Des clés pour démontrer

Des clés pour démontrer :
I- C omment démontrer que trois points sont alignés….
hypothèses J’utilise
Un angle plat .
Soit : BAC = 180°
(AB)∥(d)
;
( )
dAC //
( )
dAB ⊥
;
( )
dAC ⊥
Utiliser une transformation :
symétrie axiale, symétrie
centrale.
II - Comment démontrer que des points appartiennent à un même cercle ou sont cocycliques
AO = BO = CO
Le cercle C est circonscrit
au triangle ABC rectangle
en A.
III - Comment démontrer que 3 droites sont concourantes
Soit un triangle ABC
avec
2 hauteurs ou
2 médiatrices ou
2 médianes ou
2 bissectrices
O centre du cercle G centre de gravité H orthocentre O ’ centre du cercle
circonscrit inscrit
Si l’angle BAC est plat, alors les trois
points A, B et C sont alignés
Par un point ne passe qu’une parallèle à
une même droite.
Ccl : A ; B et C alignés
La symétrie conserve les alignements, les
mesures d'angles, d'aires, les longueurs.
Définition d’un cercle :
Des points équidistants d’un point appartiennent
à un même cercle
Si un cercle est circonscrit à un triangle
rectangle , alors le centre de ce cercle est
le milieu de l’hypothénuse.
Par un point, il ne passe qu’une perpendiculaire à
une même droite.
Ccl : A ; B et C alignés
Utiliser des droites remarquables
Les médiatrices, médianes, hauteurs,et bissectrices sont concourantes en un point appelé

Des clés pour démontrer :
IV - Comment démontrer que deux droites sont parallèles
•(D1) // (D2)
•(D2) // (D3)
•( D3)
⊥
(D1)
•(D3)
⊥
(D2)
•(d) sécante à (D1) et (D2)
•2 angles égaux , soit :
- alternes-internes :
6
ˆ
4
ˆ
=
- alternes-externes :
2
ˆ
8
ˆ
=
-correspondants :
5
ˆ
1
ˆ
=
ABCD parallélogramme
Définition :
un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés
parallèles deux à deux.
•Triangle ABC
•I milieu de [AB]
•J milieu de [AC]
k
AB
AM
=
'k
AC
AN
=
et k=k'
Réciproque du théorème de Thalés : Soient M
∈
(AB) et N
∈
(AC) :
Si
AB
AM
=
'
AC
AN
alors les droites (MN) et (AB) sont parallèles.
V - Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires
•(D1)//(D2)
•(D1)
⊥
(D3)
Si deux droites sont // , alors toute droite perpendiculaire à l’une est
perpendiculaire à l’autre.
(d) médiatrice de [AB] Définition: la médiatrice d'un segment est une droite le coupant
perpendiculairement en son milieu.
•Triangle isocèle en A
•(d) médiane ou bissectrice issue
de A
Dans un triangle isocèle, la médiane relative à la base ( ou la bissectrice de
l’angle au sommet) est aussi hauteur.
ABCD est un rectangle Définition: un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle.
ABCD est un losange Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales sont
perpendiculaires.
Définition: une tangente à un cercle en un point est la droite
perpendiculaire au rayon en ce point.
Conclusion: (d) est perpendiculaire à (OA)
H orthocentre du triangle ABC Dans un triangle, les hauteurs sont concourantes en un point appelé
l'orthocentre.
-Si deux droites sont // à une même 3ème, alors ces
deux droites sont //. (D1//D3)
Si deux droites sont perpendiculaires à
une même 3ème, alors ces deux droites sont //.
Si deux droites forment avec une sécante des angles
correspondants, alternes-internes, alternes-externes
égaux, alors ces droites sont parallèles.-
Ccl : (d) // (d’)
Si, dans un triangle, une droite passe par le milieu
de 2 côtés, alors elle est parallèle au 3ème côté.
A sur le cercle , d
est tangente au
cercle en A

Des clés pour démontrer :
VI - Comment démontrer qu’un triangle est équilatéral
AB=BC=AC Définition : un triangle équilatéral est un triangle ayant ses trois
côtés de même longueur
°=== 60
ˆ
ˆ
ˆCBA
Si un triangle a trois angles de 60°, alors il est équilatéral.
ABC est isocèle en A , et possède un angle de 60° Un triangle isocèle ayant un angle de 60° est équilatéral.
Le centre de gravité, l’orthocentre, le centre
du cercle inscrit et le centre du cercle
circonscrit à ce triangle sont confondus.
Dans un triangle équilatéral, les médiatrices, bissectrices, hauteurs
et médianes sont confondues.
VII - Comment démontrer qu’un triangle est rectangle :
̂
C+
̂
B=90 °
ou :
̂
A=90 °
A
B
C
Si un triangle a 1 angle droit ou 2 angles complémentaires, alors
il est rectangle.
A
B
C
Réciproque du Th de Pythagore : Si :le carré de la longueur du plus grand côté
est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, , alors ce
triangle est rectangle et le plus grand côté en est l’hypoténuse.
Déf : démontrer l'existence de la médiane avec la définition
propriété : si la médiane relative au plus grand côté mesure la moitié de
celui-ci, alors ce triangle est rectangle d'hypoténuse ce côté.
Si un cercle est circonscrit à un triangle dont un côté est un diamètre
de ce cercle, alors ce triangle est rectangle et ce diamètre en est
l’hypoténuse.
VIII - Comment démontrer qu’un triangle est isocèle :
Dans ABC : AB = AC définition : un triangle isocèle est un triangle ayant deux côtés de même longueur.
Définition : Un triangle ayant deux angles de même mesure est
isocèle.
IX - Comment démontrer qu’une droite est la médiatrice d’un segment
Définition :
La médiatrice d’un segment est la droite coupant perpendiculairement ce
segment en son milieu.
A
B
C
A'
B'
C'
Par construction de la symétrie axiale, (d) est médiatrice de
[AA’], [BB’] et [CC’].
propriété d’une médiatrice :si un point est équidistant des
extrémités d’un segment , alos il appartient à la médiatrice de ce
segment. Ccl : (MN) médiatrice de [AB]
BC est le + grand côté
BC²=k=AC²+AB²
AO = BO = CO
ABC est nscrit dans un
cercle tel que BC soit le
diamètre de ce cercle.
Deux angles à la base
de même mesure.
(d)
⊥
(AB)
I milieu de [AB]
I
∈
(AB)
A’,B’ et C’
symétriques de A,B et
C par rapport à (d)
MA = MB
NA = NB

Des clés pour démontrer :
X - Comment démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme
AB
C
D
Définition :
un parallélogramme est un quadrilatère ayant ses côtés opposés
parallèles deux à deux.
AB
C
D
Si un quadrilatère a 2 côtés opposés parallèles et de même longueur,
alors c’est un parallélogramme.
AB
C
D
O
Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu,
alors c’est un parallélogramme.
AB
C
D
Si un quadrilatère a ses angles opposés égaux 2 à 2,
alors c’est un parallélogramme.
XI - Comment démontrer qu ’un quadrilatère est un rectangle
AB
C
D
Définition :
Si un quadrilatère a trois angles droits, alors c’est un rectangle.
AB
C
D
Si un parallélogramme a 1 angle droit,
alors c’est un rectangle.
Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors
c’est un rectangle.
XII - Comment démontrer qu’un quadrilatère est un losange
définition :
Un quadrilatère ayant 4 côtés de même longueur est un losange.
Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur,
alors c’est un losange.
Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires alors ce
parallélogramme est un losange.
ABCD quadrilatère
AB=BC=CD=DA
ABCD parallélogramme
(AC)
⊥
(BD)
ABCD parallélogramme
AB=BC
(AB) // ( CD)
(AD) // (BC)
(AB) // (CD)
AB = CD
ABCD
parallélogramme
O milieu de [AC]
O milieu de [DB]
̂
DAB=
̂
DCB
̂
ADC =
̂
ABC

Des clés pour démontrer :
XII - Comment démontrer qu’un parallélogramme est un carré
Un carré est à la fois losange et rectangle
Il faut démontrer que le quadrilatère est un rectangle, puis un losange.
XIII - Comment démontrer qu’un point est milieu d’un segment
A symétrique de B par rapport à O
Si A est le symétrique de B par rapport à O, alors O est le milieu
du segment [AB].
Définition : la médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire
à ce segment en son milieu.
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se
coupent en leur milieu
SI un triangle est isocèle, alors la bissectrice ou hauteur issue du
sommet principal est aussi médiatrice et médiane.
Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans
un cercle de diamètre son hypoténuse.
Dans un triangle, les médianes ont concourantes en un point,
appelé le centre de gravité de ce triangle.
Ccl : C' milieu de [AB]
Si dans un triangle, une droite passe par le milieu d’un segment et
est parallèle au 3ème côté, alors elle coupe le 2ème côté en son milieu.
XIV - Comment démontrer que deux segments ont même longueur
Calculer leur longueur :
Calculer la longueur de deux segments
en utilisant le théorème de Pythagore
ou le théorème de Thalés.
Utiliser un milieu Utiliser un cercle :
Deux points appartenant à un même cercle
sont équidistants du centre de ce cercle.
Utiliser un rectangle :
Les diagonales d’un rectangle
ont même longueur.
Utiliser un losange :Les côtés d’un
losange sont tous de même longueur.
Utiliser un triangle isocèle :
Les côtés d’un triangle isocèle
sont de même longueur.
Utiliser un parallélogramme :
si un quadrilatère est un parallélogramme,
alors ses côtés sont de même longueur 2 à 2.
Utiliser une médiatrice :
SI un point appartient à la médiatrice
d'un segment, alors il est équidistant
des extrémités de celui-ci.
;
(d) médiatrice de [AB]
ABCD
parallélogramme
∆
ABC isocèle en A
(d) bissectrice
ou hauteur
Cercle C de centre O
∆
ABC rectangle en C
G centre de gravité
du triangle ABC
∆
ABC ;
I milieu de [AB]
J
∈
(AC)
(IJ) // (BC)
utiliser une bissectrice :
Si un n point appartient à la bissectrice d’un
angle alors il est équidistant des côtés de
l’angle.