Bases de géométrie plane

Chapitre 2 - 1 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007-2008
Chapitre II : Bases de géométrie plane.
I) Propriété, équivalence.
1) Propriété et réciproque
Définition 1: Une propriété mathématique est une affirmation qui est toujours vraie.
Elle ne comporte aucune exception.
Une propriété se présente souvent sous la forme :
Si « hypothèse de la propriété ( p )», alors « conclusion de la propriété ( q ) ».
Ou
« hypothèse de la propriété » implique « conclusion de la propriété ».
On dit que l’on a une implication. (
pq
)
Exemple :
Propriété 1 : Si « M est un point de la médiatrice du segment [AB] », alors «
MA MB
».
Définition 2 : L’énoncé réciproque d’une propriété s’obtient en inversant conclusion et
hypothèse.
Exemples :
L’énoncé réciproque de la propriété 1 est :
Si «
MA MB
», alors « M appartient à la médiatrice du segment [AB] ». (
qp
)
Cet énoncé est vrai, c’est donc une propriété appelée propriété réciproque de la propriété 1.
Autre exemple :
Si « un quadrilatère est un losange », alors « ses diagonales sont perpendiculaires » est un
énoncé vrai, c’est donc une propriété.
L’énoncé réciproque est faux, en effet, un quadrilatère peut avoir des diagonales
perpendiculaires sans être pour autant un losange. (il faudrait de plus que les diagonales se
coupent en leurs milieux.)
2) Equivalence.
Définition 3 : Quand l’énoncé réciproque d’une propriété est vrai, on peut regrouper propriété
et propriété réciproque en un seul énoncé utilisant l’expression si et seulement si.
On dit alors que l’on a une équivalence.
Exemple :
« Un point appartient à la médiatrice d’un segment » si et seulement si « il est équidistant des
deux extrémités de ce segment ».
Remarques :
« Un point appartient à la médiatrice d’un segment » équivaut à (ou est équivalent à) « ce
point est équidistant des deux extrémités du segment ». (
pq
)
ou

Chapitre 2 - 2 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007-2008
A
BC
A'
C' B'
G
B
A
C
A'
KK'
A
B
C
H
K
L
J
A
B
C
O
C
AO A
B'
A'
C'
A
B
C
I
R
I
R
P
Q
Pour qu’un point appartienne à la médiatrice d’un segment, il faut et il suffit qu’il soit
équidistant des extrémités de ce segment.
II) Droites et centres remarquables du triangle.
Propriétés :
1) Les médiatrices.
Les médiatrices d’un triangle ABC sont concourantes en un point, noté O et appelé centre du
cercle circonscrit à ce triangle.
Le cercle passe par les sommets du triangle, donc :
OA OB OC
.
Remarque : Un point situé sur la médiatrice du segment[AB] est équidistant de A et de B :
M MA MB  
2) Les hauteurs.
Les hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point, noté H et appelé
orthocentre du triangle.
Conséquences :
_ En calculant l’aire avec chacune des trois hauteurs, on obtient les
égalités :
AK BC BL AC CJ AB    
_ L’aire d’un triangle reste constante si l’on déplace un sommet
parallèlement au côté opposé :
'
''
22
ABC A BC
AK BC A K BC
AA
3) Les médianes.
Les médianes d’un triangle ABC sont concourantes en un point, noté G appelé centre de
gravité du triangle.
2'
3
AG AA
;
2'
3
BG BB
;
2'
3
CG CC
où A’,B’,C’ sont respectivement les milieux de [BC], [AC], [AB].
Remarque : La médiane partage le triangle en deux triangles de même aire :
''
1
2
ABA ACA ABC
A A A
4) Les bissectrices.

Chapitre 2 - 3 - 2nde D4
Emilie Bouchez 2007-2008
A
B
C
(D)
M
Q
R
B C
II C
A
C A
B
Les bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point, noté I et appelé centre du cercle
inscrit à ce triangle.
Le cercle est tangent intérieurement aux côtés du triangle, donc :
IP IQ IR
.
Remarque : Un point situé sur la bissectrice D d’un angle BAC est équidistant des deux côtés
de l’angle :
M D MQ MR  
III) Le triangle rectangle.
1) Triangle rectangle et cercle circonscrit.
Théorèmes : Soit ABC un triangle et C le cercle de diamètre [BC].
Si A est un point du cercle C, alors ABC est rectangle en A.
Si ABC est rectangle en A, alors A est un point du cercle C.
Le triangle ABC est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [BC] si, et seulement si, le
triangle ABC est un triangle rectangle en A d’hypoténuse [BC].
Remarques :
(BA) et (CA) sont deux hauteurs : A est donc l’orthocentre.
Les trois médiatrices ont en commun le milieu I de [BC], donc le cercle circonscrit est le
cercle de diamètre [BC].
La médiane AI est égale à la moitié de l’hypoténuse BC.
2) Théorème de Pythagore.
Théorème direct : Si ABC est un triangle rectangle en A, alors
2 2 2
BC AB AC
.
Théorème réciproque : Si
2 2 2
BC AB AC
, alors le triangle ABC est rectangle en A.
Le triangle ABC est rectangle en A si, et seulement si,
2 2 2
AB AC BC
.

Chapitre 2 - 4 - 2nde D4
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A C
B
(D1)
(D2)
(D)
A
B
3) Trigonométrie du triangle rectangle.
Définitions : Soit ABC un triangle rectangle en C.
Cosinus de l’angle :
cos( ) côté adjacent AC
hypoténuse AB
.
Sinus de l’angle :
sin( ) côté opposé BC
hypoténuse AB
.
Tangente de l’angle :
tan( )
côté opposé BC
côté adjacent AC
.
Propriétés :
sin( )
tan( ) cos( )
et
22
sin( ) cos( ) 1
Valeurs exactes usuelles :
30°
45°
60°
Sin(
)
1
2
2
2
3
2
Cos(
)
3
2
2
2
1
2
Résumé : Démontrer qu’un triangle ABC est rectangle en A
On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore ;
On peut démontrer que A appartient au cercle de diamètre [BC] ;
On peut démontrer que les angles b et c sont complémentaires ;
On peut démontrer que la médiane issue de A est égale à la moitié de BC.
IV) Parallèles et sécantes.
1) Deux parallèles et une sécante : égalités d’angles.
Définitions : une droite coupe deux droites
1
d
et
2
d
en A et B.

Chapitre 2 - 5 - 2nde D4
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ADB
E
C
AB
C
D
E
Les angles â et b sont correspondants.
Les angles b et c sont alternes-internes.
Les angles â et d sont alternes-externes.
Théorème : Si
1
d
est parallèle à
2
d
, alors les angles correspondants sont égaux :
âb
Réciproquement, si
âb
, alors
1
d
est parallèle à
2
d
.
12
12
12
//
//
//
d d â b
d d b c
d d a d
2) Deux parallèles et une sécante : Théorème de Thalès.
Deux droites sécantes en A sont coupées par les droites (BC) et (DE).
Théorème direct : Si
()
()
( )//( )
D AB
E AC
DE BC
, alors
AD AE DE
AB AC BC
Théorème réciproque :
Si
les points A,D,B et les points A,E,C sont alignés dans le même ordre,
et
AD AE
AB AC
, alors les
droites(DE) et (BC) sont parallèles.