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Eléments de rhéologie
I-
Mouvement laminaire de cisaillement, contrainte de cisaillement
Le fluide se décompose en couches entre lesquelles ils n’y a aucun transfert. Les couches glissent les unes
par rapport aux autres. Les couches inférieure et supérieure sont solidaires de la paroi.
Les forces de cisaillement sont des forces de frottement tangentielles qui s’expliquent par les forces de Wan
der Waals : il y a un transfert d’une partie de l’EC d’une couche vers celle en dessous qui est entrainée (moins vite).
Contraintes de cisaillement : 𝛕 =
II-
𝐝𝐅
𝐝𝐒
Déformation de cisaillement et taux de cisaillement
𝐝𝐱(𝐲,𝐭)
𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐝é𝐩𝐥𝐚𝐜𝐞𝐦𝐞𝐧𝐭
= 𝐯𝐚𝐫𝐢𝐚𝐭𝐢𝐨𝐧 𝐝𝐞 𝐡𝐚𝐮𝐭𝐞𝐮𝐫
𝐝𝐲
𝐝𝛆
𝐝𝐱(𝐲,𝐭)
𝐝𝐯
= 𝐝𝐲 ×𝐝𝐭 = 𝐝𝐲 (en s-1)
𝐝𝐭
Déformation de cisaillement : 𝛆(𝐲, 𝐭) =
Vitesse ou taux de cisaillement : 𝛆̇ =
III-
(en Pa)
(sans dimension)
Viscosité
A- Viscosité dynamique
Expérience de Couette : un liquide visqueux est mis entre deux cylindres. On fait tourner le
cylindre extérieur en retenant le cylindre intérieur. La force demandée est proportionnelle à la
surface et à la vitesse de rotation. On appelle viscosité dynamique le coefficient de
proportionnalité, sont signe est η (en Pa.s) :
𝐝𝐯
𝐅 = 𝛈 × 𝐒 × |𝐝𝐲| ↔
𝐅
𝐒
= 𝛈 × 𝛆̇ ↔ 𝛕 = 𝛈 × 𝛆̇
B- Viscosité cinématique
On appelle la viscosité cinématique la viscosité dynamique que divise la masse volumique : 𝛎 =
𝛈
𝛒
(en m2/s).
On distingue les liquides newtoniens, dont la viscosité ne varie pas avec la contrainte, des liquides non
newtoniens donc la viscosité η dépend de la contrainte τ.
C- Nombre de Reynolds
L’augmentation de la vitesse d’écoulement fait progressivement basculer l’écoulement laminaire en
écoulement turbulent. La limite entre les deux régimes est caractérisée par le nombre de Reynolds :
 R<1
 régime de Stokes
𝐯𝐦𝐨𝐲 × 𝛒 × 𝐥
𝐯𝐦𝐨𝐲 × 𝐥
 R < 2000  régime laminaire
𝐑=
=
(sans unité)
𝛈
𝛎
 R > 2000  régime turbulent
Profil des vitesses d’écoulement :
 Régime laminaire : vmoy = 0,5 x vmax
 Régime turbulent : 0,75 x vmax ≤ vmoy ≤ 0,85 x vmax
IV-
Fonction de fluage et fonction de relaxation
A- Comportement et définitions générales
Lors d’un écoulement linéaire, le principe de superposition de Boltzmann dit que :
 Pour les déformations : 𝛆 = ∑ 𝛆𝐢
 Pour les contraintes : 𝛕 = ∑ 𝛕𝐢
La fonction de fluage représente la déformation ε lorsqu’on applique une contrainte τ constante et unitaire. Dans ce
cas-là, ε(t) = f(t).
La fonction de relaxation représente la contrainte τ lorsqu’on applique une déformation ε constante et unitaire.
Dans ce cas-là, τ(t) = g(t).
B- Relation fondamentale
𝐭
𝛆(𝐭) = 𝐟(𝟎) × 𝛕(𝐭) − ∫𝟎 (𝐟̇(𝐭 − 𝐭 ′ ) × 𝛕(𝐭 ′ )) 𝐝𝐭′ : La déformation dépend de la contrainte et du passé de la
contrainte.
𝐭
𝛕(𝐭) = 𝐟(𝟎) × 𝛆(𝐭) − ∫𝟎 (𝐠̇ (𝐭 − 𝐭 ′ ) × 𝛆(𝐭 ′ ))𝐝𝐭′ : La contrainte dépend de la déformation et du passé de la
déformation.
V-
Modèles viscoélastiques élémentaires
A- Solide élastique parfait
Equation rhéologique :
ε(t) = J x τ(t) et τ(t) =
𝟏
𝑱
x ε(t) avec J la complaisance élastique
Fonction de fluage (τ = 1):
f(t) = J
(en Pa-1). L’application de la contrainte se traduit par une
déformation instantanée récupérable. Le solide est représenté
par un ressort de complaisance J.
B- Liquide visqueux newtonien
Equation rhéologique :
𝛆̇ (𝐭) =
𝛕(𝐭)
𝛈
↔ 𝛆(𝐭) =
𝟏
𝛈
𝐭
∫𝟎 𝛕(𝐭 ′ )𝐝𝐭′ ↔ 𝛆(𝐭) =
𝛕(𝐭)
𝛈
et τ(t) = η x ε(t)
Pour la fonction de fluage, comme τ = 1, on a :
𝐟(𝐭) =
𝟏
𝛈
𝐭
∫𝟎 𝐝𝐭′ ↔ 𝐟(𝐭) =
𝐭
𝛈
L’application de la contrainte se traduit par une déformation irrécupérable.
Si la contrainte est constante alors la déformation ε croit indéfiniment. Le
symbole est un amortisseur de viscosité η.
Les fluides sont représentés par un assemblage de ressorts et d’amortisseurs.
Fonction de fluage (τ = 1):
VI-
Fonction de fluage (τ = 1):
Modèle de Kelvin-Voigt
Propriétés lors d’une association en parallèle
Pour les contraintes :
Pour les déformations :
ε = ε1 = ε 2 = …
τ = ∑ τi
Equation rhéologique :
𝛆𝟏 (𝒕)
𝐉
𝛕𝟏 (𝐭) =
𝐞𝐭 𝛕𝟐 (𝐭) = 𝛈 × 𝛆̇ 𝟐 (𝐭) = 𝛈
𝐝𝛆𝟐 (𝒕)
𝐝𝐭
Donc d’après les propriétés d’association en parallèle,
𝛕(𝐭) =
𝛆(𝐭)
𝐉
+ 𝛈
𝐝𝛆(𝐭)
𝐝𝐭
Fonction de fluage (τ = 1) :
𝛈
𝐝𝐟(𝐭)
𝐝𝐭
𝐟(𝐭)
𝐉
+
−𝐭
= 𝟏 ↔ 𝐟(𝐭) = 𝐉 (𝟏 − 𝐞 𝛈𝐉 )
On appelle temps de retard θ = η x J =
VII-
𝛈
𝐆
(en s).
Liquide de Maxwell
Propriétés lors d’une association en série
Pour les contraintes :
Pour les déformations :
τ = τ1 = τ2 = …
𝜀 = ∑ 𝜀𝑖
Fonction de fluage (τ = 1):
Equation rhéologique :
𝛕𝟏 (𝐭) =
𝛆𝟏 (𝒕)
𝐉
𝐞𝐭 𝛕𝟐 (𝐭) = 𝛈 × 𝛆̇ 𝟐 (𝐭) = 𝛈
𝐝𝛆𝟐 (𝒕)
𝐝𝐭
Donc d’après les propriétés d’association en série,
𝐝𝛆
𝐝𝐭
=
𝐝𝛆𝟏
𝐝𝐭
+
𝐝𝛆𝟐
𝐝𝐭
↔
𝐝𝛆(𝐭)
𝐝𝐭
=𝐉
𝐝𝛕(𝐭)
𝛕(𝐭)
+
𝐝𝐭
𝛈
Fonction de fluage (τ = 1) :
f(t) = J
𝛕(𝐭)𝐝𝐭
𝛈
↔ 𝛆(𝐭) = 𝐉𝛕(𝐭) +
𝟏
∫ 𝛕(𝐭)𝐝𝐭
𝛈
Fonction de relaxation (ε = 1) :
𝐭
+
𝛈
VIII-
↔ 𝐝𝛆(𝐭) = 𝐉𝐝𝛕(𝐭) +
𝐠(𝐭) =
𝟏
𝐉
−𝐭
× 𝐞𝛉
Modèle de kelvin-Voigt généralisé
Fonction de fluage :
𝐟(𝐭) = 𝐉𝟎 +
IX-
𝐭
𝛈𝟎
−𝐭
∑𝐧𝐢=𝟏 𝐉𝐢 (𝟏 − 𝐞 𝛉𝐢 )
Modèle de Maxwell généralisé
−
Fonction de relaxation : 𝐠(𝐭) = ∑𝐧𝐢= 𝟏 (𝐆𝐢 𝐞
𝐭
𝛉𝐢
)
−
Si une branche ne comporte qu’un amortisseur : 𝐠(𝐭) = ∑𝐧−𝟏
𝐢 = 𝟏 (𝐆𝐢 𝐞
Si une branche ne comporte qu’un ressort : 𝐠(𝐭) = ∑𝐧𝐢= 𝟏 (𝐆𝐢 𝐞
G = rigidité (Pa)
J = complaisance élastique (Pa-1)
−
𝐭
𝛉𝐢
𝐭
𝛉𝐢
) + 𝐆𝐧
) + 𝛈𝐧δ(t)
η = viscosité (Pa.s)
X-
Analyse mathématique d’Inokuchi
Elle permet de modéliser le fluide par un modèle de Kelvin-Voigt généralisé ∶ 𝐟(𝐭) = 𝐉𝟎 +
−
𝐭
𝛈𝟎
−𝐭
∑𝐧𝐢=𝟏 𝐉𝐢 (𝟏 − 𝐞 𝛉𝐢 ).
t
Soit Q(t) = asymptote – f(t) = ∑ Ji e θi
Soit les temps de retard θi classés par ordre
décroissant.
Pour des temps très grands :
Q(t) ≈ J1e
−
t
θ1
t
⇔ ln (Q(t)) = ln (J1) - θ
1
Si ln (Q(t)) réel) = ln (Q(t)) théorique, alors il n’y a qu’un seul temps de retard. Si ce n’est pas le cas, il faut chercher
θ2 et J2 en traçant ln (Q(t)– J1 e
ln (Q(t)– J1 e
−
t
θ1
−
t
θ1
) en fonction du temps. Pour de temps très grands :
t
) = ln (J2) - θ , et ainsi de suite tant que la courbe n’est pas une droite.
2
Si les θi sont trop rapprochés, la détermination est impossible.
XI-
Fluides soumis à des contraintes et des déformations oscillantes
A- Généralités et formalisme complexe
τ∗
ε∗
=
τ0 𝑖ωΔt
e
ε0
τ0
(cos(ωΔt) + 𝑖sin(ωΔt))
ε0
= G∗ (ω)
=
τ*(t) = G*(ω) x ε*(t) d’après l’équiation
rhéologique d’un solide élastique parfait.
Soit la rigidité complexe :
G*(ω) = G’(ω) + iG’’(ω)
B- Exemples
1- Solide élastique parfait
La déformation est directement proportionnelle à la contrainte, il n’y a donc pas de déphasage (δ = 0) : G*(ω) =
Donc, d’après l’équation de la rigidité complexe : G’(ω) = G =
τ0
ε0
𝛕𝟎
𝛆𝟎
.
et G’’(ω) = 0
2- Liquide visqueux newtonien
Par définition, τ∗ (t) = η
dε∗ (t)
dt
∗
. D’après la définition de ε* donnée dans le graphique ci-dessus,
dε∗ (t)
dt
= iωε∗.
Donc τ∗ (t) = 𝑖ηωε∗ ⇔ G = 𝑖ηω.
π
Donc, pour un déphasage δ = 2 et d’après l’équation de la rigidité complexe : G’(ω) = 0 et G’’(ω) = ηω =
π
τ0
ε0
.
La déformation débute quand la contrainte est maximale (δ = 2 ). Lorsque la contrainte s’arrête la déformation est
maximale, c’est-à-dire qu’il n’y a pas de retour en arrière lors de l’arrêt de la contrainte.
3- Liquide de Maxwell
Comment sont mesurée G’ et G’’ :
 G’ est l’énergie restituée en fin de période (élasticité).
 G’’ est l’énergie perdue sous forme de chaleur (viscosité).
ω²ηθ
G’(ω) =
1+ ω²θ²
Pour le liquide de Maxwell :
G’’(ω) =
η
Avec θ = G
ωη
ω
1+ ω²θ²
4- Modèle de Maxwell généralisé
G’(ω) = ∑ G′(ω)i
G’’(ω) = ∑ G′′(ω)i
ω
Cas particuliers du modèle de Maxwell généralisé :
111
111
C- Application : connaissance de l’état d’un fluide
Pelote statistique
(Haute température)
Gel
(Température en baisse)
Réticulé
(Température basse)