3 corr