1 Résultant et formule de Bezout Théorème 1. Soient A anneau

1
Résultant et formule de Bezout
Théorème 1. Soient A anneau factoriel et K = Frac(A). Soient également P, Q ∈ A[X] premiers
entre eux dans A[X]. On note aussi m = deg(P ) et n = deg(Q). Alors, il existe un unique couple
(U, V ) dans A[X]n−1 × A[X]m−1 tel que U V + P Q = ResX (P, Q).
m,n
Lemme 1. L’application de Bezout-Sylvester ∂P,Q
est bijective si et seulement si P et Q sont
premiers entre eux dans K[X]
m,n
Démonstration. Supposons que P et Q sont premiers entre eux et soit (U, V ) ∈ Ker(∂P,Q
). Alors
on a U P + V Q = 0 de sorte que P | V Q et Q | U P et en particulier via le lemme de Gauss
P | V . Si on suppose V 6= 0, alors deg(V ) ≥ deg(P ) = n, absurde puisque V ∈ K[X]n−1 . D’où
m,n
V = 0 et de même U = 0, ce qui donne l’injectivité de ∂P,Q
puis la bijectivité par un argument
de dimension.
m,n
Inversement, si ∂P,Q
est bijective, il existe (U, V ) ∈ K[X]n−1 ×K[X]m−1 tel que U P +V Q = 1
et P, Q sont premiers entre eux d’après le théorème de Bezout.
Passons à la démonstration du théorème.
Démonstration. :
Etape 1 : on admet que P et Q sont alors aussi premiers entre eux dans K[X] (La démonstration
repose sur un raisonnement par l’absurde et les propriétés du contenu, voir rappel)
Etape 2 : Puisque P et Q sont premiers entre eux dans K[X], on sait alors que l’application
m,n
m,n
de Bezout-Sylvester ∂P,Q
est un isomorphisme et on note SP,Q
la matrice de cet isomorphisme
dans les bases canoniques respectivement de K[X]n−1 × K[X]m−1 et K[X]m+n−1 que sont :
{(X n−1 , 0), . . . , (1, 0), (0, X m−1 ), . . . , (0, 1)} et {X m+n−1 , . . . , X, 1}.
m,n
Par bijectivité de ∂P,Q
, comme ResX (P, Q) ∈ A ⊂ K, il existe un unique couple (U, V ) dans
K[X]n−1 × K[X]m−1 tel que U P + V Q = ResX (P, Q).
m,n
Objectif : montrons que U, V ∈ A[X]. L’égalité ResX (P, Q) = ∂P,Q
(U, V ) où :
n−1
• U (X) = un−1 X
+ . . . + u1 X + u0 ∈ K[X]n−1
• V (X) = vm−1 X m−1 + . . . + v1 X + v0 ∈ K[X]m−1
se traduit matriciellement par :

 

 
un−1
0
0
 ..  

 .. 
..
 .  

.
.

 

 




0
u
0
m,n 
0 



SP,Q 
=
= RX (P, Q) 


0 (∇1 )
v
0
 m−1  

 
 .  

.
..
 ..  

 .. 
.
v0
RX (P, Q)
1
m,n
Puisque P et Q sont premiers entre eux dans K[X], on a ResX (P, Q) = det(SP,Q
) 6= 0 et :
1
m,n
m,n −1
t
Com SP,Q
.
(SP,Q
) =
ResX (P, Q)
m,n
m,n
Or P, Q ∈ A[X] nous donne alors SP,Q
∈ Mn+m (A) puis t Com SP,Q
∈ Mn+m (A). En
m,n −1
composant à gauche par (SP,Q
) dans (∇1 ), il vient :

 

un−1
0
 .. 
 .. 
 . 
.

 

 u0 
 

 = t Com(S m,n ) 0 ∈ Am+n
P,Q 0
vm−1  |
{z
} 


 . 
.
∈Mn+m (A) 
 .. 
 .. 
v0
1
ce qui implique ui ∈ A pour tout i ∈ [[1, n − 1]], vj ∈ A pour tout j ∈ [[1, m − 1]] soit exactement
U, V ∈ A[X].
2
Application 1. Soient P, Q ∈ C[X, Y ] premiers entre eux, non constants où les coefficients
dominants de P, Q vus comme des polynômes de C[X][Y ] vérifient lcY (Q) ∈ C∗ et lcY (P ) ∈ C∗ .
On note :
Z(P, Q) = {(x, y) ∈ C2 | P (x, y) = Q(x, y) = 0}
Alors, card(Z(P, Q)) < ∞ et notant R = ResY (P, Q) ∈ C[X], le resultant des polynômes P, Q
vus comme des polynômes de C[X][Y ], on a précisément :
S
S
Z(P, Q) =
{x} × Z(P (x, Y ), Q(x, Y )) =
{x} × Z(pgcd(P (x, Y ), Q(x, Y )))
x∈Z(R)
x∈Z(R)
et les abscisses des éléments de Z(P, Q) sont les racines de ResY (P, Q).
Démonstration. :
Etape 1 : montrons que ResY (P, Q) = U P + V Q ∈ C[X], pour U, V ∈ C[X, Y ]. Puisque P et
Q sont premiers entre eux dans C[X, Y ], ils le sont également dans C[X][Y ]. En appliquant le
théorème précédent à A = C[X], il existe U, V ∈ C[X][Y ] tels que : ResY (P, Q) = U P + V Q.
Etape 2 : notons R = ResY (P, Q) ∈ C[X], avec :
pr1 :
C2
−→
(x, y) 7−→
C
C[X] −→
et hx :
x
P
7 →
−
C
P (x)
et on prolonge la définition de hx de C[X, Y ] dans C[Y ] en posant hx (Y ) = Y .
Objectif 1. montrons que Z(R) = pr1 (Z(P, Q)).
Comme lcY (P ), lcY (Q) ∈ C∗ , degY (hx (P )) = degY (P ) et degY (hx (Q)) = degY (hx (Q)) et par
spécialisation du résultant, on a alors :
ResY (P, Q)(x) = hx (ResY (P, Q)) = ResY (hx (P (X, Y )), hx (Q(X, Y )) = ResY (P (x, Y ), Q(x, Y ))
Supposons x ∈ Z(R), alors ResY (P, Q)(x) = 0 et ResY (P (x, Y ), Q(x, Y )) = 0. Cela signifie que
P (x, Y ) ∈ C[Y ] et Q(x, Y ) ∈ C[Y ], ont un facteur commun dans C[Y ] donc une racine commune
dans C. Il existe alors y ∈ C tel que P (x, y) = Q(x, y) = 0 ce qui implique (x, y) ∈ Z(P, Q) puis
x ∈ pr1 (Z(P, Q)). D’où :
Z(R) ⊂ pr1 (Z(P, Q))
Inversement, supposons que x ∈ pr1 (Z(P, Q)). Il existe y ∈ C tel que P (x, y) = Q(x, y) = 0, ce
qui donne ResY (P, Q)(x) = U (x, y)P (x, y) + V (x, y)Q(x, y) = 0 soit l’égalité :
pr1 (Z(P, Q)) = Z(R)
Objectif 2. montrons que Z(P (x, Y ), Q(x, Y )) = Z(pgcd(P (x, Y ), Q(x, Y ))
Notant D(Y ) ∈ C[Y ] le pgcd de P (x, Y ) et Q(x, Y ), il existe A(Y ), B(Y ) ∈ C[Y ] tels qu’on ait
une relation de Bezout de la forme :
A(Y )P (x, Y ) + B(Y )Q(x, Y ) = D(Y )
Alors, pour y ∈ C tel que P (x, y) = Q(x, y) = 0, ie y ∈ Z(P (x, Y ), Q(x, Y )), on a aussi D(y) = 0.
De plus, comme D | P (x, Y ) et D | Q(x, Y ), on a pour y ∈ Z(D) :
D(y) = 0 =⇒ P (x, y) = Q(x, y) = 0.
ce qui donne bien Z(P (x, Y ), Q(x, Y )) = Z(pgcd(P (x, Y ), Q(x, Y )). Au final, on obtient :
(x, y) ∈ Z(P, Q) ⇐⇒ x ∈ Z(R) et y ∈ Z(pgcd(P (x, Y ), Q(x, Y )).
S
D’où Z(P, Q) =
{x} × Z(pgcd(P (x, Y ), Q(x, Y )).
x∈Z(R)
Objectif 3. montrons que Z(P, Q) =
S
{x} × Z(pgcd(P (x, Y ), Q(x, Y )) est fini.
x∈Z(R)
Comme P et Q sont premiers entre eux dans C[X][Y ] on a R 6= 0 ∈ C[X] et card(Z(R)) < ∞.
Il y a ainsi un nombre fini de racines x1 , . . . , xr de R et pour tout i ∈ [[1, r]] on a :
pgcd(P (xi , Y ), Q(xi , Y )) 6= 0 =⇒ Z(pgcd(P (xi , Y ), Q(xi , Y )) < ∞
3
En effet, pgcd(P (xi , Y ), Q(xi , Y )) 6= 0, car sinon on aurait P (xi , Y )C[Y ] + Q(xi , Y )C[Y ] = (0)
puis nécessairement P (xi , Y ) = Q(xi , Y ) = 0 et (X − xi ) serait un diviseur commun non trivial
de P (X, Y ) et Q(X, Y ) qui sont premiers entre eux dans C[X, Y ], absurde. Finalement on a bien :
card(Z(P, Q)) < ∞.
Application 2. Soient
P (X, Y ) = X 2 − XY + Y 2 − 1 ∈ C[X, Y ] et Q(X, Y ) = 2X 2 + Y 2 − Y − 2 ∈ C[X, Y ]
alors, P ∧ Q = 1 dans C[X, Y ] et les points d’intersection des ellipses d’équation P = 0 et Q = 0
sont donnés par Z(P, Q) = {(0, −1); (1, 0); (1, 1); (−1, 0)}.
Démonstration. P, Q ∈ C[X, Y ] peuvent être vus comme des polynômes en Y à coefficients dans
2,2
C[X] pour lesquels on a degY (P ) = degY (Q) = 2. La matrice SP,Q
associée est alors :


1
0
1
0
 −X

1
−1
1
2,2

SP,Q
=
X 2 − 1
−X
2X 2 − 2
−1 
0
X2 − 1
0
2X 2 − 2
de déterminant associé :
1
−X
2
X − 1
0
0
1
−X
X2 − 1
1
−1
2X 2 − 2
0
0
1
= 3X(X 2 − 1)(X − 1).
−1 2X 2 − 2
Puisque ResY (P, Q) 6= 0 dans C[X], on en déduit que P (X, Y ) ∈ C(X)[Y ] et Q(X, Y ) ∈ C(X)[Y ]
sont premiers entre eux dans C(X)[Y ] donc naturellement dans C[X][Y ] et aussi dans C[X, Y ].
D’après l’application précédente, il s’agit alors d’étudier les racines de ResY (P, Q) qui sont les
abscisses des éléments de Z(P, Q). Or, Z(ResY (P, Q)) = {0, 1, −1} et on distingue donc les cas
suivants :
1. Pour x = 0, P (0, Y ) = Y 2 − 1 admet −1 et 1 comme racines et Q(0, Y ) = Y 2 − Y − 2. On
en déduit donc que : Z(P (0, Y ), Q(0, Y )) = {−1}.
2. Pour x = 1, P (1, Y ) = Q(1, Y ) = Y 2 −Y de racines 0 et 1, soit Z(P (1, Y ), Q(1, Y )) = {0, 1}.
3. Pour x = −1, P (−1, Y ) = Y 2 + Y ont pour racines 0 et −1 et Q(−1, Y ) = Y 2 − Y a comme
racines 0 et 1. Soit Z(P (−1, Y ), Q(−1, Y )) = {0}.
Au final, on trouve 4 couples de solutions, qui sont toutes réelles :
Z(P, Q) = {(0, −1); (1, 0); (1, 1); (−1, 0)}.
Rappel 1. Soit A un anneau factoriel et K = Frac(A). Alors, si P et Q sont premiers entre eux
dans A[X], ils le sont aussi dans K[X].
Démonstration. :
Objectif 4. montrons que P et Q sont premiers entre eux dans K[X].
Cas 1 : pour commencer, supposons P et Q primitifs, ie tels que c(P ) = c(Q) = 1 mod A∗ où
A∗ désigne les inversibles pour la loi × dans (A, +, ×).
Méthode 1. Raisonnons par l’absurde et supposons qu’il existe F ∈ K[X] irreductible tel que
F | P et F | Q dans K[X]
a
Alors, F peut s’écrire sous la forme F = F1 où a, b ∈ A tel que a ∧ b = 1 et F1 ∈ A[X] primitif.
b
On en déduit en particulier que F1 | P et F1 | Q dans K[X]. Ainsi, il existe des polynômes
D1 , D2 ∈ K[X] tels que P = D1 F1 et Q = D2 F1 où l’on peut de nouveau écrire :
a1
D1 = D10 où a1 , b1 ∈ A tels que a1 ∧ b1 = 1 et D10 ∈ A[X] primitif.
b1
4
et
D2 =
a2 0
D où a2 , b2 ∈ A tels que a2 ∧ b2 = 1 et D20 ∈ A[X] primitif.
b2 2
On en déduit donc que b1 P = a1 D10 F1 et b2 P = a2 D20 F1 . En utilisant alors la multiplicativité du
contenu et le fait que P, Q, D10 , D20 et F1 sont dans A[X] et primitifs, on a :
b1 = a1 mod A∗ et a2 = b2 mod A∗ (∇)
Comme, a1 ∧ b1 = 1, les seuls diviseurs commun à a1 et b1 sont les éléments de A∗ , on déduit
donc de (∇) que a1 , b1 ∈ A∗ et de même a2 , b2 ∈ A∗ . Finalement, il vient que :
a2
a1
= a1 b−1
= a2 b−1
1 ∈ A et
2 ∈ A =⇒ D1 , D2 ∈ A[X]
b1
b2
et enfin F1 divise P et Q dans A[X]. Or, F ∈ K[X] étant irreductible dans K[X], on a naturellement F1 ∈ A[X] est irreductible dans A[X], avec F1 | P, Q, ce qui contredit le fait que P et
Q soit premier entre eux dans A[X]. D’où, si P et Q sont primitifs et premiers entre eux dans
A[X] on a P, Q sont premiers entre eux dans K[X].
P
∈ A[X] et
c(P )
Q
1
1
∈ A[X] sont primitifs et premiers entre eux dans A[X]. En effet, comme
,
∈ A,
c(Q)
c(P ) c(Q)
s’il existe D ∈ A[X] irreductible tel que :
Cas 2 : Supposons P, Q premiers entre eux dans A[X] et non primitifs. Alors,
D|
D
P
et D |
c(P )
c(Q)
P
D
P
Q
| P et D |
| Q, absurde. Ainsi,
et
sont d’après le cas 1, premiers
c(P )
c(Q)
c(P )
c(Q)
entre eux dans K[X], ce qui implique que P et Q le sont également. En effet, sinon il existerait
D ∈ K[X] irreductible et D1 , D2 ∈ K[X] tels que :
alors D |
P = DD1 et Q = DD2 puis
et D |
P
D1
Q
D2
=D
,
=D
c(P )
c(P ) c(Q)
c(Q)
P
Q
,
dans K[X], absurde.
c(P ) c(Q)
Rappel 2. Soit A anneau intègre et K = Frac(A). Pour P, Q ∈ A[X], on a ResX (P, Q) ∈ A.
Rappel 3. Spécialisation du résultant.
Soient φ : A −→ B un morphisme d’anneaux intègre qui se prolonge de manière unique en
un morphisme d’anneaux de A[X] −→ B[X] en posant φ(X) = X. On considère alors f, g
m
n
P
P
des polynômes de A[X] de degré, respectifs m, n tels que f =
ai X i et g =
bj X j . Alors
i=0
j=0
(
0
si deg(φ(f )) < deg(f ) et deg(φ(g)) < deg(g)
φ(ResX (f, g)) =
φ(am )k ResX (φ(f ), φ(g)) si deg(φ(f )) = f et deg(φ(g)) = deg(g) − k
Rappel 4. Soit K un corps et P, Q ∈ K[X], on a alors :
P et Q sont premiers entre eux dans K[X] ⇐⇒ ResX (P, Q) 6= 0.
Rappel 5. Pour P ∈ K[X] de degré m et Q ∈ K[X] de degré n, l’application linéaire dite de
m,n
Bezout-Sylvester ∂P,Q
est définie par :
m,n
∂P,Q
:
K[X]≤n−1 × K[X]≤m−1
(U, V )
−→
7−→
K[X]≤n+m−1
UP + V Q