1 Résultant et formule de Bezout Théorème 1. Soient A anneau

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Résultant et formule de Bezout
Théorème 1. Soient Aanneau factoriel et K=Frac(A). Soient également P, Q ∈A[X]premiers
entre eux dans A[X]. On note aussi m= deg(P)et n= deg(Q). Alors, il existe un unique couple
(U, V )dans A[X]n−1×A[X]m−1tel que UV +P Q =ResX(P, Q).
Lemme 1. L’application de Bezout-Sylvester ∂m,n
P,Q est bijective si et seulement si Pet Qsont
premiers entre eux dans K[X]
Démonstration. Supposons que Pet Qsont premiers entre eux et soit (U, V )∈Ker(∂m,n
P,Q ). Alors
on a UP +V Q = 0 de sorte que P|V Q et Q|UP et en particulier via le lemme de Gauss
P|V. Si on suppose V6= 0, alors deg(V)≥deg(P) = n, absurde puisque V∈K[X]n−1. D’où
V= 0 et de même U= 0, ce qui donne l’injectivité de ∂m,n
P,Q puis la bijectivité par un argument
de dimension.
Inversement, si ∂m,n
P,Q est bijective, il existe (U, V )∈K[X]n−1×K[X]m−1tel que UP +V Q = 1
et P, Q sont premiers entre eux d’après le théorème de Bezout.
Passons à la démonstration du théorème.
Démonstration. :
Etape 1 : on admet que Pet Qsont alors aussi premiers entre eux dans K[X](La démonstration
repose sur un raisonnement par l’absurde et les propriétés du contenu, voir rappel)
Etape 2 : Puisque Pet Qsont premiers entre eux dans K[X], on sait alors que l’application
de Bezout-Sylvester ∂m,n
P,Q est un isomorphisme et on note Sm,n P,Q la matrice de cet isomorphisme
dans les bases canoniques respectivement de K[X]n−1×K[X]m−1et K[X]m+n−1que sont :
{(Xn−1,0),...,(1,0),(0, Xm−1),...,(0,1)}et {Xm+n−1, . . . , X, 1}.
Par bijectivité de ∂m,n
P,Q , comme ResX(P, Q)∈A⊂K, il existe un unique couple (U, V )dans
K[X]n−1×K[X]m−1tel que UP +V Q =ResX(P, Q).
Objectif : montrons que U, V ∈A[X]. L’égalité ResX(P, Q) = ∂m,n
P,Q (U, V )où :
•U(X) = un−1Xn−1+. . . +u1X+u0∈K[X]n−1
•V(X) = vm−1Xm−1+. . . +v1X+v0∈K[X]m−1
se traduit matriciellement par :
Sm,n
P,Q
un−1
.
.
.
u0
vm−1
.
.
.
v0
=
0
.
.
.
0
0
.
.
.
RX(P, Q)
=RX(P, Q)
0
.
.
.
0
0
.
.
.
1
(∇1)
Puisque Pet Qsont premiers entre eux dans K[X], on a ResX(P, Q) = det(Sm,n
P,Q )6= 0 et :
(Sm,n
P,Q )−1=1
ResX(P, Q)
tCom Sm,n
P,Q .
Or P, Q ∈A[X]nous donne alors Sm,n
P,Q ∈ Mn+m(A)puis tCom Sm,n P,Q ∈ Mn+m(A). En
composant à gauche par (Sm,n
P,Q )−1dans (∇1), il vient :
un−1
.
.
.
u0
vm−1
.
.
.
v0
=tCom(Sm,n
P,Q )
| {z }
∈Mn+m(A)
0
.
.
.
0
0
.
.
.
1
∈Am+n
ce qui implique ui∈Apour tout i∈[[1, n −1]],vj∈Apour tout j∈[[1, m −1]] soit exactement
U, V ∈A[X].

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Application 1. Soient P, Q ∈C[X, Y ]premiers entre eux, non constants où les coefficients
dominants de P, Q vus comme des polynômes de C[X][Y]vérifient lcY(Q)∈C∗et lcY(P)∈C∗.
On note :
Z(P, Q) = {(x, y)∈C2|P(x, y) = Q(x, y)=0}
Alors, card(Z(P, Q)) <∞et notant R=ResY(P, Q)∈C[X], le resultant des polynômes P, Q
vus comme des polynômes de C[X][Y], on a précisément :
Z(P, Q) = S
x∈Z(R)
{x} × Z(P(x, Y ), Q(x, Y )) = S
x∈Z(R)
{x} × Z(pgcd(P(x, Y ), Q(x, Y )))
et les abscisses des éléments de Z(P, Q)sont les racines de ResY(P, Q).
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que ResY(P, Q) = UP +V Q ∈C[X], pour U, V ∈C[X, Y ]. Puisque Pet
Qsont premiers entre eux dans C[X, Y ], ils le sont également dans C[X][Y]. En appliquant le
théorème précédent à A=C[X], il existe U, V ∈C[X][Y]tels que : ResY(P, Q) = U P +V Q.
Etape 2 : notons R=ResY(P, Q)∈C[X], avec :
pr1:C2−→ C
(x, y)7−→ xet hx:C[X]−→ C P7−→ P(x)
et on prolonge la définition de hxde C[X, Y ]dans C[Y]en posant hx(Y) = Y.
Objectif 1. montrons que Z(R) = pr1(Z(P, Q)).
Comme lcY(P),lcY(Q)∈C∗,degY(hx(P)) = degY(P)et degY(hx(Q)) = degY(hx(Q)) et par
spécialisation du résultant, on a alors :
ResY(P, Q)(x) = hx(ResY(P, Q)) = ResY(hx(P(X, Y )), hx(Q(X, Y )) = ResY(P(x, Y ), Q(x, Y ))
Supposons x∈Z(R), alors ResY(P, Q)(x)=0et ResY(P(x, Y ), Q(x, Y )) = 0. Cela signifie que
P(x, Y )∈C[Y]et Q(x, Y )∈C[Y], ont un facteur commun dans C[Y]donc une racine commune
dans C. Il existe alors y∈Ctel que P(x, y) = Q(x, y) = 0 ce qui implique (x, y)∈Z(P, Q)puis
x∈pr1(Z(P, Q)). D’où :
Z(R)⊂pr1(Z(P, Q))
Inversement, supposons que x∈pr1(Z(P, Q)). Il existe y∈Ctel que P(x, y) = Q(x, y)=0, ce
qui donne ResY(P, Q)(x) = U(x, y)P(x, y) + V(x, y)Q(x, y)=0soit l’égalité :
pr1(Z(P, Q)) = Z(R)
Objectif 2. montrons que Z(P(x, Y ), Q(x, Y )) = Z(pgcd(P(x, Y ), Q(x, Y ))
Notant D(Y)∈C[Y]le pgcd de P(x, Y )et Q(x, Y ), il existe A(Y), B(Y)∈C[Y]tels qu’on ait
une relation de Bezout de la forme :
A(Y)P(x, Y ) + B(Y)Q(x, Y ) = D(Y)
Alors, pour y∈Ctel que P(x, y) = Q(x, y)=0, ie y∈Z(P(x, Y ), Q(x, Y )), on a aussi D(y)=0.
De plus, comme D|P(x, Y )et D|Q(x, Y ), on a pour y∈Z(D):
D(y) = 0 =⇒P(x, y) = Q(x, y) = 0.
ce qui donne bien Z(P(x, Y ), Q(x, Y )) = Z(pgcd(P(x, Y ), Q(x, Y )). Au final, on obtient :
(x, y)∈Z(P, Q)⇐⇒ x∈Z(R)et y∈Z(pgcd(P(x, Y ), Q(x, Y )).
D’où Z(P, Q) = S
x∈Z(R)
{x} × Z(pgcd(P(x, Y ), Q(x, Y )).
Objectif 3. montrons que Z(P, Q) = S
x∈Z(R)
{x} × Z(pgcd(P(x, Y ), Q(x, Y )) est fini.
Comme Pet Qsont premiers entre eux dans C[X][Y]on a R6= 0 ∈C[X]et card(Z(R)) <∞.
Il y a ainsi un nombre fini de racines x1, . . . , xrde Ret pour tout i∈[[1, r]] on a :
pgcd(P(xi, Y ), Q(xi, Y )) 6=0=⇒Z(pgcd(P(xi, Y ), Q(xi, Y )) <∞

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En effet, pgcd(P(xi, Y ), Q(xi, Y )) 6= 0, car sinon on aurait P(xi, Y )C[Y] + Q(xi, Y )C[Y] = (0)
puis nécessairement P(xi, Y ) = Q(xi, Y ) = 0 et (X−xi)serait un diviseur commun non trivial
de P(X, Y )et Q(X, Y )qui sont premiers entre eux dans C[X, Y ], absurde. Finalement on a bien :
card(Z(P, Q)) <∞.
Application 2. Soient
P(X, Y ) = X2−XY +Y2−1∈C[X, Y ]et Q(X, Y ) = 2X2+Y2−Y−2∈C[X, Y ]
alors, P∧Q= 1 dans C[X, Y ]et les points d’intersection des ellipses d’équation P= 0 et Q= 0
sont donnés par Z(P, Q) = {(0,−1); (1,0); (1,1); (−1,0)}.
Démonstration. P, Q ∈C[X, Y ]peuvent être vus comme des polynômes en Yà coefficients dans
C[X]pour lesquels on a degY(P) = degY(Q) = 2. La matrice S2,2
P,Q associée est alors :
S2,2
P,Q =
1 0 1 0
−X1−1 1
X2−1−X2X2−2−1
0X2−102X2−2
de déterminant associé :
1 0 1 0
−X1−1 1
X2−1−X2X2−2−1
0X2−102X2−2
= 3X(X2−1)(X−1).
Puisque ResY(P, Q)6= 0 dans C[X], on en déduit que P(X, Y )∈C(X)[Y]et Q(X, Y )∈C(X)[Y]
sont premiers entre eux dans C(X)[Y]donc naturellement dans C[X][Y]et aussi dans C[X, Y ].
D’après l’application précédente, il s’agit alors d’étudier les racines de ResY(P, Q)qui sont les
abscisses des éléments de Z(P, Q). Or, Z(ResY(P, Q)) = {0,1,−1}et on distingue donc les cas
suivants :
1. Pour x= 0,P(0, Y ) = Y2−1admet −1et 1comme racines et Q(0, Y ) = Y2−Y−2. On
en déduit donc que : Z(P(0, Y ), Q(0, Y )) = {−1}.
2. Pour x= 1,P(1, Y ) = Q(1, Y ) = Y2−Yde racines 0et 1, soit Z(P(1, Y ), Q(1, Y )) = {0,1}.
3. Pour x=−1,P(−1, Y ) = Y2+Yont pour racines 0et −1et Q(−1, Y ) = Y2−Ya comme
racines 0et 1. Soit Z(P(−1, Y ), Q(−1, Y )) = {0}.
Au final, on trouve 4couples de solutions, qui sont toutes réelles :
Z(P, Q) = {(0,−1); (1,0); (1,1); (−1,0)}.
Rappel 1. Soit Aun anneau factoriel et K=Frac(A). Alors, si Pet Qsont premiers entre eux
dans A[X], ils le sont aussi dans K[X].
Démonstration. :
Objectif 4. montrons que Pet Qsont premiers entre eux dans K[X].
Cas 1 : pour commencer, supposons Pet Qprimitifs, ie tels que c(P) = c(Q) = 1 mod A∗où
A∗désigne les inversibles pour la loi ×dans (A, +,×).
Méthode 1. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe F∈K[X]irreductible tel que
F|Pet F|Qdans K[X]
Alors, Fpeut s’écrire sous la forme F=a
bF1où a, b ∈Atel que a∧b= 1 et F1∈A[X]primitif.
On en déduit en particulier que F1|Pet F1|Qdans K[X]. Ainsi, il existe des polynômes
D1, D2∈K[X]tels que P=D1F1et Q=D2F1où l’on peut de nouveau écrire :
D1=a1
b1
D0
1où a1, b1∈Atels que a1∧b1= 1 et D0 1∈A[X]primitif.

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et
D2=a2
b2
D0
2où a2, b2∈Atels que a2∧b2= 1 et D0 2∈A[X]primitif.
On en déduit donc que b1P=a1D0
1F1et b2P=a2D0 2F1. En utilisant alors la multiplicativité du
contenu et le fait que P, Q, D0
1, D0 2et F1sont dans A[X]et primitifs, on a :
b1=a1mod A∗et a2=b2mod A∗(∇)
Comme, a1∧b1= 1, les seuls diviseurs commun à a1et b1sont les éléments de A∗, on déduit
donc de (∇)que a1, b1∈A∗et de même a2, b2∈A∗. Finalement, il vient que :
a1
b1
=a1b−1
1∈Aet a2
b2
=a2b−1
2∈A=⇒D1, D2∈A[X]
et enfin F1divise Pet Qdans A[X]. Or, F∈K[X]étant irreductible dans K[X], on a naturel-
lement F1∈A[X]est irreductible dans A[X], avec F1|P, Q, ce qui contredit le fait que Pet
Qsoit premier entre eux dans A[X]. D’où, si Pet Qsont primitifs et premiers entre eux dans
A[X]on a P, Q sont premiers entre eux dans K[X].
Cas 2 : Supposons P, Q premiers entre eux dans A[X]et non primitifs. Alors, P
c(P)∈A[X]et
Q
c(Q)∈A[X]sont primitifs et premiers entre eux dans A[X]. En effet, comme 1 c(P),1 c(Q)∈A,
s’il existe D∈A[X]irreductible tel que :
D|P
c(P)et D|D c(Q)
alors D|P
c(P)|Pet D|D c(Q)|Q, absurde. Ainsi, P c(P)et Q c(Q)sont d’après le cas 1, premiers
entre eux dans K[X], ce qui implique que Pet Qle sont également. En effet, sinon il existerait
D∈K[X]irreductible et D1, D2∈K[X]tels que :
P=DD1et Q=DD2puis P
c(P)=DD1 c(P),Q c(Q)=DD2 c(Q)
et D|P
c(P),Q c(Q)dans K[X], absurde.
Rappel 2. Soit Aanneau intègre et K=Frac(A). Pour P, Q ∈A[X], on a ResX(P, Q)∈A.
Rappel 3. Spécialisation du résultant.
Soient φ:A−→ Bun morphisme d’anneaux intègre qui se prolonge de manière unique en
un morphisme d’anneaux de A[X]−→ B[X]en posant φ(X) = X. On considère alors f, g
des polynômes de A[X]de degré, respectifs m, n tels que f=
m
P
i=0
aiXiet g=
n
P
j=0
bjXj. Alors
φ(ResX(f, g)) = (0si deg(φ(f)) <deg(f)et deg(φ(g)) <deg(g)
φ(am)kResX(φ(f), φ(g)) si deg(φ(f)) = fet deg(φ(g)) = deg(g)−k
Rappel 4. Soit Kun corps et P, Q ∈K[X], on a alors :
Pet Qsont premiers entre eux dans K[X]⇐⇒ ResX(P, Q)6= 0.
Rappel 5. Pour P∈K[X]de degré met Q∈K[X]de degré n, l’application linéaire dite de
Bezout-Sylvester ∂m,n
P,Q est définie par :
∂m,n
P,Q :K[X]≤n−1×K[X]≤m−1−→ K[X]≤n+m−1
(U, V )7−→ U P +V Q